1．公式法
(1)等差數(shù)列{an}的前n項和Sn＝eq \f(n?a1＋an?,2)＝na1＋eq \f(n?n－1?d,2).
推導(dǎo)方法：倒序相加法．
(2)等比數(shù)列{an}的前n項和Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1?1－qn?,1－q)，q≠1.))
推導(dǎo)方法：乘公比，錯位相減法．
(3)一些常見的數(shù)列的前n項和：
①1＋2＋3＋…＋n＝eq \f(n?n＋1?,2)；
②2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
③1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
2．幾種數(shù)列求和的常用方法
(1)分組轉(zhuǎn)化求和法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．
(2)裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前n項和．
(3)錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用錯位相減法求解．
(4)倒序相加法：如果一個數(shù)列{an}與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求解．
3、常見的裂項技巧
①eq \f(1,n?n＋1?)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1).
②eq \f(1,n?n＋2?)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))).
③eq \f(1,?2n－1??2n＋1?)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).
④eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n).
⑤eq \f(1,n?n＋1??n＋2?)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n?n＋1?)－\f(1,?n＋1??n＋2?))).
1、（2023?甲卷（理））已知等比數(shù)列中，，為前項和，，則
A．7B．9C．15D．30
【答案】
【解析】等比數(shù)列中，設(shè)公比為，
，為前項和，，顯然，
（如果，可得矛盾，如果，可得矛盾），
可得，
解得，即或，
所以當(dāng)時，．
當(dāng)時，．沒有選項．
故選：．
2、（2023?新高考Ⅱ）記為等比數(shù)列的前項和，若，，則
A．120B．85C．D．
【答案】
【解析】等比數(shù)列中，，，顯然公比，
設(shè)首項為，則①，②，
化簡②得，解得或（不合題意，舍去），
代入①得，
所以．
故選：．
3、（2021?甲卷（文））記為等比數(shù)列的前項和．若，，則
A．7B．8C．9D．10
【答案】
【解析】為等比數(shù)列的前項和，，，
由等比數(shù)列的性質(zhì)，可知，，成等比數(shù)列，
，2，成等比數(shù)列，
，解得．
故選：．
4、（2021?上海）已知為無窮等比數(shù)列，，的各項和為9，，則數(shù)列的各項和為 ．
【答案】．
【解析】設(shè)的公比為，
由，的各項和為9，可得，
解得，
所以，
，
可得數(shù)列是首項為2，公比為的等比數(shù)列，
則數(shù)列的各項和為．
故答案為：．
5、（2021?新高考Ⅰ）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折．規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推．則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為 ，如果對折次，那么
【答案】5；．
【解析】易知有，，共5種規(guī)格；
由題可知，對折次共有種規(guī)格，且面積為，故，
則，記，則，
，
，
．
故答案為：5；．
6、（2023?甲卷（理））已知數(shù)列中，，設(shè)為前項和，．
（1）求的通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和．
【解析】（1）當(dāng)時，，解得，
當(dāng)時，，
，，
當(dāng)時，可得，
，
當(dāng)或時，，適合上式，
的通項公式為；
（2）由（1）可得，
，，
，
．
7、（2021?新高考Ⅰ）已知數(shù)列滿足，
（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項公式；
（2）求的前20項和．
【解析】（1）因為，，
所以，，，
所以，，
，，
所以數(shù)列是以為首項，以3為公差的等差數(shù)列，
所以．
另由題意可得，，
其中，，
于是，．
（2）由（1）可得，，
則，，
當(dāng)時，也適合上式，
所以，，
所以數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為等差數(shù)列，
則的前20項和為．
8、（2023年全國新高考Ⅱ卷）. 為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項和，，．
（1）求的通項公式；
（2）證明：當(dāng)時，．
【解析】
（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，
則，
于是，解得，，
所以數(shù)列的通項公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
當(dāng)為偶數(shù)時，，
，
當(dāng)時，，因此，
當(dāng)為奇數(shù)時，，
當(dāng)時，，因此，
所以當(dāng)時，.
方法2：由（1）知，，，
當(dāng)為偶數(shù)時，，
當(dāng)時，，因此，
當(dāng)為奇數(shù)時，若，則
，顯然滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時，，
當(dāng)時，，因此，
所以當(dāng)時，
9、（2022?甲卷（文））記為數(shù)列的前項和．已知．
（1）證明：是等差數(shù)列；
（2）若，，成等比數(shù)列，求的最小值．
【解析】（1）證明：由已知有：①，
把換成，②，
②①可得：，
整理得：，
由等差數(shù)列定義有為等差數(shù)列；
（2）由已知有，設(shè)等差數(shù)列的首項為，由（1）有其公差為1，
故，解得，故，
所以，
故可得：，，，
故在或者時取最小值，，
故的最小值為．
1、數(shù)列{an}的通項公式是an＝(－1)n(2n－1)，則該數(shù)列的前100項之和為( )
A．－200 B．－100
C．200 D．100
【答案】 D
【解析】 S100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.
2、數(shù)列的前項和為，若，則等于（ ）
A．1B．C．D．
【答案】：B
【解析】：因為，
所以，故選B．
3、設(shè)，則( )
A．B．C．D．
【答案】：A
【解析】：由，得，
，故選：A
4、已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝ eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))，若前n項和為10，則項數(shù)n為________．
【答案】 120
【解析】 因為an＝ eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝ eq \r(n＋1)－ eq \r(n)，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝( eq \r(2)－1)＋( eq \r(3)－ eq \r(2))＋…＋( eq \r(n＋1)－ eq \r(n))＝ eq \r(n＋1)－1.令 eq \r(n＋1)－1＝10，解得 n＝120.
5、 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an＝n·2n，則Sn＝____________．
【答案】 (n－1)·2n+1＋2
【解析】 因為an＝n·2n，所以Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n①，所以2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n+1②.由①－②，得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n+1＝ eq \f(2(1－2n),1－2)－n·2n+1＝2n+1－2－n·2n+1＝(1－n)·2n+1－2，所以Sn＝(n－1)·2n+1＋2.
考向一 公式法
例1、（山東師范大學(xué)附中高三月考）設(shè)等差數(shù)列前n項和為．若，，則________，的最大值為________．
【答案】4 42
【解析】∵數(shù)列是等差數(shù)列，∵，∴，，
又，，，
，
,
∴當(dāng)或時，有最大值42.
故答案為：（1）4；（2）42.
變式1、（2023·河北唐山·統(tǒng)考三模）設(shè)為等比數(shù)列的前項和，，，則__________.
【答案】/0.875
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由，得，則，
由等比數(shù)列求和公式可知．
故答案為：．
變式2、（2023·安徽合肥·校聯(lián)考三模）是公差不為零的等差數(shù)列，前項和為，若，，，成等比數(shù)列，則________．
【答案】1012
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，則
因為，
所以，即，解得.
因為，，成等比數(shù)列，
所以，即，解得或（舍），
所以，解得，
所以，
所以.
故答案為：
方法總結(jié)：若一個數(shù)列為等差數(shù)列或者等比數(shù)列則運用求和公式：①等差數(shù)列的前n項和公式：Sn＝eq \f(n?a1＋an?,2)＝na1＋eq \f(n?n－1?,2)d.②等比數(shù)列的前n項和公式(Ⅰ)當(dāng)q＝1時，Sn＝na1；(Ⅱ)當(dāng)q≠1時，Sn＝eq \f(a1?1－qn?,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q).
考向二 利用“分組求和法”求和
例2、已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝ eq \f(n2＋n,2)，n∈N*.
(1) 求數(shù)列{an}的通項公式；
(2) 設(shè)bn＝2an＋(－1)nan，求數(shù)列{bn}的前2n項和．
【解析】 (1) 當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝1；
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝ eq \f(n2＋n,2)－ eq \f((n－1)2＋(n－1),2)＝n.
當(dāng)n＝1時也滿足上式，
故數(shù)列{an}的通項公式為an＝n.
(2) 由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.
記數(shù)列{bn}的前2n項和為T2n，
則T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n).
記A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，
則A＝ eq \f(2(1－22n),1－2)＝22n+1－2，
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.
故數(shù)列{bn}的前2n項和T2n＝A＋B＝22n+1＋n－2.
變式1、（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學(xué)?？家荒＃┮阎獢?shù)列，前n項和為，且滿足，，，，，等比數(shù)列中，，且，成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)記為區(qū)間中的整數(shù)個數(shù)，求數(shù)列的前n項和．
【解析】（1），，，
即，，，
故為等差數(shù)列，設(shè)公差為，
故，，
解得：，，
所以，
設(shè)等比數(shù)列的公比為，，
因為，成等差數(shù)列，所以，
即，與聯(lián)立得：或0（舍去），
且，故，
（2）由題意得：為中的整數(shù)個數(shù)，
故，
所以
.
變式2、（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列的前n項和為，，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．
【詳解】（1）因為，所以，又，
所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以，即，
當(dāng)時，，所以，
當(dāng)時，也適合，
故.
（2），
所以數(shù)列的前n項和為
.
變式3、（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足．
(1)證明：是一個等差數(shù)列；
(2)已知，求數(shù)列的前項和．
【解析】（1）當(dāng)時，可得，
當(dāng)時，由，
則，
上述兩式作差可得，
因為滿足，所以的通項公式為，所以，
因為（常數(shù)），
所以是一個等差數(shù)列．
（2），
所以，
所以數(shù)列的前項和
方法總結(jié)：數(shù)列求和應(yīng)從通項入手，若無通項，則先求通項，然后通過對通項變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求前n項和的數(shù)列求和．
考向三 裂項相消法求和
例3、（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列，，是，的等比中項.
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和.
【解析】（1）設(shè)的公差為，因為，是，的等比中項，
所以，所以.
因為，所以，故.
（2）因為，
所以.
變式1、設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知 a1＝1，Sn＝nan－n(n－1)(n＝1，2，3，…).
(1) 求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并寫出an關(guān)于n的表達式；
(2) 若數(shù)列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,anan＋1)))的前n項和為Tn，求滿足Tn> eq \f(100,209)的最小正整數(shù)n的值．
【解析】 (1) 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝nan－(n－1)·an－1－2(n－1)，
化簡，得an－an－1＝2，
所以數(shù)列{an}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，
所以an＝2n－1.
(2) Tn＝ eq \f(1,a1a2)＋ eq \f(1,a2a3)＋…＋ eq \f(1,an－1an)＋ eq \f(1,anan＋1)＝ eq \f(1,1×3)＋ eq \f(1,3×5)＋…＋ eq \f(1,(2n－1)(2n＋1))
＝ eq \f(1,2)[( eq \f(1,1)－ eq \f(1,3))＋( eq \f(1,3)－ eq \f(1,5))＋…＋( eq \f(1,2n－1)－ eq \f(1,2n＋1))]
＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2n＋1)))＝ eq \f(n,2n＋1).
由Tn＝ eq \f(n,2n＋1)> eq \f(100,209)，得n> eq \f(100,9)，
所以滿足Tn> eq \f(100,209)的最小正整數(shù)n為12.
變式2、（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）在①成等比數(shù)列，②，③這三個條件中任選兩個，補充在下面問題中，并完成解答.
已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，其前項和為，且滿足__________，__________.
(1)求的通項公式；
(2)求.
注：如果選擇多個方案分別解答，按第一個方案計分.
【解析】（1）若選①②，設(shè)公差為，
則，
解得：，
；
選①③，設(shè)公差為，
，
解得：，
；
選②③，設(shè)公差為，
，
解得：，
；
（2），
.
變式3、（2023·江蘇南京·?？家荒＃┮阎缺葦?shù)列的前項和為,,.
(1)求數(shù)列的通項公式.
(2)令,求數(shù)列的前項和.
【解析】（1）當(dāng)時,
即,又是等比數(shù)列,;
數(shù)列的通項公式為:.
（2）由（1）知,,
,
即
方法總結(jié)：常見題型有（1）數(shù)列的通項公式形如an＝eq \f(1,n?n＋k?)時，可轉(zhuǎn)化為an＝eq \f(1,k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋k)))，此類數(shù)列適合使用裂項相消法求和．
（2）數(shù)列的通項公式形如an＝eq \f(1,\r(n＋k)＋\r(n))時，可轉(zhuǎn)化為an＝eq \f(1,k)(eq \r(n＋k)－eq \r(n))，此類數(shù)列適合使用裂項相消法求和．
考向四 錯位相減法求和
例4、（2023·江蘇南京·南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項和為，，．正項等比數(shù)列中，，．
(1)求與的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和．
【解析】（1）等差數(shù)列的前項和為，，，設(shè)公差為
所以，解得
所以
正項等比數(shù)列中，，，設(shè)公比為
所以，所以
解得，或（舍去）
所以
（2）由（1）知：
所以
兩式相減得：

.
變式1、已知{an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，{bn}是等比數(shù)列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10.
(1) 求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式；
(2) 求Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，n∈N*.
【解析】 (1) 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.
由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，
S4＝8＋6d，
則 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＋3d＋2q3＝27，,8＋6d－2q3＝10，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(d＝3，,q＝2，))
所以an＝3n－1，bn＝2n，n∈N*.
(2) 由(1)，得Tn＝2×2＋5×22＋8×23
＋…＋(3n－1)×2n，①
則2Tn＝2×22＋5×23＋…＋(3n－4)×2n＋(3n－1)×2n+1.②
由①－②，得－Tn＝2×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n－(3n－1)×2n+1
＝ eq \f(6×(1－2n),1－2)－(3n－1)×2n+1－2＝－(3n－4)×2n+1－8，
即Tn＝8＋(3n－4)×2n+1.
變式2、（2023·湖南長沙·長沙市明德中學(xué)校考三模）已知等差數(shù)列前項和為，，.
(1)求的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足，求和：.
【解析】（1）因為等差數(shù)列前項和為，
所以，
又，所以，
又，所以是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
所以的通項公式為.
（2）因為，
所以，
兩式相減得：，
又滿足上式，所以，
又，所以.
所以，
，
兩式相減得：
.
方法總結(jié)：主要用于一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣.。特別注意錯位相減法的步驟。
1、（2023·湖南·鉛山縣第一中學(xué)校聯(lián)考三模）從午夜零時算起，在鐘表盤面上分針與時針第次重合時，分針走了，則24小時內(nèi)（包括第24時）所有這樣的之和（ ）
A．24B．300C．16560D．18000
【答案】C
【解析】在鐘表盤面上，分針每分鐘轉(zhuǎn)，時針每分鐘轉(zhuǎn)，
即,得，
則數(shù)列是以為首項，公差為的等差數(shù)列.
由，得，解得，
所以24小時內(nèi)分針與時針重合22次，
.
故選：C.
2、（2023·湖南郴州·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率為，則數(shù)列的前項和為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，則，
所以，
所以.
故選：C.
3、（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的前n項和為，且，則數(shù)列的前n項和______.
【答案】
【解析】數(shù)列的前n項和為，，，當(dāng)時，，
兩式相減得：，即，而，解得，
因此數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，，
，
所以.
故答案為：.
4、（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學(xué)?？寄M預(yù)測）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.
已知等差數(shù)列的公差為，等差數(shù)列的公差為.設(shè)分別是數(shù)列的前項和，且， ，
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【解析】解：方案一：
（1）∵數(shù)列都是等差數(shù)列，且，
，解得
，
綜上
（2）由（1）得：
方案二：
（1）∵數(shù)列都是等差數(shù)列，且，
解得
，
.
綜上，
（2）同方案一
方案三：
（1）∵數(shù)列都是等差數(shù)列，且.
，解得，
，
.
綜上，
（2）同方案一
5、（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模）已知數(shù)列的前項的積
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)數(shù)列滿足，求.
【解析】（1），
當(dāng)時，.
當(dāng)時，，滿足上式，
.
（2）
.
6、（2023·黑龍江牡丹江·牡丹江市第三高級中學(xué)?？既＃┮阎獢?shù)列各項都不為，前項和為，且，數(shù)列滿足，．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)令，求數(shù)列的前項和為
【解析】（1）由，可得，兩式相減得，整理得，因為數(shù)列各項都不為，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列．令，則，解得，故．
由題知，
所以
（2）由（1）得，所以，
，
兩式相減得，
所以．
7、（2023·安徽·校聯(lián)考三模）在數(shù)列中，，且對任意的，都有．在等差數(shù)列中，前n項和為，，．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．
【解析】（1）由得時，．
又，滿足，所以．
設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，解得，
所以；
（2），①，②
①-②得
所以．

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