一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）
1.方程x2+x=0的解是( )
A. x1=x2=0B. x1=x2=1
C. x1=0，x2=1D. x1=0，x2=?1
2.方程x(x?5)=x?5的根是( )
A. x=5B. x=0C. x1=5，x2=0D. x1=5，x2=1
3.已知實數(shù)x滿足(x2?x)2?4(x2?x)?12=0，則代數(shù)式x2?x+1的值是
( )
A. 7B. ?1C. 7或?1D. ?5或3
4.關于x的一元二次方程x2?2x+m=0無實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是( )
A. m1
5.等腰三角形一邊長為2，它的另外兩條邊的長度是關于x的一元二次方程x2?6x+k=0的兩個實數(shù)根，則k的值是( )
A. 8B. 9C. 8或9D. 12
6.用配方法解方程時，下列配方錯誤的是( )
A. x2+6x?7=0化為(x+3)2=0
B. x2?5x?4=0化為x?522=414
C. x2+2x?99=0化為(x+1)2=100
D. 3x2?4x?2=0化為x?232=109
7.我們已經學習了利用配方法解一元二次方程，其實配方法還有其他重要應用．
例：已知x可取任何實數(shù)，試求二次三項式2x2?12x+14的值的范圍．
解：2x2?12x+14
=2(x2?6x)+14
=2(x2?6x+32?32)+14
=2[(x?3)2?9]+14
=2(x?3)2?18+14
=2(x?3)2?4．
∵無論x取何實數(shù)，總有(x?3)2≥0，
∴2(x?3)2?4≥?4．
即無論x取何實數(shù)，2x2?12x+14的值總是不小于?4的實數(shù)．
問題：已知x可取任何實數(shù)，則二次三項式?3x2+12x?11的最值情況是
( )
A. 有最大值?1B. 有最小值?1C. 有最大值1D. 有最小值1
8.一元二次方程(x+1)(x?3)=2x?5根的情況是( )
A. 有一個正根，一個負根B. 有兩個負根
C. 無實數(shù)根D. 有兩個正根
9.當b+c=5時，關于x的一元二次方程3x2+bx?c=0的根的情況為( )
A. 有兩個不相等的實數(shù)根B. 有兩個相等的實數(shù)根
C. 沒有實數(shù)根D. 無法確定
10.歐幾里德在《幾何原本》中，記載了用圖解法解方程x2+ ax= b2的方法，類似地我們可以用折紙的方法求方程x2+ x?1=0的一個正根．如圖，一張邊長為1的正方形的紙片ABCD，先折出AD、BC的中點G、H，再折出線段AN，然后通過沿線段AN折疊使AD落在線段AH上，得到點D的新位置P，并連接NP、NH，此時，在下列四個選項中，有一條線段的長度恰好是方程x2+ x?1=0的一個正根，則這條線段是( )
A. 線段BHB. 線段DNC. 線段CND. 線段NH
第II卷（非選擇題）
二、填空題（本大題共4小題，共12.0分）
11.定義：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)滿足a+b+c=0，那么我們稱這個方程為“鳳凰”方程．已知x2+mx+n=0是“鳳凰”方程，且有兩個相等的實數(shù)根，則mn=________．
12.關于x的一元二次方程(a+1)x2+bx+1=0有兩個相等的實數(shù)根，則代數(shù)式8a?2b2+6的值是______ ．
13.若(x2+y2)2?5(x2+y2)?6=0，則x2+y2=______．
14.一種禮炮的升空高度h(m)與飛行時間t(s)的關系式是h=?34t2+12t?21.若這種禮炮在升空到最高點時引爆，則從點火升空到引爆需要的時間為______ s.
三、解答題（本大題共6小題，共48.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15.(本小題8.0分)
已知關于x的一元二次方程x2?(m+3)x+m+2=0．
(1)求證：無論實數(shù)m取何值，方程總有兩個實數(shù)根；
(2)若方程兩個根均為正整數(shù)，求負整數(shù)m的值．
16.(本小題8.0分)
已知關于x的一元二次方程mx2?(2m?1)x+m?2=0有兩個不相等的實數(shù)根．
(1)求m的取值范圍；
(2)若方程有一個根是0，求方程的另一個根．
17.(本小題8.0分)
若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”.例如，一元二次方程x2?9x+18=0的兩個根是3和6，則方程x2?9x+18=0就是“倍根方程”．
(1)若關于x的一元二次方程x2?6x+k=0是“倍根方程”，求k的值；
(2)若關于x的一元二次方程nx2?(3n+3m)x+8m=0(n≠0)是“倍根方程”，求該方程的根．
18.(本小題8.0分)
小剛按照某種規(guī)律寫出4個方程：
第1個方程：x2+x?2=0．
第2個方程：x2+2x?3=0．
第3個方程：x2+3x?4=0．
第4個方程：x2+4x?5=0．
(1)按照此規(guī)律，請你寫出第99個方程：______ ．
(2)按此規(guī)律寫出第n個方程：______ .這個方程是否有實數(shù)解？若有，請求出它的解；若沒有，請說明理由．
19.(本小題8.0分)
已知關于x的一元二次方程x2?2(k?1)x+k2=0有兩個實數(shù)根x1，x2．
(1)求k的取值范圍；
(2)若k=?3，求x1+x2的值．
20.(本小題8.0分)
老師在黑板上書寫了一個正確的演算過程，隨后用手掌握住了一部分，形式如圖：
(1)當x=?1時，求所捂部分的值；
(2)若所捂的值為5，求x的值；
(3)若所捂的值為x2?x?7，求x的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
此題考查了解一元二次方程?因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．通過提取公因式x對等式的左邊進行因式分解，然后解兩個一元一次方程即可．
【解答】解：x2+x=0，
x(x+1)=0，
∴x=0或x+1=0，
∴x1=0，x2=?1，
故選D．
2.【答案】D
【解析】【解答】
解：∵x(x?5)=x?5，
∴x(x?5)?(x?5)=0，
∴(x?5)(x?1)=0，
則x?5=0或x?1=0，
解得x1=5，x2=1．
故選：D．
【分析】
本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵．
本題可利用因式分解法求解．
3.【答案】A
【解析】解：∵(x2?x)2?4(x2?x)?12=0，
∴(x2?x+2)(x2?x?6)=0，
∴x2?x+2=0或x2?x?6=0，
∴x2?x=?2或x2?x=6．
當x2?x=?2時，x2?x+2=0，
∵b2?4ac=1?4×1×2=?70時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當△0, x2=2? 2>0，
∴方程有2個正根．
故選D．
根據(jù)題目中的方程，可以求得該方程的根，從而可以解答本題．
本題考查公式法解一元二次方程，以及根的判別式．
9.【答案】A
【解析】【分析】
本題考查了根的判別式，牢記“當△>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”是解題的關鍵．
由b+c=5可得出c=5?b，根據(jù)方程的系數(shù)結合根的判別式可得出△=(b?6)2+24，由偶次方的非負性可得出(b?6)2+24>0，即△>0，由此即可得出關于x的一元二次方程3x2+bx?c=0有兩個不相等的實數(shù)根．
【解答】
解：∵b+c=5，
∴c=5?b．
△=b2?4×3×(?c)=b2+12c=b2?12b+60=(b?6)2+24．
∵(b?6)2≥0，
∴(b?6)2+24>0，
∴△>0，
∴關于x的一元二次方程3x2+bx?c=0有兩個不相等的實數(shù)根．
故選：A．
10.【答案】B
【解析】解：設DN=m，則NC=1?m．
由題意可知：△ADN≌△APN，H是BC的中點，
∴DN=NP=m，CH=0.5，AH= 52
∵S正方形=S△ABH+S△ADN+S△CHN+SANH，
∴1×1=12×1×12+12×1×m+12×12×(1?m)+12× 52×m，
∴m= 5?12．
∵x2+x?1=0的解為x1,2=?12± 52，
∴取正值為x= 5?12．
∴這條線段是線段DN．
故選：B．
首先根據(jù)方程x2+x?1=0解出正根為 5?12，再判斷這個數(shù)值和題目中的哪條線段接近．線段BH=0.5排除，其余三條線段可以通過設未知數(shù)找到等量關系．利用正方形的面積等于圖中各個三角形的面積和，列等量關系．設DN=m，則NC=1?m，從而可以用m表示等式．
本題考查了一元二次方程的解法、正方形的性質、翻折變換．
11.【答案】?2
【解析】【分析】
此題主要考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關系，關鍵是熟練掌握：(1)△>0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2)△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；(3)△0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△?2，
又∵m為負整數(shù)，
∴m=?1．

【解析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，及解一元二次方程的知識，解答本題的關鍵是掌握一元二次方程根的判別式和公式法解一元二次方程．
(1)先找出a，b和c，再證明根的判別式恒大于或等于0即可；
(2)根據(jù)公式法求出方程的解，根據(jù)方程的兩個根為正整數(shù)，列不等式求解即可．
16.【答案】解：(1)根據(jù)題意得m≠0且Δ=(2m?1)2?4m(m?2)>0，
解得m>?14且m≠0，
所以m的取值范圍為m>?14且m≠0；
(2)把x=0代入方程得m?2=0，解得m=2，
此時方程變形為2x2?3x=0，
設方程的另一個根為t，
根據(jù)根與系數(shù)的關系得0+t=32，
解得t=32，
即方程的另一個根為32．
【解析】本題考查了根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時，x1+x2=?ba，x1x2=ca.也考查了根的判別式．
(1)利用根的判別式的意義得到m≠0且Δ=(2m?1)2?4m(m?2)>0，然后解不等式組即可；
(2)先把x=0代入方程得m=2，此時方程變形為2x2?3x=0，再設方程的另一個根為t，利用根與系數(shù)的關系得0+t=32，然后求出t即可．
17.【答案】解：(1)設這個方程的兩個根分別為a和2a，
則a+2a=??61=6，
解得a=2，
即這個方程的一個根為2，
將x=2代入方程x2?6x+k=0得：4?12+k=0，
解得k=8．
(2)設這個方程的兩個根分別為β和2β，
由題意得：β+2β=3n+3mn①β?2β=8mn②，
整理得：(m?n)2=0，
∴m=n，
將m=n代入①得：β+2β=3n+3nn=6，
解得β=2，
∴2β=2×2=4，
所以該方程的根為x=2或x=4．
【解析】(1)設這個方程的兩個根分別為a和2a，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關系可求出a=2，再將x=2代入方程即可得；
(2)設這個方程的兩個根分別為β和2β，根據(jù)“倍根方程”的定義可得m=n，由此即可得．
本題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關系，理解“倍根方程”的概念是解題關鍵．
18.【答案】x2+99x?100=0 x2+nx?(n+1)=0
【解析】解：(1)第1個方程：x2+x?2=0，
第2個方程：x2+2x?3=0，
第3個方程：x2+3x?4=0，
第4個方程：x2+4x?5=0，
……
第n個方程：x2+nx?(n+1)=0，
∴當n=99時，x2+99x?100=0．
故答案為：x2+99x?100=0；
(2)第n個方程為x2+nx?(n+1)=0，且這個方程有實數(shù)解，理由如下：
∵x2+nx?(n+1)=0，
∴(x?1)(x+n+1)=0，
∴x1=1或x2=?n?1．
故答案為：x2+nx?(n+1)=0．
(1)根據(jù)小剛寫出的4個方程，易發(fā)現(xiàn)其規(guī)律是：第n個方程是x2+nx?(n+1)=0，所以第99方程是x2+99x?100=0；
(2)由(1)可知第n個方程是x2+nx?(n+1)=0，利用因式分解法可得：(x?1)[x+(n+1)]=0進而即可解答．
本題主要考查因式分解法解一元二次方程、數(shù)字規(guī)律等知識點，將方程右邊化為0，左邊化為積的形式，由利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉化為兩個一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
19.【答案】解：(1)根據(jù)題意得Δ=4(k?1)2?4k2≥0，
解得k≤12，
即k的取值范圍為k≤12；
(2)當k=?3時，方程化為x2+8x+9=0，
所以x1+x2=?8．
【解析】(1)利用根的判別式的意義得到4(k?1)2?4k2≥0，然后解不等式得到k的范圍；
(2)直接利用根與系數(shù)的關系求解．
本題考查了根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根，x1+x2=?ba，x1x2=ca.也考查了根的判別式．
20.【答案】解：(1)當x=?1時，所捂部分的值為
2×(?1)2?4×(?1)?5=1；
(2)根據(jù)題意得：2x2?4x?5=5，
整理得：x2?2x?5=0，
∴x2?2x+1=6，
即(x?1)2=6，
∴x?1=± 6，
解得：x1=1+ 6，x2=1? 6；
(3)根據(jù)題意得：x2?x?7=2x2?4x?5，
整理得：x2?3x+2=0，
∴(x?1)(x?2)=0，
∴x?1=0或x?2=0，
解得：x1=1，x2=2．
【解析】(1)把x=?1代入2x2?4x?5，即可求解；
(2)根據(jù)題意可得2x2?4x?5=5，再利用配方法解答，即可求解；
(3)根據(jù)題意可得x2?x?7=2x2?4x?5，再利用因式分解法解答，即可求解．
本題主要考查了解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵．

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