一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）
1.下列方程中，一定是關于x的一元二次方程的是
( )
A. ax2+bx+c=0B. 5x?2x2+7=0
C. 2y2?x?3=0D. mx2?2x=x2+1
2.賓館有50間房供游客居住.當每間房每天定價為180元時，賓館會住滿;當每間房每天的定價每增加10元時，就會空閑一間房.如果有游客居住，賓館需對居住的每間房每天支出20元的費用.當房價定為多少元時，賓館當天的利潤為10890元?設房價定為x元，則有( )
A. (180+x?20)(50?x10)=10890
B. (x?20)(50?x?18010)=10890
C. x(50?x?18010)?50×20=10890
D. (x+180)(50?x10)?50×20=10890
3.若(m?2)xm2?2?mx+1=0是一元二次方程，則m的值為
( )
A. 2B. ?2C. 2D. ? 2
4.若x=1是方程x2?3x+2a=0的一個根，則( )
A. a=?1B. a=?2C. a=1D. a=2
5.若關于x的一元二次方程x2?2x+m=0有一個解為x=?1，則m的值為 ( )
A. ?1B. 1C. ?3D. 3
6.下列方程是關于x的一元二次方程的是( )
A. x2+1x=0B. ax2+bx+c=0
C. (x?1)(x?2)=0D. 3x2+2=x2+2(x?1)2
7.下列方程中一定是一元二次方程的是( )
A. ax2?x+2=0B. x2?2x?3=0C. x2+2x?1=0D. 5x2?y?3=0
8.若a是方程x2?x?1=0的一個根，則?a2+a+2024的值為( )
A. 2021B. 2022C. 2023D. 2024
9.下列方程中是一元二次方程的是( )
A. 2x+1=0B. y2+x=1C. x2+1=0D. 1x+x2=1
10.關于x的一元二次方程ax2+bx=c(ac≠0)一個實數(shù)根為2022，則方程cx2+bx=a一定有實數(shù)根
( )
A. 2022B. 12022C. ?2022D. ?12022
第II卷（非選擇題）
二、填空題（本大題共4小題，共12.0分）
11.已知x=1是一元二次方程x2+mx+2=0的一個解，則m的值是______ ．
12.若關于x的一元二次方程a(x+h)2+k=0的兩根分別為?3、2，則方程a(x?1+h)2+k=0的根為 ．
13.若x=1是方程x2?3x+a=0的一個根，則a= ．
14.若關于x的一元二次方程(a?1)x2+x+a?2=0有一根為0，則a= ．
三、解答題（本大題共6小題，共48.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15.(本小題8.0分)
先化簡，再求值：(a2?4a2?4a+4?12?a)÷1a2?2a，其中a是一元二次方程對a2+3a?2=0的根．
16.(本小題8.0分)
已知m是方程x2?x?2=0的一個根，求m(m+1)2?m(m2+3)+4的值．
17.(本小題8.0分)
定義：如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)滿足a?b+c=0，那么我們稱這個方程為“黃金方程”．
(1)判斷一元二次方程4x2+11x+7=0是否為“黃金方程”，并說明理由．
(2)已知3x2?mx+n=0是關于x的“黃金方程”，若m是此方程的一個根，則m的值為多少？
18.(本小題8.0分)
已知a是方程2x2?7x?1=0的一個根，求代數(shù)式a(2a?7)+5的值．
19.(本小題8.0分)
已知T=a(a?2)+(a+3)2．
(1)化簡T；
(2)若a是一元二次方程x2+2x?2=0的解，求T的值．
20.(本小題8.0分)
定義：如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中常數(shù)項c是該方程的一個根，則該一元二次方程就叫做常數(shù)根一元二次方程．
(1)已知關于x的方程x2+x+c=0是常數(shù)根一元二次方程，則c的值為______ ；
(2)如果關于x的方程x2+2mx+m+1=0是常數(shù)根一元二次方程，求m的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本題主要考查了一元二次方程，關鍵是熟練掌握一元二次方程的定義.根據(jù)一元二次方程的定義進行判斷即可．
【解答】
解：A．a(chǎn)x2+bx+c=0，若a=0不是一元二次方程；
B.5x?2x2+7=0是一元二次方程；
C.2y2?x?3=0，含有兩個未知數(shù)，故不是一元二次方程；
D.mx2?2x=x2+1，若m=1時方程不是一元二次方程．
故選B．
2.【答案】B
【解析】【分析】
此題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，解題的關鍵是理解題意找到題目蘊含的相等關系．
先求出房價定為x元時有游客居住的房間數(shù)，而每間房的利潤就是房價減去支出的20元，從而得出賓館當天的利潤并列出方程．
【解答】
解：當房價定為x元時，空閑的房間有x?18010個，
所以有游客居住的房間有(50?x?18010)個，則賓館當天的利潤為(50?x?18010)(x?20)元，
所以(x?20)(50?x?18010)=10890．
故B正確．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本題利用了一元二次方程的概念．只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0)．
根據(jù)一元二次方程的定義得到：m2?2=2，且m?2≠0，解出即可．
【解答】
解：∵方程(m?2)xm2?2?mx+1=0是關于x的一元二次方程，
∴m2?2=2，且m?2≠0.，
解得m=?2，
故選B．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本題考查一元二次方程解的定義，把解代入方程易得出a的值．
由題意知x=1是方程x2?3x+2a=0的一個根，再根據(jù)一元二次方程的根的定義求解，代入x=1，即可求出．
【解答】
解：∵x=1是方程的根，
由一元二次方程的根的定義，可得，
12?3+2a=0，
解此方程得到a=1．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本題考查了一元二次方程的解的定義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．把x=?1代入方程x2?2x+m=0得1+2+m=0，然后解關于m的方程即可．
【解答】
解：把x=?1代入方程x2?2x+m=0得1+2+m=0，
解得m=?3．
故選C．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本題主要考查的是一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關鍵.依據(jù)一元二次方程的定義進行判斷即可．
【解答】
A.該方程中含有分式，不符合一元二次方程的概念;
B.當a=0時，不是一元二次方程;
C.將原方程整理，得x2?3x+2=0，是一元二次方程;
D.將原方程整理，得4x=0，是一元一次方程．
故選C．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，根據(jù)一元二次方程的定義解答．一元二次方程必須滿足四個條件：(1)未知數(shù)的最高次數(shù)是2；(2)二次項系數(shù)不為0；(3)是整式方程；(4)含有一個未知數(shù)．由這四個條件對四個選項進行驗證，滿足這四個條件者為正確答案．
【解答】
解：A.當a=0時，ax2?x+2=0不是一元二次方程，故A錯誤；
B.x2?2x?3=0是一元二次方程，故B正確；
C.x2+2x?1=0不是整式方程，故C錯誤；
D.5x2?y?3=0含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，故D錯誤．
故選B．
8.【答案】C
【解析】解：∵a是方程x2?x?1=0的一個根，
∴a2?a?1=0，
∴a2?a=1，
∴?a2+a=?1，
∴?a2+a+2024
=?1+2024
=2023，
故選：C．
先根據(jù)已知條件求出a2?a的值，從而求出?a2+a的值，最后把所求的值整體代入所求代數(shù)式進行解答即可．
本題主要考查了一元二次方程的解，解題關鍵是熟練掌握一元二次方程解的定義．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本題考查一元二次方程的概念，一元二次方程有三個特點：①只含有一個未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)是2；③是整式方程．要判斷一個方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進行整理．如果能整理為ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，則這個方程就為一元二次方程．
【解答】
解：A.2x+1=0，未知數(shù)的最高次數(shù)是1，故錯誤；
B.y2+x=1，含有兩個未知數(shù)，故錯誤；
C.x2+1=0，是一元二次方程，故正確；
D.1x+x2=1，是分式方程，不是一元二次方程，故錯誤．
故選C．
10.【答案】D
【解析】解：∵關于x的一元二次方程ax2+bx=c(ac≠0)一個實數(shù)根為2022，
∴20222a+2022b=c，
∴a+b2022=c20222，
∴c20222?b2022=a，
∴x=-12022是方程cx2+bx=a的實數(shù)根．
故選：D.
根據(jù)一元二次方程根的定義，將x=2022代入方程ax2+bx=c中，再兩邊同時除以20222，可得結(jié)論．
此題考查了一元二次方程的解，熟練掌握等式的性質(zhì)和一元二次方程解的定義是解本題的關鍵．
11.【答案】?3
【解析】解：根據(jù)題意，將x=1代入方程得到：1+m+2=0，
解得：m=?3，
故答案為：?3．
將x=1代入方程得到關于m的方程，解得即可．
本題考查一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解是解題的關鍵．
12.【答案】x1=?2，x2=3
【解析】略
13.【答案】2
【解析】解：由題意可知：x=1代入方程x2?3x+a=0中，
得到：1?3+a=0，
∴a=2，
故答案為：2．
根據(jù)題意將x=1代入方程中即可求出答案．
本題考查一元二次方程的解，解題的關鍵是熟練運用一元二次方程的解定義，本題屬于基礎題型．
14.【答案】2
【解析】【分析】
本題考查了一元二次方程的解的定義，解題關鍵在于注意二次項系數(shù)不等于0，也是本題容易出錯的地方．
把方程的根代入方程得到關于a的方程，求解a的值；再根據(jù)一元二次方程的定義，二次項的系數(shù)不等于0列式計算，最后得解．
【解答】
解：∵方程的一個根為0，且a?1≠0，
∴(a?1)×02+0+a?2=0，
解得a=2．
故答案為2．
15.【答案】解：(a2?4a2?4a+4?12?a)÷1a2?2a
=[(a+2)(a?2)(a?2)2+1a?2]?a(a?2)
=(a+2a?2+1a?2)?a(a?2)
=a+3a?2?a(a?2)
=a(a+3)
=a2+3a，
∵a2+3a?2=0，
∴a2+3a=2，
∴原式=2．
【解析】根據(jù)分式的減法和除法可以化簡題目中的式子，然后根據(jù)a2+3a?2=0可以得到a2+3a的值，從而可以求得所求式子的值．
本題考查分式的化簡求值、一元二次方程的解，解答本題的關鍵是明確分式化簡求值的方法．
16.【答案】解：∵m是方程x2?x?2=0的一個根，
∴m2?m?2=0，
∴m2=m+2，
∴m(m+1)2?m(m2+3)+4
=2m2?2m+4
=2(m+2)?2m+4
=2m+4?2m+4
=8．
【解析】根據(jù)一元二次方程的解的定義得到m2?m?2=0，則m2=m+2，然后利用降次的方法對原式進行化簡即可．
本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．也考查了代數(shù)式求值．
17.【答案】解：(1)方程4x2+11x+7=0是“黃金方程”，理由如下：
∵a=4，b=11，c=7，
∴a?b+c
=4?11+7
=0，
∴一元二次方程4x2+11x+7=0是“黃金方程”；
(2)∵3x2?mx+n=0是關于x的“黃金方程”，
∵a=3，b=?m，c=n，
∴a?b+c=0，
3?(?m)+n=0，
∴n=?3?m，
∴原方程可化為3x2?mx?3?m=0，
∵m是此方程的一個根，
∴3m2?m2?3?m=0，即2m2?m?3=0，
解得m=?1或m=32．
【解析】(1)根據(jù)已知條件中的新定義，找出a，b，c的值，代入a?b+c判斷是否為0即可；
(2)根據(jù)已知條件中的新定義，找出a，b，c的值，求出m，n的關系式，然后把n化成m，代入方程，得到關于m的方程，進行解答即可．
本題主要考查了一元二次方程的根，解題關鍵是理解已知條件中的新定義．
18.【答案】解：∵a是方程2x2?7x?1=0的一個根，
∴把x=a代入方程2x2?7x?1=0，得2a2?7a?1=0，
∴2a2?7a=1，
∴a(2a?7)+5
=2a2?7a+5
=1+5
=6．
【解析】根據(jù)一元二次方程的解的定義得到2a2?7a?1=0，則2a2?7a=1，再把a(2a?7)+5變形為2a2?7a+5，然后利用整體代入的方法計算．
本題考查一元二次方程的解的定義，一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．也考查了代數(shù)式求值．
19.【答案】解：(1)T=a2?2a+a2+6a+9=2a2+4a+9；
(2)∵a是一元二次方程x2+2x?2=0的解，
∴a2+2a?2=0，
∴a2+2a=2，
∴T=2(a2+2a)+9=2×2+9=13．
【解析】(1)先利用整式的乘法運算展開，然后合并即可；
(2)先根據(jù)一元二次方程根的定義得到a2+2a=2，再把T變形為2(a2+2a)+9，然后利用整體代入的方法計算．
本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．
20.【答案】0或?2
【解析】解：(1)∵關于x的方程x2+x+c=0是常數(shù)根一元二次方程，
∴方程的一個根為x=c，
代入方程得，c2+2c=0，
解得c=0或?2；
故答案為：0或?2；
(2)∵關于x的方程x2+2mx+m+1=0是常數(shù)根一元二次方程，
∴方程的一個根為x=m+1，
代入方程得，(m+1)2+2m(m+1)+m+1=0，
整理得，3m2+5m+2=0，
解得m=?23或?1．
(1)根據(jù)常數(shù)根一元二次方程的定義，把x=c代入方程，解關于c的方程即可；
(2)根據(jù)常數(shù)根一元二次方程的定義，把x=m+1代入方程，解關于m的方程即可．
本題考查了一元二次方程的解，解一元二次方程以及新定義，解題的關鍵是利用常數(shù)根一元二次方程的定義，得出關于c(m)的方程．

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