一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）
1.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點，D是斜邊AB上一點，則添加下列條件可以使四邊形DECF成為矩形的是( )
A. ∠ACD=∠BCDB. AD=BD
C. CD⊥ABD. CD=AC
2.如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E為AB的中點，連接OE，過D點作DF⊥AB于點F，若OE=4，∠DAB=60°，則AF的長為( )
A. 3
B. 2 3
C. 4
D. 4 3
3.如圖，?ABCD中，AB=3，BE平分∠ABC，交AD于點E，DE=2，點F，G分別是BE和CE的中點，則FG的長為( )
A. 3
B. 2.5
C. 2
D. 5
4.如圖，已知矩形ABCD，AB=3，BC=4，AE平分∠BAD交BC于點E，點F、G分別為AD、AE的中點，則FG=( )
A. 52B. 102C. 2D. 3 22
5.如圖△ ABC的周長為26，點D，E都在邊BC上，∠ ABC的平分線垂直于AE，垂足為Q，∠ ACB的平分線垂直于AD，垂足為P.若BC=10，則PQ的長為( )
A. 32B. 52C. 3D. 4
6.如圖，已知△ABC中，∠BAC=80°，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足為D，點E為BC的中點，連結(jié)DE.則∠BDE的度數(shù)為( )
A. 130°B. 125°C. 120°D. 100°
7.如圖，在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，G，H分別是BD，AC的中點，AB，CD滿足什么條件時，四邊形EGFH是菱形.( )
A. AB=CDB. AB//CDC. AC=BDD. AD=BC
8.如圖，點O是△ABC內(nèi)任一點，點D，E，F(xiàn)分別為OA，OB，OC的中點，則圖中的相似三角形有( )
A. 1對
B. 2對
C. 3對
D. 4對
9.如圖在平行四邊形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，連接AE，G是AB的中點，連接GF，若AE=4，則GF=( )
A. 5
B. 4
C. 2
D. 3
10.如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，若DE是△ABC的中位線，延長DE，交△ABC的外角∠ACM的平分線于點F，則線段DF的長為( )
A. 4
B. 72
C. 92
D. 5
第II卷（非選擇題）
二、填空題（本大題共4小題，共12.0分）
11.要測池塘B、C兩地的距離，小明想出一個方法：在池塘外取點A，得到線段AB、AC，并取AB、AC的中點D、E，連接DE，測得DE=20米，則BC= ______ 米.
12.如圖，AB是池塘兩端，設(shè)計一方案測量AB的距離，首先取一點C，連接AC，BC，再取它們的中點D，E，測得DE=15米，則AB=______米．
13.如圖，菱形ABCD中，對角線AC交BD于O，AB=8，E是CD的中點，則OE的長等于___________．
14.如圖，在正△ABC中，AB=3，AE=CD=1，F(xiàn)、G分別為AD、BE的中點，則FG= ______ ．
三、解答題（本大題共6小題，共48.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15.(本小題8.0分)
如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點．
(1)如果設(shè)AB=a，BC=b，AD=c，那么BD= ，DC= ，HE= (含a、b、c的式子表示)；
(2)求作：BC?DG．
(請在原圖上作圖，不要求寫作法，但要寫出結(jié)論)
16.(本小題8.0分)
如圖，平行四邊形ABCD中，E是BC的中點.請你在線段AB上截取BF=2AF，連接EF交BD于點G，求GBGD的值．
17.(本小題8.0分)
如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D是AB的中點，DE/?/BC，BE⊥AB．
(1)求證：△DEB∽△BAC；
(2)若AB=6，AC=2，求△DEB的面積．
18.(本小題8.0分)
如圖，小明在乙樓BE前方的點C處，眼睛貼地觀察，恰好看到甲、乙兩樓樓頂上的點A和E重合為一點，若B、C相距30米，C、D相距60米，乙樓高BE為20米，EF⊥AD于點F，已知D、B、C在一條直線上，甲AD與EB均垂直于CD，求甲樓的高AD.(提示：DF=BE，EF=BD)
19.(本小題8.0分)
如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC，BD交于點O，AC=2AB，BE/?/AC，OE/?/AB．
(1)求證：四邊形ABEO是菱形．
(2)若AC=4 5，BD=8，求四邊形ABEO的面積．
20.(本小題8.0分)
已知：如圖，在菱形ABCD中，點E，O，F(xiàn)分別為AB，AC，AD的中點，連接CE，CF，OE，OF．
(1)求證：△BCE≌△DCF；
(2)當(dāng)AB⊥BC時，請判斷四邊形AEOF的形狀，并說明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本題考查平行四邊形的判定，矩形的判定等知識.添加AD=BD后利用三角形中位線定理和平行四邊形的判定得出四邊形DECF是平行四邊形，再根據(jù)∠ACB=90°，得出四邊形DECF成為矩形．
【解答】
解：添加AD=BD，
∵點E，點F分別是AC，BC的中點，AD=BD，
∴ED/?/BC，DF/?/AC，
∴四邊形DECF是平行四邊形，
∵∠ACB=90°，
∴平行四邊形DECF是矩形．
故選B．
2.【答案】C
【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DO=OB，
∴E為AB的中點，
∴AE=EB，
∴OE是△ADB的中位線，
∴AD=2OE=8，
∵DF⊥AB，∠DAB=60°，
∴AF=12AD=4，
故選：C．
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出DO=OB，進而利用三角形的中位線定理得出AD，進而利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)解答即可．
此題考查平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出DO=OB解答．
3.【答案】B
【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE=3，
∴AD=BC=AE+ED=3+2=5，
∵點F，G分別是BE和CE的中點，
∴FG是△BEC的中位線，
∴FG=12BC=2.5，
故選：B．
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD//BC，進而利用平行線的性質(zhì)和三角形中位線定理解答即可．
此題考查平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD//BC解答．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定，三角形中位線的定理，求EC的長是解本題的關(guān)鍵．
由矩形的性質(zhì)和角平分線的定義可得AB=BE=3，可得EC=1，由勾股定理可求DE= 10，由三角形中位線定理可求GF的長．
【解答】
解：連接DE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3，AD=BC=4，AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=3，
∴EC=BC?BE=1，
∴DE= EC2+CD2= 10，
∵點F、G分別為AD、AE的中點，
∴FG=12DE= 102．
故選B．
5.【答案】C
【解析】略
6.【答案】A
【解析】解：如圖，延長BD與AC相交于點F，
∵∠BAC=80°，AD平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAF=40°．
又∵BD⊥AD，
∴AF=AB，BD=DF，
∴∠ABF=∠AFB=50°．
∴∠BFC=130°．
又∵E為BC中點，
∴DE是△BCF的中位線，
∴DE/?/AC，
∴∠BDE=∠BFC=130°．
故選：A．
延長BD與AC相交于點F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BD=DF，再利用三角形的中位線平行于第三邊并可得DE/?/AC，則由平行線的性質(zhì)求解．
本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，等腰三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出以DE為中位線的三角形是解題的關(guān)鍵．
7.【答案】A
【解析】解：當(dāng)AB=CD時，四邊形EGFH是菱形．理由如下：
∵點E，G分別是AD，BD的中點，
∴EG是△ABD的中位線，
∴EG//AB，EG=12AB，
同理HF/?/AB，HF=12AB，EH/?/CD，EH=12CD，
∴EG//HF，EG=HF，
∴四邊形EGFH是平行四邊形，
又∵AB=CD，
∴EG=EH，
∴平行四邊形EGFH是菱形．
故選：A．
證EG是△ABD的中位線，得EG/?/AB，EG=12AB，同理HF/?/AB，HF=12AB，EH/?/CD，EH=12CD，則EG/?/HF，EG=HF，得四邊形EGFH是平行四邊形，再證EG=EH，即可得出結(jié)論．
本題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理等知識，熟練掌握菱形的判定和三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．
8.【答案】D
【解析】解：∵D，E，F(xiàn)分別為OA，OB，OC的中點，
∴DE/?/AB，EF/?/BC，DF/?/AC，
∴△ODE∽△OAB，△OEF∽△OBC，△ODF∽△OAC，
∵∠ODE=∠OAB，∠ODF=∠OAC，
∴∠ODE+∠ODF=∠OAB+∠OAC，
∴∠EDF=∠BAC，
∵∠OED=∠OBA，∠OEF=∠OBC，
∴∠OED+∠OEF=∠OBA+∠OBC，
∴∠DEF=∠ABC，
∴△DEF∽△ABC，
∴圖中共有4對相似三角形，
故選：D．
由三角形的中位線定理證明DE/?/AB，EF/?/BC，DF/?/AC，即可根據(jù)“平行于三角形一邊的直線和其它兩邊或兩邊的延長線相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相似”證明△ODE∽△OAB，△OEF∽△OBC，△ODF∽△OAC，再由平行線的性質(zhì)推導(dǎo)出∠EDF=∠BAC，∠DEF=∠ABC，即可根據(jù)“兩角分別相等的兩個三角形相似”證明△DEF∽△ABC，于是得到問題的答案．
此題重點考查三角形的中位線定理、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定等知識，根據(jù)三角形的中位線定理證明DE/?/AB，EF/?/BC，DF/?/AC是解題的關(guān)鍵．
9.【答案】C
【解析】解：在平行四邊形ABCD中，AB/?/CD，
∴∠ABE=∠BEC．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠CBE=∠BEC，
∴CB=CE．
∵CF⊥BE，
∴BF=EF．
∵G是AB的中點，
∴GF是△ABE的中位線，
∴GF=12AE，
∵AE=4，
∴GF=2．
故選：C．
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合角平分線的定義可求解∠CBE=∠BEC，即可得CB=CE，利用等腰三角形的性質(zhì)可得BF=EF，進而可得GF是△ABE的中位線，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)可求解．
本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線的性質(zhì)，證明GF是△ABE的中位線是解題的關(guān)鍵．
10.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，AC= AB2+BC2= 42+32=5，
∵DE是△ABC的中位線，
∴DE=12BC=1.5，DE/?/BC，EC=12AC=2.5，
∴∠EFC=∠FCM，
∵CF是∠ACM的平分線，
∴∠ECF=∠FCM，
∴∠EFC=∠ECF，
∴EF=EC=2.5，
∴DF=DE+EF=1.5+2.5=4，
故選：A．
根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)三角形中位線定理得到DE=12BC=1.5，DE/?/BC，根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定定理得到EF=EC=2.5，結(jié)合圖形計算，得到答案．
本題考查的是三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的判定，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
11.【答案】40
【解析】解：∵點D、E分別是AB、AC的中點，
∴DE是△ABC的中位線，
∴BC=2DE=2×20=40(米)，
故答案為：40．
根據(jù)三角形中位線定理解答．
本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
12.【答案】30
【解析】解：∵D是AC的中點，E是BC的中點，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE=12AB，
∵DE=15米，
∴AB=2DE=30米，
故答案為：30．
證明DE是△ABC的中位線，根據(jù)中位線定理可得AB=2DE=30米．
本題考查了三角形的中位線定理，熟練掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．
13.【答案】4
【解析】【分析】
本題考查了菱形的性質(zhì)和三角形的中位線定理的應(yīng)用.根據(jù)菱形的性質(zhì)得出OC=OA，根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)得出OE=12AD，代入求出即可．
【解答】
解：∵四邊形ABCD是菱形，AB=8，
∴OC=OA，AD=AB=8
∵E是CD的中點，
∴OE是△ACD的中位線，
∵AD=8，
∴OE=12AD=4．
故答案為4．
14.【答案】 32
【解析】解：取AB的中點H，連接并延長HF交AC于點K，連接并延長HG交BC于點J，
∵△ABC是等邊三角形，AB=3，AE=CD=1，
∴BC=AB=3，∠C=60°，
∴BD=BC?CD=3?1=2，
∵F、G分別為AD、BE的中點，
∴GH/?/AE，GH=12AE=12×1=12，F(xiàn)H//BD，F(xiàn)H=12BD=12×2=1，
∵JH//CK，KH//CJ，
∴四邊形CKHJ是平行四邊形，
∴∠KHJ=∠C=60°，
作HL⊥FH于點L，則∠GLH=∠GLF=90°，
∴HL=GH?cs60°=12×12=14，GL=GH?sin60°=12× 32= 34，
∴FL=FH?HL=1?14=34，
∴FG= GL2+FL2= ( 34)2+(34)2= 32，
故答案為： 32．
取AB的中點H，連接并延長HF交AC于點K，連接并延長HG交BC于點J，由等邊三角形的性質(zhì)得BC=AB=3，∠C=60°，則BD=BC?CD=2，由三角形的中位線定理得GH/?/AE，GH=12AE=12，F(xiàn)H//BD，F(xiàn)H=12BD=1，則四邊形CKHJ是平行四邊形，所以∠KHJ=∠C=60°，作HL⊥FH于點L，則HL=GH?cs60°=14，GL=GH?sin60°= 34，所以FL=FH?HL=34，由勾股定理得FG= GL2+FL2= 32，于是得到問題的答案．
此題重點考查等邊三角形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．
15.【答案】解：(1)c?a，a+b?c，12a?12c
(2)如圖：BG即為所求．

【解析】【分析】
本題考查的是平面向量的加減法，三角形中位線定理有關(guān)知識．
(1)根據(jù)圖形直接進行解答;
(2)要求作BC?DG，只要作出BC?DG=BC?GC=BG．
【解答】
解：(1)∵AB=a，AD=c
∴BD=BA+AD=c?a，
∵BC=b，
∴BD=BC+CD
c?a=b+CD
∴DC=a+b?c
∵H，E是AD，AB的中點，
∴HE=12DB=12a?c=12a?12c．
(2)見答案．
16.【答案】解：過點E作EH/?/CD交BD于H. …(2分)
∵點E是BC的中點，
∴點H是BD的中點．
∴HE是△BDC的中位線．
∴HECD=12. …(3分)
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB/?/CD，AB=CD．
∴HEAB=12，EH/?/AB．
∵BF=2AF，
∴BFAB=23．
∴BFHE=43．
∵EH//AB，
∴△FGB∽△EGH. …(4分)
∴BFHE=BGGH=43．
∵點H是BD的中點，
∴BGGD=25. …(5分)
【解析】由平行四邊形的性質(zhì)易證兩三角形相似，然后由相似三角形和平行線分線段成比例得出比例式求解即可．
本題考查了相似三角形的性質(zhì)，其中由相似三角形的性質(zhì)得出比例式是解題關(guān)鍵．注意：求相似比不僅要認準(zhǔn)對應(yīng)邊，還需注意兩個三角形的先后次序．
17.【答案】(1)證明：∵DE/?/BC，
∴∠EDB=∠CBA，
∵∠C=90°，BE⊥AB，
∴∠C=∠EBD，
∴△DEB∽△BAC．
(2)解：∵點D是AB的中點，AB=6，
∴BD=12AB=3，
∵在Rt△ABC中，AB=6，AC=2，
∴BC= AB2?AC2=4 2，
∴S△ABC=12×AC×BC=4 2，
由(1)可得△DEB∽△BAC，
∴S△BDES△ABC=(BDBC)2=(34 2)2=932，即S△BDE=932S△ABC，
∴S△BDE=932S△ABC=932×4 2=98 2．
【解析】(1)根據(jù)DE/?/BC可得∠EDB=∠CBA，即可求證△DEB∽△BAC；
(2)先求出BD=12AB=3，BC= AB2?AC2=4 2，再求出相似比，再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求解．
本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是掌握：有兩個角相等的兩個三角形相似，相似三角形的面積比等于相似比的平方．
18.【答案】解：∵AD⊥DC，EF⊥AD，
∴EF//DC，
∴∠AEF=∠C，
∵B、C相距30米，C、D相距60米，
∴EF=DB=BC=30米，
∵∠AFE=∠EBC=90°，
∴△AEF≌△ECB(ASA)，
∴AF=BE，
∵DF=BE，
∴AD=2BE=2×20=40(米)．
答：甲樓的高AD是40米．
【解析】由圖可知，AD⊥DC，EF⊥AD，推出EF//CD，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．
本題考查了三角形的中位線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形，解題的關(guān)鍵是仔細分析數(shù)據(jù)特點，將原題轉(zhuǎn)化為關(guān)于三角形中位線的問題解答．
19.【答案】證明：(1)∵BE/?/AC，OE/?/AB，
∴四邊形ABEO是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AC=2AO，
∵AC=2AB，
∴AO=AB，
∴四邊形ABEO是菱形；
(2)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO=12AC=2 5，OB=12BD=4，
連接AE交BO于M，
由(1)知，四邊形ABEO是菱形，
∴AE、OB互相垂直平分，
∴OM=12BO=2，
∴AM= OA2?OM2= (2 5)2?22=4，
∴AE=8，
∴四邊形ABEO的面積=12AE?OB=12×8×4=16．
【解析】(1)根據(jù)平行四邊形的判定定理得到四邊形ABEO是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AC=2AO，推出AO=AB，得到四邊形ABEO是菱形；
(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AO=12AC=2 5，OB=12BD=4，連接AE交BO于M，根據(jù)勾股定理得到AM，根據(jù)菱形的面積公式即可得到結(jié)論．
本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理、菱形面積的計算等知識，熟練掌握平行四邊形和菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
20.【答案】(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，AB=BC=DC=AD，
∵點E，O，F(xiàn)分別為AB，AC，AD的中點，
∴AE=BE=DF=AF，
在△BCE和△DCF中，
BE=DF∠B=∠DBC=DC，
∴△BCE≌△DCF(SAS)；
(2)解：當(dāng)AB⊥BC時，四邊形AEOF是正方形，理由如下：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，AB=BC=DC=AD，
∵點E，O，F(xiàn)分別為AB，AC，AD的中點，
∴AE=BE=DF=AF，OF=12DC，OE=12BC，OE/?/BC，
∴AE=OE=OF=AF，
∴四邊形AEOF是菱形，
∵AB⊥BC，OE/?/BC，
∴OE⊥AB，
∴∠AEO=90°，
∴四邊形AEOF是正方形．
【解析】(1)由菱形的性質(zhì)得出∠B=∠D，AB=BC=DC=AD，由已知證出AE=BE=DF=AF，由SAS證明△BCE≌△DCF即可；
(2)由三角形中位線定理證出OF=12DC，OE=12BC，OE/?/BC，得到AE=OE=OF=AF，證出四邊形AEOF是菱形，再證出∠AEO=90°，四邊形AEOF是正方形．
本題考查了正方形的判定、菱形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理等知識；熟練掌握菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定是解答本題的關(guān)鍵．

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初中數(shù)學(xué)華師大版九年級上冊電子課本 舊教材

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版本： 華師大版

年級： 九年級上冊

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