第2課時 利用一元二次方程解決平均變化率、利潤問題
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1.學(xué)會用一元二次方程解決平均變化率和利潤問題（重點）；
2.從實際結(jié)合問題中抽象出數(shù)學(xué)模型（難點）.
自主學(xué)習(xí)
一、新知預(yù)習(xí)
1.列方程
隨著我國汽車產(chǎn)業(yè)的快速發(fā)展以及人們經(jīng)濟收入的不斷提高，汽車已將越來越多的進入普通家庭，某市交通部門統(tǒng)計，2017年底，該市汽車保有量為15萬輛，截止到2019年底，汽車保有量已經(jīng)達到21.6萬輛.若該市這兩年汽車保有量增加率相同，設(shè)這個增長率為x.根據(jù)題意，可列出方程_____________.
2.填空：
（1）某商品每件進價10元，售價15元，每件可得利潤__________元.
①若漲價2元，則售價___________元, 每件可得利潤為___________元；
②若漲價x元，則售價___________元, 每件可得利潤為___________元.
（2） 某商品原來每天可銷售100件，后來進行價格調(diào)整,市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：
若該商品每降價1元，則該商品平均每天可多銷售2件.
①如果降價2元，那么多賣______件，每天銷售量為_______件；
②如果降價x元，那么多賣______件，每天銷售量為_______件.
（3）若該商品每漲價3元，則該商品平均每天少銷售5件.
①如果漲價6元，那么少賣______件，每天銷售量為________件；
②如果漲價x元，那么少賣_______件，每天銷售量為________件.
合作探究
一、探究過程
探究點1：列一元二次方程解決增長率問題
【問題】西藏地震牽動著全國人民的心，某單位開展了“一方有難，八方支援”賑災(zāi)捐款活動．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12 100元．
(1)如果第二天、第三天收到捐款數(shù)額的增長率相同，求捐款增長率；
解：設(shè)捐款增長率為x， 根據(jù)題意，可列出方程________________.
解方程得x1= ，x2= .
檢驗：當(dāng)x1＝_____時,_____題意.當(dāng)x2＝______時,____ ___題意.
答：捐款的增長率為______.
按照(1)中收到捐款數(shù)額的增長速度，第四天該單位能收到多少捐款？
【歸納總結(jié)】1.常見增長率問題一般公式為“原來的量×（1±變化率）n=后來的量”，其中增長用“﹢”，減少用“-”，“n”表示增長或減少的次數(shù).
2.得出一元二次方程的解后，一定要注意檢驗，使一元二次方程的解符合實際意義.
【針對訓(xùn)練】
1.某商品原售價為100元，連續(xù)兩次漲價x%后售價為120元，下面所列方程正確的是( )
A．100(1－x%)2＝120B．100(1＋x%)2＝120
C．100(1＋2x%)2＝120D．100(1＋x2%)2＝120
某漁船出海捕魚，2017年平均每次捕魚量為10噸，2019年平均每次捕魚量為8.1噸，求 該漁船2017年～2019年平均每次捕魚量的年平均下降率．
探究點2：列一元二次方程解決利潤率問題
【問題】山西特產(chǎn)專賣店銷售核桃，其進價為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100 kg.后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低2元，則平均每天的銷售量可增加20 kg.若該專賣店銷售這種核桃想要平均每天獲利2240元，請回答：
(1)每千克核桃應(yīng)降價多少元？
解：設(shè)每千克核桃降價x元，根據(jù)題意，可列出方程______________________.
解方程得x1= ，x2= .
檢驗：當(dāng)x1＝______時,_______題意.當(dāng)x2＝______時,________題意.
答：每千克核桃應(yīng)降價___________.
在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應(yīng)按原售價的幾折出售？
【歸納總結(jié)】利潤問題中常用的關(guān)系式：①利潤=售價-進價;②利潤率=.
【針對訓(xùn)練】
3.商場某種商品的進價為每件100元，當(dāng)售價定為每件150元時平均每天可銷售30件．為了盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價1元，商場平均每天可多售出2件．設(shè)每件商品降價x元(x為整數(shù))．據(jù)此規(guī)律，請回答：
(1)商場日銷售量增加____件，每件商品盈利_________元(用含x的代數(shù)式表示)；
(2)若上述條件不變，每件商品降價多少元時，商場日盈利可達到2 100元？
二、課堂小結(jié)
當(dāng)堂檢測
1.某地區(qū)1月初疫情感染人數(shù)為6萬人，通過社會各界的努力，3月初感染人數(shù)減少至1萬人．設(shè)1月初至3月初該地區(qū)感染人數(shù)的月平均下降率為x，根據(jù)題意列方程為（ ）
A．6（1-2x）=1 B．6（1-x）2=1 C．6（1+2x）=1 D．6（1+x）2=1
2.某校去年對實驗器材的投資為2萬元,預(yù)計今明兩年的投資總額為8萬元.若設(shè)該校今明兩年在實驗器材投資的平均增長率是x,則可列方程為__________.
3.某種文化衫每天銷售40件，每件盈利20元，若每件降價1元，則每天可多銷售10件，如果每天要盈利950元，設(shè)每件應(yīng)該降價x元，那么可列方程為__________________ .
4.某校堅持對學(xué)生進行近視眼的防治,近視學(xué)生人數(shù)逐年減少.據(jù)統(tǒng)計,今年的近視學(xué)生人數(shù)是前年人數(shù)的64%,那么這兩年平均每年近視學(xué)生人數(shù)降低的百分率是多少?

5.菜農(nóng)李偉種植的某種蔬菜，計劃以每千克5元的價格對外批發(fā)銷售.由于盲目擴大種植，造成該蔬菜滯銷.李偉為了加快銷售，減少損失，對價格經(jīng)過兩次下調(diào)后，以每千克3.2元的價格對外批發(fā)銷售.求平均每次下調(diào)的百分率.
參考答案
自主學(xué)習(xí)
一、新知預(yù)習(xí)
1.15（1+x）2=21.6
2.（1）5 ①17 7 ②（15+x） （5+x） （2）①4 104 ②2x （100+2x） （3）①10 90 ② （100-）
合作探究
一、探究過程
探究點1：
【問題】
（1）10000（1+x）2=12100 0.1 -2.1 0.1 符合 -2.1 不符 10％
（2）12100×1.1=13310（元）.答：第四天能收到13310元捐款.
【針對訓(xùn)練】
1. B
2.解：設(shè)該漁船2017年-2019年每年平均每次捕魚量的年平均下降率為x，根據(jù)題意，列方程得10×（1-x）2=8.1，解得x1=0.1=10%，x2=1.9（不合題意，舍去）．
答：2017年-2019年該漁船每年平均每次捕魚量的年平均下降率為10%．
探究點2：
【問題】
（1）（60-x-40）（100+×20）=2240 4 6 4 符合 6 符合 4元或6元
（2）由（1）可知每千克核桃可降價4元或6元．因為要盡可能讓利于顧客，所以每千克核桃應(yīng)降價6元．此時，售價為60-6=54（元），×100%=90%．
答：該店應(yīng)按原售價的九折出售．
【針對訓(xùn)練】
3. 解：（1）2x （50-x）
（2）根據(jù)題意得：（50-x）（30+2x）=2100，整理得x2-35x+300=0，解得x1=15，x2=20.因為為了盡快減少庫存，所以x應(yīng)該取20，若上述條件不變，則每件商品降20元時，商場日盈利可達到2100元．
答：每件商品降20元時，商場日盈利可達到2100元．
二、課堂小結(jié)
次數(shù) 售價-進價 利潤÷進價 （售價-進價）÷進價
當(dāng)堂檢測
1.B 2.2（1+x)+2(1+x)2=8
3.（20-x）（40+10x）=950
4. 解：設(shè)這兩年平均每年近視學(xué)生人數(shù)降低的百分率為x, 前年近視人數(shù)為“1”，則今年近視人數(shù)為（1 - x）2. 由題意，得(1 – x )2 = 0.64 . 解得 x1 = 0.2= 20%, x2 = 1.8（不合題意，舍去）.
答：這兩年平均每年近視學(xué)生人數(shù)降低的百分率為20%.
5.解：（1）設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為x，由題意，得5(1－x)2=3.2.解得 x1=0.2=20%，x2=1.8 （舍去）.∴平均每次下調(diào)的百分率為20%.
一元一次方程的應(yīng)用
內(nèi)容
運用策略
增長率問題
原來的量×（1±變化率）n=后來的量,其中“n”表示增長或減少的________.
解題時要理清原來的數(shù)，后來的數(shù)以及變化情況.
利潤問題
利潤問題中常用的關(guān)系式：①利潤=___________;②利潤率=________=______________.
關(guān)鍵要弄清標(biāo)價、售價、成本價的實際意義以及利潤的相關(guān)等量關(guān)系.

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22.1 一元二次方程

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