泉州五中2022~2023學(xué)年第一學(xué)期期中考試高三數(shù)學(xué)試卷（滿分：150分，考試時(shí)間：120分鐘）注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名，考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1. 已知集合，，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】配方求值域，得到，求出定義域得到或，從而求出交集.【詳解】，故，，解得：或，故或，所以.故選：D2. 已知平面向量，，則，的夾角為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量夾角公式求得正確答案.【詳解】，設(shè)，的夾角為，，，由于，所以.故選：C3. 已知，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)輔助角公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式、余弦二倍角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】，故選：B4. 已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（    ）A. 77 B. 88 C. 99 D. 110【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，計(jì)算出等差數(shù)列的基本量，即可利用等差數(shù)列的求和公式求解.【詳解】，得，解得，，得，解得，故，.故選：B5. 函數(shù)的圖象大致為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域、時(shí)的取值范圍求得正確答案.【詳解】，的定義域?yàn)?/span>，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，，所以AB選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確.故選：D6. 已知在△ABC中，，，，，P在CD上，，則的值為（    ）A.  B.  C. 4 D. 6【答案】C【解析】【分析】由三點(diǎn)共線求出，再由得出的值.【詳解】三點(diǎn)共線，，，故選：C7. 已知，，，其中，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，得到其單調(diào)性，根據(jù)題目條件得到，，，結(jié)合且在上單調(diào)遞減，從而得到.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由，可得，即，即，由，可得，即，即，因?yàn)?/span>，在上單調(diào)遞增，所以，故，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，，故，因?yàn)?/span>，故，即，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，，故，從而.故選：A【點(diǎn)睛】構(gòu)造函數(shù)比較大小是高考熱點(diǎn)和難點(diǎn)，結(jié)合代數(shù)式的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，通過導(dǎo)函數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，從而比較出代數(shù)式的大小，本題中由對(duì)數(shù)運(yùn)算后，根據(jù)式子特征選擇，從而達(dá)到構(gòu)造出適當(dāng)函數(shù)的目的.8. 關(guān)于的不等式的解集中有且僅有兩個(gè)大于2的整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】轉(zhuǎn)化原不等式為，由此構(gòu)造函數(shù)，對(duì)進(jìn)行分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，通過研究時(shí)的函數(shù)值來確定的取值范圍.【詳解】依題意，關(guān)于的不等式的解集中有且僅有兩個(gè)大于2的整數(shù)，即的解集中有且僅有兩個(gè)大于2的整數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，即的解集中有且僅有兩個(gè)大于2的整數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)于，，即的解集中有無數(shù)個(gè)大于的整數(shù)，不符合題意.所以..若，即，設(shè)，，設(shè)，，在上遞減，且，所以當(dāng)時(shí)，，遞減，由于，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，遞減，所以，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，即的解集中有無數(shù)個(gè)大于的整數(shù)，不符合題意.所以，即，解得，所以的取值范圍是.故選：D【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，如果一次求導(dǎo)無法解決時(shí)，可以利用多次求導(dǎo)的方法來解決.在此過程中，要注意導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A. 直線是的對(duì)稱軸B. 點(diǎn)是的對(duì)稱中心C. 在區(qū)間上單調(diào)遞減D. 的圖象向右平移個(gè)單位得的圖象【答案】BCD【解析】【分析】由代入法可檢驗(yàn)對(duì)稱軸與對(duì)稱中心，從而可判斷AB；由得可判斷C；求出平移之后解析式可判斷D；【詳解】因?yàn)?/span>，所以直線不是的對(duì)稱軸，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)是的對(duì)稱中心，故B正確；當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C正確；的圖象向右平移個(gè)單位得的圖象，故D正確；故選：BCD10. 是定義在上的函數(shù)，滿足，，則下列說法正確的是（    ）A.  B. 當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)解C.  D. 當(dāng)時(shí)，方程有且只有一個(gè)解【答案】CD【解析】【分析】首先根據(jù)條件求出的表達(dá)式,再求導(dǎo)，分析的圖像，結(jié)合圖像即求解.【詳解】，將代入得，又，解得，故A錯(cuò)；令，，則，為任意常數(shù).,..，當(dāng)時(shí)，,單調(diào)遞增，當(dāng)，單調(diào)遞減,在處取最大值.作圖如下： 則方程有兩個(gè)解，即與的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，,則B錯(cuò)誤；由上圖可知，，C正確；當(dāng)時(shí)，與的圖像有一個(gè)交點(diǎn)，符合題意，D正確.故選：CD11. 已知扇形AOB的半徑為1，，點(diǎn)C在弧AB上運(yùn)動(dòng)，，下列說法正確的有（    ）A. 當(dāng)C位于A點(diǎn)時(shí)，值最小 B. 當(dāng)C位于B點(diǎn)時(shí)，的值最大C. 的取值范圍為 D. 的取值范圍【答案】ACD【解析】【分析】建立坐標(biāo)系，得出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得向量的坐標(biāo)，化已知問題為三角函數(shù)的最值可判斷結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】以為原點(diǎn)，以為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，其中，，．因?yàn)?/span>，所以，即，所以．所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)點(diǎn)為的中點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)為或點(diǎn)，故A正確，B錯(cuò)誤， 而，，所以，．因?yàn)?/span>，所以,故，因此，所以的取值范圍為，故C正確，，，，因?yàn)?/span>，所以,故，，，所以D正確．故選：ACD12. 數(shù)列滿足，，，則下列說法正確的是（    ）A. 當(dāng)時(shí)，B. 當(dāng)時(shí)，C. 當(dāng)時(shí)，D. 當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，數(shù)列單調(diào)遞減【答案】AB【解析】【分析】A選項(xiàng)，得到，構(gòu)造法求解數(shù)列通項(xiàng)公式，得到是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式；B選項(xiàng)，利用遞推公式求出前3項(xiàng)，猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法證明；C選項(xiàng)，畫出蛛網(wǎng)圖，得到當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，從而得到故，，即，，相加后得到結(jié)論；D選項(xiàng)，推導(dǎo)出為常數(shù)列，D錯(cuò)誤.【詳解】A選項(xiàng)，，設(shè)，整理得：，所以，故，又，，所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，，A正確；B選項(xiàng)，，因?yàn)?/span>，所以，，猜想：，下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：顯然，滿足要求，假設(shè)時(shí)，成立，即，則當(dāng)時(shí)，因，所以，故，B正確；C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)知，，畫出與的圖象，因?yàn)?/span>，且，畫出蛛網(wǎng)圖，可以看出：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，故，，所以，，兩不等式相加得：，C錯(cuò)誤；，因?yàn)?/span>，所以，顯然，，故此時(shí)為常數(shù)列，D錯(cuò)誤.故選：AB【點(diǎn)睛】由遞推公式求解通項(xiàng)公式，根據(jù)遞推公式的特點(diǎn)選擇合適的方法，（1）若，采用累加法；（2）若，采用累乘法；（3）若，可利用構(gòu)造進(jìn)行求解；三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13. 已知，則______．【答案】##-0.6【解析】【分析】首先將轉(zhuǎn)化成，然后根據(jù)三角函數(shù)齊次式法求值即可.【詳解】，，分子分母同除以，得.故答案為：14. 已知曲線上的相異兩點(diǎn)A，B到直線的距離相等，則點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)之和的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求得點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)之和的表達(dá)式，利用對(duì)數(shù)型函數(shù)值域的求法求得正確答案.【詳解】的定義域?yàn)?/span>，設(shè)，所以，，所以，所以點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)之和的取值范圍是.故答案為：15. 已知數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，若恒成立，則的取值范圍為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)，由遞推關(guān)系表示出，要使恒成立，則,解得即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)?/span>，則，，，，，，，，可知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是遞減的，且偶數(shù)項(xiàng)也是遞減的，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，要使恒成立，則，解得，即，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系式及數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，屬于難題.16. 銳角的內(nèi)角所對(duì)邊分別是a，b，c且，，若A，B變化時(shí)，存在最大值，則正數(shù)的取值范圍______．【答案】【解析】【分析】首先利用正弦定理得出角的關(guān)系，再結(jié)合銳角三角形得出角的范圍，最后根據(jù)存在最大值求出的取值范圍即可.【詳解】，，由正弦定理得：，即：，或（舍）是銳角三角形， ，解得：（其中）使存在最大值，只需存在，滿足 解得： .故答案為：.四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17. 已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的取值范圍．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換得到，整體法求解函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）根據(jù)伸縮變換和平移變換得到，根據(jù)，得到，結(jié)合正弦函數(shù)圖象求解出值域.【小問1詳解】，令，則，所以函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為：．【小問2詳解】將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，再將圖象向左平移個(gè)單位，得到的圖象，因?yàn)?/span>，所以，所以的值域?yàn)?/span>．18. 在△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，．（1）證明：；（2）若，，，求．【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)，得到，利用正弦定理得到，，再結(jié)合，即可證明原等式成立；（2）設(shè)，則，根據(jù)余弦定理得，解得，然后利用正弦定理求即可.【小問1詳解】△ACD中，由正弦定理得：，又因?yàn)?/span>，所以，所以①，同理，在△BCD中，，又，則，所以②，由得：，原等式即得證．【小問2詳解】設(shè)，則，△ABD中，由余弦定理得：，即，解得．所以，，由，得．19. 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為．且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，其前n項(xiàng)和，證明：．【答案】（1）    （2）證明見解析【解析】【分析】（1）因?yàn)?/span>，所以得到，然后化簡得，找出首項(xiàng)，求出通項(xiàng)即可；（2）利用第一問先求出，然后利用裂項(xiàng)相消求出即可.【小問1詳解】由已知得：，因?yàn)?/span>，，所以，且，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，．【小問2詳解】因?yàn)?/span>，所以．，又因?yàn)?/span>，所以，所以．20. 在四棱錐中，AD∥BC，，，G是PB的中點(diǎn)，△PAD是等邊三角形，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求證：平面GAC⊥平面ABCD；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析    （2）．【解析】【分析】（1）取AD的中點(diǎn)E，連接BE交AC于點(diǎn)O，連接，PE．通過證明OG⊥平面ABCD，來證得平面GAC⊥平面ABCD；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得二面角的余弦值．【小問1詳解】取AD的中點(diǎn)E，連接BE交AC于點(diǎn)O，連接，PE．因?yàn)椤?/span>PAD是等邊三角形，所以PE⊥AD，又因?yàn)槠矫?/span>PAD⊥平面ABCD，且交線為AD，平面，所以PE⊥平面ABCD，又AB平面ABCD，所以，不妨設(shè)，因?yàn)?/span>，，，所以，所以△ACD為直角三角形，所以，所以且，所以四邊形ABCE菱形，所以O為BE的中點(diǎn)，又因?yàn)?/span>G是PB的中點(diǎn)，所以，所以OG⊥AB，OG⊥AD，且，所以OG⊥平面ABCD，平面GAC，所以平面GAC⊥平面ABCD．【小問2詳解】由四邊形ABCE是菱形可得OB⊥OC，則可分別以，，為x軸，y軸，z軸正方向，O為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．由（1），，，所以，，，，所以，，設(shè)平面ABG的法向量為，則，取，則，易得平面ACG的法向量可取，所以，由圖知二面角為銳二面角，所以其余弦值為．21. 已知數(shù)列滿足2，．（1）求，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若記為滿足不等式的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求關(guān)于n的不等式的最大正整數(shù)解．【答案】（1），，，    （2），8【解析】【分析】（1）改寫遞推公式為，用倒數(shù)法先求出的通項(xiàng)公式，繼而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）展開計(jì)算出不等式，得出k的取值范圍，寫出的通項(xiàng)公式，再用錯(cuò)位相減法求出即可.【小問1詳解】因?yàn)?/span>，所以由已知遞推式可求得：，，．因?yàn)?/span>，所以，所以且，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，則，所以．【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，所以這樣k有個(gè)，即，所以，則，，兩式相減得：，所以，因?yàn)?/span>為遞增數(shù)列，又，，所以，所以關(guān)于n的不等式的最大正整數(shù)解為8．22. 已知函數(shù)．（1）討論的最小值；（2）設(shè)有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．【答案】（1）當(dāng)時(shí)，無最小值；當(dāng)時(shí)，取最小值    （2）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用換元法可得：令，由，，故在上遞增，因此，所以，則，分，和進(jìn)行討論即可得解；（2）根據(jù)題意由（1）可得有兩個(gè)零點(diǎn)即兩個(gè)零點(diǎn)，，且，，則原不等式等價(jià)于，利用換元法證明即可.【小問1詳解】因?yàn)?/span>，，令，，，故在上遞增，因此．，則，①若，則，所以在上無最小值；②若，則，恒成立，在上遞增，當(dāng)，，此時(shí)在上無最小值；③若，則當(dāng)時(shí)，，遞減，當(dāng)時(shí)，，遞增，所以當(dāng)時(shí)，取最小值即取最小值．綜上，當(dāng)時(shí)，無最小值；當(dāng)時(shí)，取最小值．【小問2詳解】有兩個(gè)零點(diǎn)兩個(gè)零點(diǎn)，，且，．．由，兩式相加得，兩式相減得，因此，所以即證．不妨設(shè)，則，則只需證，即．設(shè)，，則，在上遞增，則，所以原不等式即得證．【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論思想，同時(shí)考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的成立，考查了轉(zhuǎn)化思想.要求較高計(jì)算能力，屬于難題.本題的關(guān)鍵點(diǎn)有：（1）含參問題的分類討論，對(duì)參數(shù)的討論不重不漏；（2）換元法的應(yīng)用，通過換元研究函數(shù)時(shí)的常用方法.   

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