2023屆福建省泉州第五中學高三上學期期中考試數(shù)學試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】配方求值域，得到，求出定義域得到或，從而求出交集.【詳解】，故，，解得：或，故或，所以.故選：D2．已知平面向量，，則，的夾角為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量夾角公式求得正確答案.【詳解】，設(shè)，的夾角為，，，由于，所以.故選：C3．已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)輔助角公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式、余弦二倍角公式進行求解即可.【詳解】，故選：B4．已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則（    ）A．77 B．88 C．99 D．110【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，計算出等差數(shù)列的基本量，即可利用等差數(shù)列的求和公式求解.【詳解】，得，解得，，得，解得，故，.故選：B5．函數(shù)的圖象大致為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域、時的取值范圍求得正確答案.【詳解】，的定義域為，C選項錯誤.當時，，，所以AB選項錯誤，D選項正確.故選：D6．已知在△ABC中，，，，，P在CD上，，則的值為（    ）A． B． C．4 D．6【答案】C【分析】由三點共線求出，再由得出的值.【詳解】三點共線，，，故選：C7．已知，，，其中，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，得到其單調(diào)性，根據(jù)題目條件得到，，，結(jié)合且在上單調(diào)遞減，從而得到.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，當時，，當時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由，可得，即，即，由，可得，即，即，因為，在上單調(diào)遞增，所以，故，因為在上單調(diào)遞減，，故，因為，故，即，因為，所以，因為在上單調(diào)遞減，，故，從而.故選：A【點睛】構(gòu)造函數(shù)比較大小是高考熱點和難點，結(jié)合代數(shù)式的特點，選擇適當?shù)暮瘮?shù)，通過導(dǎo)函數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，從而比較出代數(shù)式的大小，本題中由對數(shù)運算后，根據(jù)式子特征選擇，從而達到構(gòu)造出適當函數(shù)的目的.8．關(guān)于的不等式的解集中有且僅有兩個大于2的整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】轉(zhuǎn)化原不等式為，由此構(gòu)造函數(shù)，對進行分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，通過研究時的函數(shù)值來確定的取值范圍.【詳解】依題意，關(guān)于的不等式的解集中有且僅有兩個大于2的整數(shù)，即的解集中有且僅有兩個大于2的整數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，即的解集中有且僅有兩個大于2的整數(shù)，當時，對于，，即的解集中有無數(shù)個大于的整數(shù)，不符合題意.所以..若，即，設(shè)，，設(shè)，，在上遞減，且，所以當時，，遞減，由于，所以當時，，所以當時，遞減，所以，所以當時，恒成立，即的解集中有無數(shù)個大于的整數(shù)，不符合題意.所以，即，解得，所以的取值范圍是.故選：D【點睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，如果一次求導(dǎo)無法解決時，可以利用多次求導(dǎo)的方法來解決.在此過程中，要注意導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)間的對應(yīng)關(guān)系. 二、多選題9．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．直線是的對稱軸B．點是的對稱中心C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．的圖象向右平移個單位得的圖象【答案】BCD【分析】由代入法可檢驗對稱軸與對稱中心，從而可判斷AB；由得可判斷C；求出平移之后的解析式可判斷D；【詳解】因為，所以直線不是的對稱軸，故A錯誤；因為，所以點是的對稱中心，故B正確；當時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C正確；的圖象向右平移個單位得的圖象，故D正確；故選：BCD10．是定義在上的函數(shù)，滿足，，則下列說法正確的是（    ）A． B．當時，方程有兩個解C． D．當時，方程有且只有一個解【答案】CD【分析】首先根據(jù)條件求出的表達式,再求導(dǎo)，分析的圖像，結(jié)合圖像即求解.【詳解】，將代入得，又，解得，故A錯；令，，則，為任意常數(shù).,..，當時，,單調(diào)遞增，當，單調(diào)遞減,在處取最大值.作圖如下：則方程有兩個解，即與的圖像有兩個交點，,則B錯誤；由上圖可知，，C正確；當時，與的圖像有一個交點，符合題意，D正確.故選：CD11．已知扇形AOB的半徑為1，，點C在弧AB上運動，，下列說法正確的有（    ）A．當C位于A點時，的值最小 B．當C位于B點時，的值最大C．的取值范圍為 D．的取值范圍【答案】ACD【分析】建立坐標系，得出點的坐標，進而可得向量的坐標，化已知問題為三角函數(shù)的最值可判斷結(jié)合選項逐一求解.【詳解】以為原點，以為軸，建立如圖所示的直角坐標系，設(shè)，則，其中，，．因為，所以，即，所以．所以當時，取得最大值，此時點為的中點，當或時，取得最小值，此時點為或點，故A正確，B錯誤，而，，所以，．因為，所以,故，因此，所以的取值范圍為，故C正確，，，，因為，所以,故，，，所以D正確．故選：ACD12．數(shù)列滿足，，，則下列說法正確的是（    ）A．當時，B．當時，C．當時，D．當時，數(shù)列單調(diào)遞增，數(shù)列單調(diào)遞減【答案】AB【分析】A選項，得到，構(gòu)造法求解數(shù)列通項公式，得到是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，求出通項公式；B選項，利用遞推公式求出前3項，猜想，再用數(shù)學歸納法證明；C選項，畫出蛛網(wǎng)圖，得到當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，從而得到故，，即，，相加后得到結(jié)論；D選項，推導(dǎo)出為常數(shù)列，D錯誤.【詳解】A選項，，設(shè)，整理得：，所以，故，又，，所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，，A正確；B選項，，因為，所以，，猜想：，下面用數(shù)學歸納法進行證明：顯然，滿足要求，假設(shè)時，成立，即，則當時，因為，所以，故，B正確；C選項，由B選項知，，畫出與的圖象，因為，且，畫出蛛網(wǎng)圖，可以看出：當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，，故，，所以，，兩不等式相加得：，C錯誤；，因為，所以，顯然，，故此時為常數(shù)列，D錯誤.故選：AB【點睛】由遞推公式求解通項公式，根據(jù)遞推公式的特點選擇合適的方法，（1）若，采用累加法；（2）若，采用累乘法；（3）若，可利用構(gòu)造進行求解； 三、填空題13．已知，則______．【答案】##-0.6【分析】首先將轉(zhuǎn)化成，然后根據(jù)三角函數(shù)齊次式法求值即可.【詳解】，，分子分母同除以，得.故答案為：14．已知曲線上的相異兩點A，B到直線的距離相等，則點A，B的縱坐標之和的取值范圍是______．【答案】【分析】設(shè)出兩點的坐標，求得點A，B的縱坐標之和的表達式，利用對數(shù)型函數(shù)值域的求法求得正確答案.【詳解】的定義域為，設(shè)，所以，，所以，所以點A，B的縱坐標之和的取值范圍是.故答案為：15．已知數(shù)列滿足，其前項和為，若恒成立，則的取值范圍為__________．【答案】【分析】根據(jù)題意設(shè)，由遞推關(guān)系表示出，要使恒成立，則,解得即可.【詳解】設(shè)，因為，則，，，，，，，，可知數(shù)列的奇數(shù)項是遞減的，且偶數(shù)項也是遞減的，且當時，，當時，，要使恒成立，則，解得，即，故答案為：【點睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系式及數(shù)列前n項和的性質(zhì)，屬于難題.16．銳角的內(nèi)角所對邊分別是a，b，c且，，若A，B變化時，存在最大值，則正數(shù)的取值范圍______．【答案】【分析】首先利用正弦定理得出角的關(guān)系，再結(jié)合銳角三角形得出角的范圍，最后根據(jù)存在最大值求出的取值范圍即可.【詳解】，，由正弦定理得：，即：，或（舍）是銳角三角形， ，解得：（其中）使存在最大值，只需存在，滿足 解得： .故答案為：. 四、解答題17．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，再將所得圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，當時，求函數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用三角恒等變換得到，整體法求解函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）根據(jù)伸縮變換和平移變換得到，根據(jù)，得到，結(jié)合正弦函數(shù)圖象求解出值域.【詳解】（1），令，則，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：．（2）將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，再將圖象向左平移個單位，得到的圖象，因為，所以，所以的值域為．18．在△ABC中，D為BC上一點，．(1)證明：；(2)若，，，求．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)，得到，利用正弦定理得到，，再結(jié)合，即可證明原等式成立；（2）設(shè)，則，根據(jù)余弦定理得，解得，然后利用正弦定理求即可.【詳解】（1）△ACD中，由正弦定理得：，又因為，所以，所以①，同理，在△BCD中，，又，則，所以②，由得：，原等式即得證．（2）設(shè)，則，△ABD中，由余弦定理得：，即，解得．所以，，由，得．19．設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為．且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，其前n項和，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）因為，所以得到，然后化簡得，找出首項，求出通項即可；（2）利用第一問先求出，然后利用裂項相消求出即可.【詳解】（1）由已知得：，因為，，所以，且，所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，．（2）因為，所以．，又因為，所以，所以．20．在四棱錐中，AD∥BC，，，G是PB的中點，△PAD是等邊三角形，平面PAD⊥平面ABCD．(1)求證：平面GAC⊥平面ABCD；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)． 【分析】（1）取AD的中點E，連接BE交AC于點O，連接，PE．通過證明OG⊥平面ABCD，來證得平面GAC⊥平面ABCD；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求得二面角的余弦值．【詳解】（1）取AD的中點E，連接BE交AC于點O，連接，PE．因為△PAD是等邊三角形，所以PE⊥AD，又因為平面PAD⊥平面ABCD，且交線為AD，平面，所以PE⊥平面ABCD，又AB平面ABCD，所以，不妨設(shè)，因為，，，所以，所以△ACD為直角三角形，所以，所以且，所以四邊形ABCE是菱形，所以O為BE的中點，又因為G是PB的中點，所以，所以OG⊥AB，OG⊥AD，且，所以OG⊥平面ABCD，平面GAC，所以平面GAC⊥平面ABCD．（2）由四邊形ABCE是菱形可得OB⊥OC，則可分別以，，為x軸，y軸，z軸正方向，O為原點，如圖建立空間直角坐標系．由（1），，，所以，，，，所以，，設(shè)平面ABG的法向量為，則，取，則，易得平面ACG的法向量可取，所以，由圖知二面角為銳二面角，所以其余弦值為．21．已知數(shù)列滿足2，．(1)求，并求數(shù)列的通項公式；(2)若記為滿足不等式的正整數(shù)的個數(shù)，求數(shù)列的前n項和為，求關(guān)于n的不等式的最大正整數(shù)解．【答案】(1)，，，(2)，8 【分析】（1）改寫遞推公式為，用倒數(shù)法先求出的通項公式，繼而求出數(shù)列的通項公式；（2）展開計算出不等式，得出k的取值范圍，寫出的通項公式，再用錯位相減法求出即可.【詳解】（1）因為，所以由已知遞推式可求得：，，．因為，所以，所以且，所以數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列，則，所以．（2）當時，，所以，所以這樣k有個，即，所以，則，，兩式相減得：，所以，因為為遞增數(shù)列，又，，所以，所以關(guān)于n的不等式的最大正整數(shù)解為8．22．已知函數(shù)．(1)討論的最小值；(2)設(shè)有兩個零點，證明：．【答案】(1)當時，無最小值；當時，取最小值(2)證明見解析. 【分析】（1）利用換元法可得：令，由，，故在上遞增，因此，所以，則，分，和進行討論即可得解；（2）根據(jù)題意由（1）可得有兩個零點即兩個零點，，且，，則原不等式等價于，利用換元法證明即可.【詳解】（1）因為，，令，，，故在上遞增，因此．，則，①若，則，所以在上無最小值；②若，則，恒成立，在上遞增，當，，此時在上無最小值；③若，則當時，，遞減，當時，，遞增，所以當時，取最小值即取最小值．綜上，當時，無最小值；當時，取最小值．（2）有兩個零點兩個零點，，且，．．由，兩式相加得，兩式相減得，因此，所以即證．不妨設(shè)，則，則只需證，即．設(shè)，，則，在上遞增，則，所以原不等式即得證．【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論思想，同時考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的成立，考查了轉(zhuǎn)化思想.要求較高計算能力，屬于難題.本題的關(guān)鍵點有：（1）含參問題的分類討論，對參數(shù)的討論不重不漏；（2）換元法的應(yīng)用，通過換元研究函數(shù)時的常用方法. 

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