建平中學(xué)2022學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)數(shù)學(xué)期中2022.11一、填空題（本大題共12題，1—6每題4分，7—12每題5分，共54分）1. 不等式的解集為________【答案】【解析】【詳解】因?yàn)?/span>所以，即不等式的解集為.2. 復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）的虛部為______．【答案】1【解析】【分析】先將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)，再求虛部即可【詳解】，所以復(fù)數(shù)的虛部為：1故答案為1【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，在復(fù)數(shù)中，實(shí)部為，虛部為，屬于基礎(chǔ)題3. 的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)是________．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】由條件利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求得展開(kāi)式的系數(shù).【詳解】在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為，故答案為：4. 已知函數(shù)奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則=________.【答案】【解析】【分析】由函數(shù)是奇函數(shù)，所以恒成立，再將求的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求即可.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，又當(dāng)時(shí)，，所以，故答案為-4.【點(diǎn)睛】本題考查了由函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值，重點(diǎn)考查了函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.5. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的通項(xiàng)公式為__________．【答案】【解析】【分析】利用求得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)上式也符合，所以.故答案為：6. 圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為的扇形，則此圓錐的母線長(zhǎng)為______．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)圓錐底面圓的半徑為1得到側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)為，然后根據(jù)側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角為列方程，解方程即可得到圓錐的母線長(zhǎng).【詳解】因?yàn)閳A錐底面圓的半徑為1，所以側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)為，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，因?yàn)閭?cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角為，所以，解得，所以此圓錐的母線長(zhǎng)為3.故答案為：3.7. 在平行四邊形ABCD中，，則線段BD的長(zhǎng)為______．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律可得，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的幾何意義即可求解.【詳解】由，又.故答案為：28. 記，，，，，為1，2，3，4，5，6的任意一個(gè)排列，則使得為奇數(shù)的排列共有___________個(gè).【答案】288【解析】【分析】由題設(shè)分析知：都為奇數(shù)，則每個(gè)式子在、中各取一個(gè)數(shù)即可，再利用分步計(jì)數(shù)法及組合數(shù)求排列的個(gè)數(shù).【詳解】由為奇數(shù)：均為奇數(shù)，∴三個(gè)代數(shù)式在、中各取一個(gè)，∴共有個(gè)排列.故答案為：9. 若正數(shù)x，y滿足，則的值為______．【答案】12【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則得，設(shè)為，即可得，，，則，結(jié)合指數(shù)冪運(yùn)算法則即可求值.【詳解】解：因?yàn)?/span>，則設(shè)，可得，，所以.故答案為：12.10. 已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點(diǎn)和點(diǎn)的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，則取值范圍是_______．【答案】【解析】【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，結(jié)合直線方程及兩點(diǎn)間距離公式可得，，化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】由題意，，則，所以點(diǎn)和點(diǎn)，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化條件，消去一個(gè)變量后，運(yùn)算即可得解.11. 已知函數(shù)，，若在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是______．【答案】；【解析】【分析】應(yīng)用三角恒等變換有，換元法化為在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)列不等式求參數(shù)范圍即可.【詳解】由，所以，，則且，故在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，而，若，可得；若，可得；若，可得；若，此時(shí)無(wú)解，后續(xù)其它情況均無(wú)解；綜上，的取值范圍.故答案為：12. 如圖，三棱錐的頂點(diǎn)A在平面上，側(cè)棱平面，底面BCD是以B為直角的等腰直角三角形，且平面BCD與平面平行．， E是CD中點(diǎn)，M是線段AE上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作平面ACD的垂線交平面于點(diǎn)N，則點(diǎn)N到點(diǎn)C的距離的取值范圍為______． 【答案】；【解析】【分析】由題設(shè)可證則△、△都為等腰直角三角形，結(jié)合△BCD是以B為直角的等腰直角三角形，將幾何體補(bǔ)全為正方體且一個(gè)底面在上，進(jìn)而確定與所成角為，并有，應(yīng)用余弦定理、勾股定理求的范圍即可.【詳解】由平面，面，則面，面，所以，又且△BCD是以B為直角的等腰直角三角形，故，則△、△都為等腰直角三角形，將補(bǔ)全為正方體如下圖示，其中一個(gè)面在上且棱長(zhǎng)為1，所以，在等邊△中E是CD中點(diǎn)，故，過(guò)M作面ACD垂線交面于N，且面，面，則，因?yàn)?/span>，面，面，故，又，面，故面，面，所以，面面，面面，且，易知：過(guò)M作面ACD垂線在面內(nèi)，即面，而面，綜上，點(diǎn)必在對(duì)角線上，且與所成角為，，則，在中，令，由，故，所以，則，所以.故答案為：二、選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）13. 將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得圖象的函數(shù)解析為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平移過(guò)程寫(xiě)出解析式即可.【詳解】由題設(shè)，平移后的解析式為.故選：B14. 新冠疫情期間，某校貫徹“停課不停學(xué)”號(hào)召，安排小組展開(kāi)多向互動(dòng)型合作學(xué)習(xí)，如圖的莖葉圖是兩組學(xué)生五次作業(yè)得分情況，則下列說(shuō)法正確的是（    ）甲 乙  577  7328345  391    A. 甲組學(xué)生得分的平均數(shù)小于乙組學(xué)生的平均數(shù)B. 甲組學(xué)生得分的中位數(shù)大于乙組學(xué)生的中位數(shù)C. 甲組學(xué)生得分的極差小于乙組學(xué)生的極差D. 甲組學(xué)生得分的方差大于乙組學(xué)生的方差【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，極差和方差的定義分別計(jì)算判斷即可【詳解】對(duì)于A，甲組學(xué)生得分的平均數(shù)為，乙組學(xué)生的平均數(shù)為，則甲組學(xué)生得分的平均數(shù)等于乙組學(xué)生的平均數(shù)，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B, 甲組學(xué)生得分的中位數(shù)為83，乙組學(xué)生的中位數(shù)為84，則甲組學(xué)生得分的中位數(shù)小于乙組學(xué)生的中位數(shù)，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，甲組學(xué)生得分的極差為，乙組學(xué)生的極差，所以甲組學(xué)生得分的極差大于乙組學(xué)生的極差，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，甲組學(xué)生得分的方差為，乙組學(xué)生的方差為，所以甲組學(xué)生得分的方差大于乙組學(xué)生的方差，所以D正確，故選：D15. 設(shè)是等差數(shù)列，且公差不為零，其前項(xiàng)和為．則“，”是“為遞增數(shù)列”的（    ）A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】是等差數(shù)列，且公差不為零，其前項(xiàng)和為，充分性：，則對(duì)任意恒成立，則，，若，則數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則必存在，使得當(dāng)時(shí)，，則，不合乎題意；若，由且數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則對(duì)任意的，，合乎題意.所以，“，”“為遞增數(shù)列”；必要性：設(shè)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，但數(shù)列是遞增數(shù)列.所以，“，”“為遞增數(shù)列”.因此，“，”是“為遞增數(shù)列”的充分而不必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式是解決本題的關(guān)鍵，屬于中等題．16. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)C是雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)D在直線上，且滿足，．若，則雙曲線的離心率為（    ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)得在的角平分線上，進(jìn)而根據(jù)雙曲線的定義以及切線長(zhǎng)性質(zhì)可判斷為的內(nèi)心，結(jié)合重心的向量表示以及重心的性質(zhì)，即可得，進(jìn)而由離心率公式即可求解.【詳解】由于點(diǎn)D在直線上，且滿足，可知在的角平分線上，設(shè)的內(nèi)切圓分別與邊相切于點(diǎn),（如圖1）則有切線長(zhǎng)定理可得,結(jié)合雙曲線的定義可得,所以的內(nèi)心在直線上，故為的內(nèi)心，由得,　由于是的中點(diǎn),所以,因此,分別延長(zhǎng)至,使得,如圖2故，因此是的重心，設(shè)由是的重心，所以，又，同理即，故由于為的內(nèi)心，故到三條邊的距離相等，可得,因此為直角三角形，所以，因此離心率,故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義和性質(zhì)，以及三角形內(nèi)心，重心的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng).對(duì)于離心率問(wèn)題，要充分挖掘幾何性質(zhì)和圖形中體現(xiàn)的等量關(guān)系，建立出的關(guān)系系，從而求解離心率.三、解答題（本大題共5題，共14+14+14+16+18分）17. 如圖，在直棱柱中，，，D，E，F分別是，，的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求與平面DEF所成角的大小．【答案】（1）證明見(jiàn)解析    （2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量垂直證明線線垂直，（2）利用空間向量的夾角即可求解線面角.【小問(wèn)1詳解】由于三棱柱是直三棱柱，且，故兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,故,,所以，故【小問(wèn)2詳解】,,設(shè)平面的法向量為，則，取，則，設(shè)與平面DEF所成角為，則，由于，所以18. 某公園有一塊等腰直角三角形的空地ABC，其中斜邊BC的長(zhǎng)度為400米，現(xiàn)欲在邊界BC上選擇一點(diǎn)P，修建觀賞小徑PM，PN，其中M，N分別在邊界AB，AC上，小徑PM，PN與邊界BC的夾角都是，區(qū)域PMB和區(qū)域PNC內(nèi)部種郁金香，區(qū)域AMPN內(nèi)種植月季花． （1）探究：觀賞小徑PM， PN的長(zhǎng)度之和是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）為深度體驗(yàn)觀賞，準(zhǔn)備在月季花區(qū)城內(nèi)修建小徑MN，當(dāng)點(diǎn)P在何處時(shí)，三條小徑（PM，PN，MN）的長(zhǎng)度之和最少？【答案】（1）為定值，理由見(jiàn)解析    （2）P為BC中點(diǎn)，【解析】【分析】(1)在和中分別利用正弦定理即可求得PM與PN的長(zhǎng)度之和；(2)在中利用MN邊的余弦定理，再根據(jù)兩邊的積與和的基本不等式求解即可；【小問(wèn)1詳解】在中，＝180°－60°－45°＝75°，由正弦定理可得：，  即＝＝，同理可得，所以＝定值；【小問(wèn)2詳解】解：在中，由余弦定理可得：，即，所以，，又由（1）有＝， 故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.  故當(dāng)P點(diǎn)是MN的中點(diǎn)時(shí)，三條小徑（PM，PN，MN）的長(zhǎng)度之和最小，最小為19. 已知橢圓的方程為，圓與軸相切于點(diǎn)，與軸正半軸相交于兩點(diǎn)，且，如圖．（1）求圓的方程；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于 兩點(diǎn)，求證：射線平分．【答案】（1）    （2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)直線被圓截得的弦長(zhǎng)公式求出圓心和半徑即可求解；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明,利用韋達(dá)定理可證明.【小問(wèn)1詳解】依題意，設(shè)圓心，，，解得，所以所求圓方程為：.【小問(wèn)2詳解】代入圓方程，得或，所以,若過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在，此時(shí)在軸上，,射線平分;若過(guò)直線斜率存在，設(shè)其方程為，聯(lián)立整理得設(shè)，所以射線平分．綜上，射線平分.20. 已知無(wú)窮數(shù)列（）的前n項(xiàng)和為，記，，…，中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為．（1）若，請(qǐng)寫(xiě)出數(shù)列的前5項(xiàng)；（2）求證：“為奇數(shù)，，3，4，為偶數(shù)”是“數(shù)列是嚴(yán)格增數(shù)列的充分不必要條件；（3）若，2，3，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】（1）1，2，2，2，3    （2）證明見(jiàn)解析    （3）【解析】【分析】（1）推導(dǎo)出，．由此能寫(xiě)出數(shù)列的前5項(xiàng)．（2）先證充分性，推導(dǎo)出，從而數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列；再證不必要性，當(dāng)數(shù)列中只有是奇數(shù)，其余項(xiàng)都是偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，，3，均為奇數(shù)，，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，由此能證明：“為奇數(shù)，，3，4，為偶數(shù)”是“數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列”的充分不必要條件．（3）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，推導(dǎo)出不能為偶數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)，推導(dǎo)出不能是奇數(shù)，從而與同奇偶，由此得到．【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?/span>，故當(dāng)時(shí)，，則是第二項(xiàng)起的等差數(shù)列，所以所以則，即數(shù)列的前5項(xiàng)為：1，2，2，2，3；【小問(wèn)2詳解】證明：（充分性）是奇數(shù)，，3，為偶數(shù)，對(duì)于任意，都是奇數(shù)，，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列．（不必要性）當(dāng)數(shù)列中只有是奇數(shù)，其余項(xiàng)都是偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，，3，均為奇數(shù)，，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列， “為奇數(shù)，，3，4，為偶數(shù)”是“數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列”的不必要條件．綜上，：“為奇數(shù)，，3，4，為偶數(shù)”是“數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列”的充分不必要條件．【小問(wèn)3詳解】解：①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若為偶數(shù)，若是奇數(shù)，則為奇數(shù)，為偶數(shù)，與矛盾；若為偶數(shù)，則為偶數(shù)，為奇數(shù)，與矛盾．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，不能為偶數(shù)；②當(dāng)為偶數(shù)，若為奇數(shù)，若為奇數(shù)，則為偶數(shù)，為偶數(shù)，與矛盾，若為偶數(shù)，則為奇數(shù)，為奇數(shù)，與矛盾，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，不能是奇數(shù)．綜上，與同奇偶，若為奇數(shù)，則，若與同為奇數(shù)，則此時(shí)，與為奇數(shù)矛盾，若與同為偶數(shù)，則此時(shí)，與為偶數(shù)矛盾，所以為偶數(shù)，則，若與同為奇數(shù)，則此時(shí)，若與同為奇數(shù)，則此時(shí)，與為奇數(shù)矛盾，若與同為偶數(shù)，則此時(shí)，與為偶數(shù)矛盾，所以與同為偶數(shù)，則，以此類推，，2，3，...得到當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，為偶數(shù)即可滿足.所以.21. 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的圖像在點(diǎn)處的切線方程為，且，函數(shù)．（1）求函數(shù)的解析式．（2）令，討論函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．（3）若函數(shù)與函數(shù)的圖像在原點(diǎn)處有相同的切線．若對(duì)于任意恒成立，求m的取值范圍．【答案】（1）    （2），0個(gè)，，1個(gè)，，2個(gè)    （3）【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及切線方程，建立方程關(guān)系，即可求出，，的取值， （2）構(gòu)造函數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)情況，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，即可分類討論求解零點(diǎn) （3）將不等式對(duì)于任意，恒成立，進(jìn)行參數(shù)分離，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，即可求實(shí)數(shù)取值范圍．【小問(wèn)1詳解】，，，的圖象在點(diǎn)，處的切線方程為，當(dāng)時(shí)，，且切線斜率，則，②，，③，聯(lián)立②③解得，，，；【小問(wèn)2詳解】令，則，記問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)情況，則，在單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，故令，解得，，解得或，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，且當(dāng)且趨近于0時(shí)，趨向，且當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，結(jié)合在單調(diào)遞減，故可知當(dāng)時(shí)，與函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，與函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，與函數(shù)一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)，與函數(shù)沒(méi)有交點(diǎn)，當(dāng)，與函數(shù)一個(gè)交點(diǎn)，【小問(wèn)3詳解】函數(shù)，函數(shù)在原點(diǎn)處的切線斜率為1，，．若對(duì)于任意恒成立，則等價(jià)為對(duì)于任意恒成立，即恒成立，則只需要求出在上的最小值即可，設(shè)，，求導(dǎo)可得，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，故恒成立，即，在上恒成立，即在上恒成立，又，故，即，故的取值范圍為，．【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵．運(yùn)算量大，綜合性較強(qiáng)．求解函數(shù)有零點(diǎn)常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．    

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