?專題41 數(shù)列通項(xiàng)
【知識點(diǎn)總結(jié)】
一、觀察法
根據(jù)所給的一列數(shù)、式、圖形等，通過觀察法歸納出其數(shù)列通項(xiàng).
二、利用遞推公式求通項(xiàng)公式
①疊加法：形如的解析式，可利用遞推多式相加法求得
②疊乘法：形如 的解析式， 可用遞推多式相乘求得
③構(gòu)造輔助數(shù)列：通過變換遞推公式，將非等差（等比）數(shù)列
構(gòu)造成為等差或等比數(shù)列來求其通項(xiàng)公式.常用的技巧有待定系數(shù)法、取倒數(shù)法和同除以指數(shù)法.
④利用與的關(guān)系求解
形如的關(guān)系，求其通項(xiàng)公式，可依據(jù)
，求出
【典型例題】
例1．（2023·遼寧阜新·?？寄M預(yù)測）數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)?br /> 所以，，
所以.
故選：A.
例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列的前4項(xiàng)為：，則它的一個通項(xiàng)公式是（??）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】將可以寫成，
所以的通項(xiàng)公式為；
故選:C
例3．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）在數(shù)列中，若，，則的通項(xiàng)公式為______．
【答案】
【解析】由題意可知數(shù)列中，，，
故，
所以
，
故答案為：
例4．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）在數(shù)列中，若，，則的通項(xiàng)公式為______．
【答案】
【解析】由題意知，故，
故
，
故答案為：
例5．（2023秋·遼寧葫蘆島·高三葫蘆島第一高級中學(xué)?？计谀┰跀?shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______.
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br /> 所以，
所以，，，……，，，
所以，
所以，
因?yàn)椋苑栐撌剑?br /> 故答案為：
例6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列，則的通項(xiàng)公式為______．
【答案】
【解析】∵，∴，∴，
又∵是公差為的等差數(shù)列，
∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，，
∴，整理得：，，
∴，
顯然對于也成立，∴的通項(xiàng)公式.
故答案為：.
例7．（2023秋·貴州貴陽·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足，若，則__________．
【答案】
【解析】法一：由，可得：，
由,可得:,
又，可得：.
法二：由題得，則等式兩邊同取倒數(shù)得，
則，，則數(shù)列為公差為2的等差數(shù)列，
則，當(dāng)，則，則，
故答案為：.
例8．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）在數(shù)列中，已知，，則的通項(xiàng)公式為______．
【答案】
【解析】由，
兩邊取倒數(shù)得，
即，
又因?yàn)椋?br /> 所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
所以，
故，
故答案為：
例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若a1＝1，an＋1＝2an＋3，則通項(xiàng)公式an＝________.
【答案】
【解析】由，得.
令，則，且.
所以是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.
∴，∴.
故答案為：
例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【解析】因?yàn)?，顯然，所以，
當(dāng)時(shí)，由累乘法得，
則，又，所以，
所以當(dāng)時(shí)，，時(shí)，也符合，
所以.
例11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【解析】因?yàn)棰伲?br /> 所以當(dāng)時(shí)，可知，則，
當(dāng)時(shí)，可知②，
①②得，即，
所以，
又滿足，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
例12．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）（1）已知數(shù)列滿足，求；
（2）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，且，求．
【解析】（1）設(shè)，
當(dāng)n＝1時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，得，而，
也滿足此等式．所以．
（2）當(dāng)n＝1時(shí)，，
即，
解得或，
因?yàn)椋裕?br /> 當(dāng)時(shí)，，
整理得，
由，則，得，
于是數(shù)列是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，
所以．
例13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【解析】由，當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，， ，
即， 可得，即，
因此數(shù)列為等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)，可得，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【技能提升訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則的通項(xiàng)為(????)
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)椋?，則當(dāng)時(shí)，，
將個式子相加可得，
因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，符合題意，
所以.
故選：D.
2．（2023春·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)列，，，，的通項(xiàng)公式為（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】數(shù)列，，，，，
所以第項(xiàng)為，所以通項(xiàng)公式為，故A、B、C錯誤，D正確.
故選：D
3．（2023秋·浙江臺州·高二期末）已知數(shù)列中，，且是等差數(shù)列，則（????）
A．36 B．37 C．38 D．39
【答案】A
【解析】因?yàn)椋裕?br /> 又是等差數(shù)列，故首項(xiàng)為3，公差為2，
所以，
所以．
故選：A.
4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）數(shù)列中，，（為正整數(shù)），則的值為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)椋?br /> 所以，
所以，
故選：A
5．（2023秋·湖北·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足，，則（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
時(shí)，也適合此式，
∴，,
故選:B.
6．（2023秋·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學(xué)校考期末）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（????）
A．-2 B． C．0 D．
【答案】C
【解析】，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，故，
當(dāng)時(shí)，，
從而，
由于是等比數(shù)列，故，解得，
故．
故選：C．
7．（2023春·江西宜春·高二江西省銅鼓中學(xué)校考階段練習(xí)）數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，可用來實(shí)現(xiàn)，
而各項(xiàng)分母可看作，
各項(xiàng)分子均為1，
∴該數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
故選：D.
8．（2023秋·廣東江門·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足，，則該數(shù)列的第5項(xiàng)為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?br /> 所以，，，，
故選：B
9．（2023春·甘肅武威·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則（????）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和，
所以.
故選：B
10．（2023秋·重慶九龍坡·高二重慶市育才中學(xué)校考期末）已知，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是（　?。?br /> A．n B． C．2n D．
【答案】C
【解析】由，得，
即，
則，，，…，，
由累乘法可得，因?yàn)?，所以?br /> 故選：C．
11．（2023秋·重慶大渡口·高二重慶市第三十七中學(xué)校校考期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，滿足，則＝（　?。?br /> A．72 B．96 C．108 D．126
【答案】B
【解析】當(dāng)時(shí)，，解得：，
由題意可得，①
當(dāng)時(shí)，，②
①﹣②得，，即，
故數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以，
故.
故選：B.
12．（2023·全國·高二專題練習(xí)）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
，
所以，數(shù)列是等比數(shù)列，
所以，
故選：A.
13．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)椋?br /> 所以，
上述各式相乘得，
因?yàn)椋裕?br /> 經(jīng)檢驗(yàn)，滿足，
所以.
故選：D.
二、多選題
14．（2023·江蘇宿遷·江蘇省沭陽高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，，則（????）
A．
B．?dāng)?shù)列是公差為的等差數(shù)列
C．?dāng)?shù)列的前5項(xiàng)和最大
D．
【答案】AC
【解析】，
，或(舍)，故選項(xiàng)A正確；
又，，，
數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，故選項(xiàng)B錯誤；
由得，
，數(shù)列的前5項(xiàng)和最大，故選項(xiàng)C正確；
當(dāng)時(shí)，，這與矛盾，
故選項(xiàng)D錯誤，
故選:AC.
15．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列和滿足，，，．則下列結(jié)論不正確的是 （????）
A．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列
B．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列
C．
D．
【答案】BCD
【解析】對A，，
即，，
故數(shù)列為首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，A對；
對BC，，
即，即，
故數(shù)列為首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，
故，故，
故數(shù)列不為等差數(shù)列，，BC錯；
對D，由A得，又，兩式相加得，
即，D錯.
故選：BCD
16．（2023秋·江蘇南京·高二南京大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┰O(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（????）
A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．
C． D．的前項(xiàng)和為
【答案】ACD
【解析】由已知，當(dāng)時(shí)，可得
選項(xiàng)A，，可得數(shù)列是，2為公比的等比數(shù)列，故A正確；
選項(xiàng)B，由選項(xiàng)A可得解得，故B錯誤；
選項(xiàng) C，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以 ，故C正確；
選項(xiàng)D，因?yàn)椋蔇正確.
故選：ACD.
17．（2023春·湖北荊州·高二沙市中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的有（????）
A．是遞減數(shù)列 B．
C． D．當(dāng)最小時(shí)，
【答案】BCD
【解析】，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
注意到時(shí)也滿足，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，
，是遞增數(shù)列，A選項(xiàng)錯誤；
，B選項(xiàng)正確；
，C選項(xiàng)正確；
，，當(dāng)最小時(shí)，，D選項(xiàng)正確.
故選：BCD.
三、填空題
18．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）在數(shù)列中，若，，則的通項(xiàng)公式為______．
【答案】
【解析】由題意知，故，
故
，
故答案為：
19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的前項(xiàng)積，已知，則的通項(xiàng)公式為______.
【答案】
【解析】由已知可得，且，，
當(dāng)時(shí)，由得,
由于為數(shù)列的前項(xiàng)積，所以，，
所以，
又因?yàn)椋?，即，其中?br /> 所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差等差數(shù)列，
所以，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
顯然對于不成立，
所以，
故答案為：
20．（2023春·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)?？奸_學(xué)考試）數(shù)列的前項(xiàng)和，則___________.
【答案】8
【解析】，
，

.
故答案為：8.
21．（2023春·河南焦作·高二溫縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，且，則______.
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br /> 當(dāng)時(shí)，，，解得．
當(dāng)時(shí)，，與兩式相減得，
即， 化簡得：，
所以時(shí)，是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，
又不符合上式，故，
故答案為：
22．（2023秋·福建福州·高二校聯(lián)考期末）數(shù)列中，，，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式_________.
【答案】
【解析】因?yàn)椋?，又?br /> 所以，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，則.
故答案為：
23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______.
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，解得，不滿足，所以，同理，
由可得，當(dāng)時(shí)，，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，，
所以.
故答案為：.
24．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）數(shù)列，，，，…的一個通項(xiàng)公式是______．
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br /> 所以一個通項(xiàng)公式可以是，
故答案為：
四、解答題
25．（2023·湖南·模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和；
(2)設(shè)數(shù)列滿足，．求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【解析】（1）由，可得，
兩式相減可得：，
化簡可得，由正項(xiàng)數(shù)列知 ，
所以，
又，解得，
所以是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
故，由可得.
（2）由（1）知，
所以，
所以，，，，
由累加法可得，
，
所以.
26．（2023·安徽·統(tǒng)考一模）已知在遞增數(shù)列中，為函數(shù)的兩個零點(diǎn)，數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.
【解析】（1）函數(shù)的零點(diǎn)為3，8，而數(shù)列遞增，則，，
因此數(shù)列是以5為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則，
當(dāng)時(shí)，
，而也滿足上式，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.
（2）證明：由（1）得，
因此
，而，
所以.
27．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知滿足，（是正整數(shù)），求．
【解析】因?yàn)椋?，則，
所以當(dāng)時(shí)，則，，，
，，，，
將上述式子相加可得：
，
因?yàn)椋裕?br /> 又符合上式，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式.
28．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，，其前項(xiàng)和滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【解析】，時(shí)有，
則時(shí)有
可得，即，
所以，得，即，
經(jīng)檢驗(yàn)滿足上式子，故
29．（2023春·安徽·高二安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列前n項(xiàng)和，滿足．
(1)求出，；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【解析】（1）因?yàn)椋?br /> 令，可得，
令，可得，解得.
（2）因?yàn)椋?br /> 則當(dāng)時(shí)，，
且由（1）知，
所以
30．（2023春·湖南岳陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足
(1)求的值；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【解析】（1）由已知可得
．
故，.
（2）由題得
當(dāng)時(shí), ，
上面兩式相減得

整理得：，于是當(dāng)時(shí)
相減得
由（1），此關(guān)系式對于也成立
所以．
31．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，解得．
當(dāng)時(shí)，，則，即，
從而是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以，
且當(dāng)時(shí)，也滿足，
所以故．
（2）由（1）可得，則，
故

．
32．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知與都是正項(xiàng)數(shù)列，的前項(xiàng)和為，，且滿足，等比數(shù)列滿足，．
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求滿足不等式的自然數(shù)n的最小值．
【解析】（1）∵，∴
兩式相減得：
化簡得：
∵為正項(xiàng)數(shù)列，且
∴，，
即為首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴
又∵，，為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，
∴，解得或，
而為正項(xiàng)數(shù)列，故，.
綜上，數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別為.
（2）記，的前項(xiàng)和分別為
由等差數(shù)列及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式可知

∴
易知，
作差可得：
即當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
∴的最小值為8.
故滿足不等式的自然數(shù)的最小值為8.
33．（2023春·福建·高二福建師大附中?？奸_學(xué)考試）已知數(shù)列中，，前項(xiàng)和.
(1)求，，及的通項(xiàng)公式；
(2)證明：.
【解析】（1）對于，則有：
令，則，解得；
令，則，解得；
當(dāng)時(shí)，則，整理得，
則；
注意到也滿足上式，故.
（2）由（1）可得，
則，
∵當(dāng)時(shí)，恒成立，故.
34．（2023春·新疆烏魯木齊·高二烏市一中校考開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【解析】（1）依題意，數(shù)列滿足，則，
所以
，也符合上式，
所以.
數(shù)列滿足，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，由，
得，
兩式相減得，
，也符合上式，
所以.
（2）由（1）得，
所以
，
，
兩式相減得
，
所以.
35．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．
(1)求，；
(2)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(3)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【解析】（1）由，且，
當(dāng)時(shí)，，得，
當(dāng)時(shí)，，得；
（2）對于①，
當(dāng)時(shí)，②，
①②得，
即，，
又，
數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；
（3）由（2）得，
，
當(dāng)時(shí)，，
又時(shí)，，不符合，
.
36．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，解得.
當(dāng)時(shí)，由，得，
兩式相減得，即，
利用累乘可得，
即，因?yàn)?，所以?br /> 所以的通項(xiàng)公式為.
（2）由（1）可知，裂項(xiàng)可得，
則.
所以數(shù)列的前項(xiàng)和
37．（2023春·山東臨沂·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求的通項(xiàng)公式及.
【解析】（1）依題意，，
則，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
（2）由（1）得，所以，
所以
.
38．（2023·內(nèi)蒙古·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【解析】（1）因?yàn)椋?br /> 所以，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
所以，則，
當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得，即，
所以數(shù)列為常數(shù)列，且，
所以；
（2）由（1）得，
所以，
所以.
39．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列滿足.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【解析】由 得 ，
作差得 ， 即 ，
即 ， 即 ，
所以數(shù)列 是以 為首項(xiàng)， 3 為公比的等比數(shù)列， ， 所以 .
數(shù)列 滿足 ①，
當(dāng) 時(shí)， ;
當(dāng) 時(shí)， ②，
由①-②可得 ，
當(dāng) 時(shí)，也符合上式， 故數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 .
40．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，已知前n項(xiàng)和為，，，．求的通項(xiàng)公式及的表達(dá)式；
【解析】由題意，，在數(shù)列中，，
∴，
兩式相減得：，
當(dāng)時(shí)，滿足題意；
當(dāng)，，
∴，
，
，…，
，
累加得，，∴，
∵，符合上式，∴，
由通項(xiàng)公式可知的是以首項(xiàng)為，公差的等差數(shù)列.
∴
即：．
41．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在①；②；③三個條件中任選一個，補(bǔ)充到下面問題的橫線處，并解答.
已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，_____.求；
注:如果選捀多個條件解答，按第一個解答計(jì)分.
【解析】若選條件①：由得：，又，
數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
，則；
若選條件②：當(dāng)時(shí)，，
經(jīng)檢驗(yàn)：滿足；；
若選條件③：當(dāng)時(shí)，，
整理可得：，，又，
數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
，則.
42．（2023春·河北石家莊·高二?？奸_學(xué)考試）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．
【解析】（1）由可得，而，
所以，所以為首項(xiàng)是，公比為的等比數(shù)列，
所以，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，也滿足上式，
所以；
（2），
已知為首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，
所以.
五、雙空題
43．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列滿足，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______，______．
【答案】???? ????
【解析】因?yàn)?，且，所以?br /> 則當(dāng)時(shí)，
．
又當(dāng)時(shí)，符合上式，
故．
由①
②
得．
令，③
∴，④
得
∴．
故，
則，即．
故答案為：，.
44．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，為等比數(shù)列，且，，則_______；則________.
【答案】???? ????
【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
依題意，，，則的公比為，于是，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
故答案為： ；



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