?專題39 等差數(shù)列、等比數(shù)列基本量
【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】
一、基本概念
1、數(shù)列
(1)定義.
按照一定順序排列的一列數(shù)就叫做數(shù)列.
(2)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系.
從函數(shù)的角度來(lái)看,數(shù)列是特殊的函數(shù).在中,當(dāng)自變量時(shí),所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值就構(gòu)成一數(shù)列,通常記為,所以數(shù)列有些問(wèn)題可用函數(shù)方法來(lái)解決.
2、等差數(shù)列
(1)定義.
一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一常數(shù),則該數(shù)列叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做公差,常用字母表示,即.
(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.
若等差數(shù)列的首項(xiàng)是,公差是,則其通項(xiàng)公式為,是關(guān)于的一次型函數(shù).或,公差(直線的斜率)().
(3)等差中項(xiàng).
若成等差數(shù)列,那么叫做與的等差中項(xiàng),即或.在一個(gè)等差數(shù)列中,從第2項(xiàng)起(有窮等差數(shù)列的末項(xiàng)除外),每一項(xiàng)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng);事實(shí)上,等差數(shù)列中每一項(xiàng)都是與其等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng).
(4)等差數(shù)列的前項(xiàng)和(類似于),是關(guān)于的二次型函數(shù)(二次項(xiàng)系數(shù)為且常數(shù)項(xiàng)為0).的圖像在過(guò)原點(diǎn)的直線上或在過(guò)原點(diǎn)的拋物線上.
3、等比數(shù)列
(1)定義.
一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)非零常數(shù),則該數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做公比,常用字母表示,即.
(2)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.
等比數(shù)列的通項(xiàng),是不含常數(shù)項(xiàng)的指數(shù)型函數(shù).
(3).
(4)等比中項(xiàng)
如果成等比數(shù)列,那么叫做與的等比中項(xiàng),即或(兩個(gè)同號(hào)實(shí)數(shù)的等比中項(xiàng)有兩個(gè)).
(5)等比數(shù)列的前項(xiàng)和
二、基本性質(zhì)
1、等差數(shù)列的性質(zhì)
(1)等差中項(xiàng)的推廣.
當(dāng)時(shí),則有,特別地,當(dāng)時(shí),則有.
(2)等差數(shù)列線性組合.
①設(shè)是等差數(shù)列,則也是等差數(shù)列.
②設(shè)是等差數(shù)列,則也是等差數(shù)列.
(3)等差數(shù)列的單調(diào)性及前項(xiàng)和的最值.
公差為遞增等差數(shù)列,有最小值;
公差為遞減等差數(shù)列,有最大值;
公差為常數(shù)列.
特別地
若,則有最大值(所有正項(xiàng)或非負(fù)項(xiàng)之和);
若,則有最小值(所有負(fù)項(xiàng)或非正項(xiàng)之和).
(4)其他衍生等差數(shù)列.
若已知等差數(shù)列,公差為,前項(xiàng)和為,則為等差數(shù)列,公差為.
2、等比數(shù)列的性質(zhì)
(1)等比中項(xiàng)的推廣.
若時(shí),則,特別地,當(dāng)時(shí),.
(2)①設(shè)為等比數(shù)列,則(為非零常數(shù)),,仍為等比數(shù)列.
②設(shè)與為等比數(shù)列,則也為等比數(shù)列.
(3)等比數(shù)列的單調(diào)性(等比數(shù)列的單調(diào)性由首項(xiàng)與公比決定).
當(dāng)或時(shí),為遞增數(shù)列;
當(dāng)或時(shí),為遞減數(shù)列.
(4)其他衍生等比數(shù)列.
若已知等比數(shù)列,公比為,前項(xiàng)和為,則為等比數(shù)列,公比為(當(dāng)時(shí),不為偶數(shù)).
3、等差數(shù)列與等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化
(1)若為正項(xiàng)等比數(shù)列,則為等差數(shù)列.
(2)若為等差數(shù)列,則為等比數(shù)列.
(3)若既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是非零常數(shù)列.
【典型例題】
例1．（2023·內(nèi)蒙古包頭·一模）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則數(shù)列的公差為（????）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【解析】設(shè)公差為，
則有整理得，
又由可得，
所以解得，
故選:B.
例2．（2023·四川巴中·統(tǒng)考一模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（????）
A．33 B．66 C．22 D．44
【答案】A
【解析】由題意知：，則，則.
故選：A.
例3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為0．若成等比數(shù)列，則的通項(xiàng)公式為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，則，
即，
因?yàn)?，所以，整理得，解得或（舍去）?br /> 所以．
故選：A．
例4．（2023·內(nèi)蒙古包頭·一模）中國(guó)古代某數(shù)學(xué)名著中有這樣一個(gè)類似問(wèn)題：“四百四十一里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)末日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其意思為：有一個(gè)人一共走了441里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問(wèn)最后一天走的路程是（????）
A．7里 B．8里 C．9里 D．10里
【答案】A
【解析】設(shè)第六天走的路程為，第五天走的路程為……第一天走的路程記為，
根據(jù)題意每天走的路程為前一天的一半，所以公比，且，，所以，從而解得，
故選：A.
例5．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則的值為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依題意，，，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，
所以.
故選：D
例6．（2023·青海西寧·統(tǒng)考一模）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（????）
A． B．5 C． D．
【答案】C
【解析】由題意得：，，，
即，，，
因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，
即，解得：，
故選：C.
例7．（2023·福建漳州·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列為遞減的等比數(shù)列，，且，，則的公比為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】為遞減的等比數(shù)列，，解得：（舍）或，
的公比.
故選：A.
例8．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考一模）已知等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，則（????）
A．或 B．4 C． D．
【答案】A
【解析】由題設(shè)，若等比數(shù)列的公比為，
所以，而，則，
解得或，
所以，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí).
故選：A
例9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：，若存在兩項(xiàng)使得，則的最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)數(shù)列的公比為，
由可得：，又，，
由可得：，，解得：，
，，
，解得：，
，
（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
即的最小值為.
故選：A
例10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，且S3＝21，S5＝65，則Sn＝________.
【答案】3n2－2n.
【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝An2＋Bn.
由已知可得，化簡(jiǎn)得，解得，
所以Sn＝3n2－2n.
故答案為：3n2－2n
例11．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則______．
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br /> 所以，
又因?yàn)椋?br /> 所以，，
所以，
所以．
故答案為：
例12．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考一模）公比的等比數(shù)列滿足，，則__________．
【答案】
【解析】由等比數(shù)列性質(zhì)知：，解得：或，
又，，，.
故答案為：.
例13．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）將數(shù)列與的公共項(xiàng)由小到大排列得到數(shù)列，則數(shù)列的前n項(xiàng)的和為__________．
【答案】
【解析】由題意令，即2不是數(shù)列與的公共項(xiàng)；
令，即4是數(shù)列與的公共項(xiàng)；
令，即8不是數(shù)列與的公共項(xiàng)；
令，即16是數(shù)列與的公共項(xiàng)；
依次類推，可得數(shù)列：，
即是首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列，
故數(shù)列的前n項(xiàng)的和為 ，
故答案為：
例14．（2023春·上?！じ呷Ｂ?lián)考階段練習(xí)）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若則______．
【答案】
【解析】等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)其公比為，
由得：，因此，
于是，
所以.
故答案為：52
例15．（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則__________．
【答案】4
【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，有，
則，解得，
所以．
故答案為：4．
例16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求數(shù)列的通項(xiàng)公式為；設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求使成立的的取值集合.
【解析】由知：，且數(shù)列為等差數(shù)列，
所以，
由得：，即，解得，
所以的取值集合為.
例17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于，已知， ，.求和的通項(xiàng)公式.
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，依題意，得，
解得，或（舍去），故，，
的通項(xiàng)公式為，的通項(xiàng)公式為.
例18．（2023春·河北承德·高三興隆縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的公差為2，且成等比數(shù)列，
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)記，若數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解析】（1）由題知
即解得，
所以.
（2）
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【技能提升訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023春·北京海淀·高三北京市八一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）1682年，英國(guó)天文學(xué)家哈雷發(fā)現(xiàn)一顆大彗星的運(yùn)行曲線和1531年?1607年的彗星驚人地相似.他大膽斷定，這是同一天體的三次出現(xiàn)，并預(yù)言它將于76年后再度回歸.這就是著名的哈雷彗星，它的回歸周期大約是76年.請(qǐng)你預(yù)測(cè)它在本世紀(jì)回歸的年份（????）
A．2042 B．2062 C．2082 D．2092
【答案】B
【解析】由題意，可將哈雷彗星的回歸時(shí)間構(gòu)造成一個(gè)首項(xiàng)是1682，公差為76的等差數(shù)列，
則等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，
∴，.
∴可預(yù)測(cè)哈雷彗星在本世紀(jì)回歸的年份為2062年.
故選：B.
2．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）在等差數(shù)列中，“”是“”的（????）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】當(dāng)?shù)墓顣r(shí)，由，得m是任意的正整數(shù)，
由，得，
則“”是“”的必要不充分條件．
故選:A.
3．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考一模）已知等差數(shù)列滿足，，則的公差為（????）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】設(shè)的公差為d，
因?yàn)?，解?
故選:C.
4．（2023春·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）“二十四節(jié)氣”是上古農(nóng)耕文明的產(chǎn)物，它是上古先民順應(yīng)農(nóng)時(shí)，通過(guò)觀察天體運(yùn)行，認(rèn)知一歲中時(shí)令、氣候、物候等變化規(guī)律所形成的知識(shí)體系.我國(guó)古代用日晷測(cè)量日影的長(zhǎng)度，晷長(zhǎng)即為所測(cè)量影子的長(zhǎng)度，二十四個(gè)節(jié)氣及晷長(zhǎng)變化如圖所示，相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)的變化量相同，冬至日晷長(zhǎng)最長(zhǎng)，夏至日晷長(zhǎng)最短，周而復(fù)始，已知冬至日晷長(zhǎng)為13.5尺，芒種日晷長(zhǎng)為2.5尺，則一年中立春到夏至的日晷長(zhǎng)的和為（????）

A．58.5尺 B．59.5尺 C．60尺 D．60.5尺
【答案】C
【解析】設(shè)冬至日晷長(zhǎng)為，小寒日晷長(zhǎng)為，以此類推芒種日晷長(zhǎng)為，
因此，，設(shè)從冬至日到夏至日過(guò)程中，晷長(zhǎng)的變化量為，
所以有，立春日晷長(zhǎng)為，
夏至的日晷長(zhǎng)為，
所以一年中立春到夏至的日晷長(zhǎng)的和為，
故選：C
5．（2023春·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，若，，則（????）
A．16 B．18 C．20 D．22
【答案】B
【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，設(shè)其公差為，
所以，解得，
所以.
故選：B．
6．（2023春·廣東惠州·高三?？茧A段練習(xí)）已知是各項(xiàng)不相等的等差數(shù)列，若，且成等比數(shù)列，則數(shù)列的前6項(xiàng)和（????）
A．84 B．144 C．288 D．110
【答案】A
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由成等比數(shù)列，則，
即，整理可得，
由數(shù)列各項(xiàng)不相等，解得，即，，
故.
故選：A.
7．（2023·河南洛陽(yáng)·洛陽(yáng)市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）在遞增等比數(shù)列中，，且是和的等差中項(xiàng)，則（????）
A．256 B．512 C．1024 D．2048
【答案】B
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，
因?yàn)槭呛偷牡炔钪许?xiàng)，所以，即．
又因?yàn)椋裕獾没颍?br /> 又因?yàn)榈缺葦?shù)列是遞增數(shù)列，所以．
又因?yàn)椋裕?br /> 故選：B.
8．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，則的值為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，
整理可得，解得，所以，，
所以，.
故選：B.
9．（2023·江西贛州·統(tǒng)考一模）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，成等差數(shù)列，，則（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得，
由成等差數(shù)列，得，
由余弦定理，得，
即，
整理，得，由得，
由得.
故選：C.
10．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（??????）
A．150 B．160 C．170 D．與和公差有關(guān)
【答案】B
【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，
所以，所以.
故選：B
11．（2023·內(nèi)蒙古包頭·一模）中國(guó)古代某數(shù)學(xué)名著中有這樣一個(gè)類似問(wèn)題：“四百四十一里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)首日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其意思為：有一個(gè)人一共走了441里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問(wèn)第一天走的路程是（????）
A．224里 B．214里 C．112里 D．107里
【答案】A
【解析】由題設(shè)，每天行程是公比為的等比數(shù)列，
所以，可得，則第一天走的路程224里.
故選：A
12．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依題意，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，即，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，由得，
兩式相減得，
也符合上式，所以，
，所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為.
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.
故選：D
13．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則（????）
A． B．5 C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?br /> 當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，則，
因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，則，
所以，解得，
則，
則.
故選：B.
14．（2023春·全國(guó)·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，且，則（????）
A．96 B． C．72 D．
【答案】B
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，
因?yàn)?，且由題可得，所以，
因?yàn)?，解得，所以?br /> 故．
故選：B.
15．（2023春·湖南湘潭·高三湘鋼一中?？奸_學(xué)考試）公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若，，，，依次成等比數(shù)列，則（????）
A．81 B．63 C．41 D．32
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?br /> 所以，故，
設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，
所以，
因?yàn)?，，，，依次成等比?shù)列，，
所以，
所以，
所以，
故選：C.
16．（2023秋·遼寧丹東·高三統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的前三項(xiàng)和84，，則（????）
A．3 B．6 C．12 D．24
【答案】B
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
等比數(shù)列的前三項(xiàng)和84，
則當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，
當(dāng)時(shí)，，
，則，
令，即，解得，則，
則，
故選：B.
17．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.若成等比數(shù)列，，則（????）
A．17 B．19 C．21 D．23
【答案】A
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由成等比數(shù)列，得，即，整理得①.
又，即，所以②.
由①②得，故.
故選：A
18．（2023春·青海西寧·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，則公比的值為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，
由，得：，即，解得：.
故選：B.
二、多選題
19．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)公比為q的等比數(shù)列的前n項(xiàng)積為，若，則（????）
A． B．當(dāng)時(shí)，
C． D．
【答案】BC
【解析】A選項(xiàng)：因?yàn)?，所以，所以A不正確；
B選項(xiàng)：因?yàn)?，，則，
所以，所以，所以B正確；
C選項(xiàng)：因?yàn)?，所以?br /> 所以，所以C正確；
D選項(xiàng)：，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．所以D不正確．
故選:BC.
20．（2023秋·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，且，以下結(jié)論正確的是（????）
A．是等比數(shù)列
B．?dāng)?shù)列，，成等比數(shù)列
C．若，則是遞增數(shù)列
D．若，則是遞增數(shù)列
【答案】AB
【解析】由題意， ， ；
對(duì)于A， ，所以是首項(xiàng)為 ，公比為 的等比數(shù)列，正確；
對(duì)于B，因?yàn)椋?，
，
， ,它們成等比數(shù)列，正確；
對(duì)于C，若 ， ，則 ，為遞減數(shù)列，錯(cuò)誤；
對(duì)于D， ，若 ， ，則 ， ，是遞減數(shù)列，錯(cuò)誤.
故選：AB.
21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若數(shù)列是等比數(shù)列，則（????）
A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
【答案】AD
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
，則是以為公比的等比數(shù)列，A對(duì)；
時(shí)，，則不是等比數(shù)列，B錯(cuò)；
，時(shí)，，
此時(shí)不是等比數(shù)列，C錯(cuò)；
，所以，是公比為的等比數(shù)列，D對(duì).
故選：AD．
22．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則下列說(shuō)法正確的是（????）
A．是遞增數(shù)列 B．是數(shù)列中的項(xiàng)
C．?dāng)?shù)列中的最小項(xiàng)為 D．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列
【答案】ACD
【解析】由已知，，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
所以，.
對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，是遞增數(shù)列，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，令，可得，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，令可得，所以，數(shù)列中的最小項(xiàng)為，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，，則，
所以，，
故數(shù)列為等差數(shù)列，D對(duì).
故選：ACD.
23．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則下列說(shuō)法正確的有（????）
A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列
C． D．當(dāng) 時(shí)，取得最大值
【答案】ACD
【解析】∵，∴數(shù)列是等差數(shù)列，故A正確；
，
∵，從而，可知數(shù)列不是遞減數(shù)列，故B錯(cuò)誤，C正確；
∵，，∴當(dāng) 時(shí)，取得最大值，故D正確.
故選：ACD.
24．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）公差為d的等差數(shù)列滿足，，則下面結(jié)論正確的有（????）
A．d＝2 B．
C． D．的前n項(xiàng)和為
【答案】ABD
【解析】由題意得，
，即，
解得，所以，故A、B正確；
得，
故，故C錯(cuò)誤；
所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為
，故D正確.
故選：ABD.
三、填空題
25．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則________．
【答案】
【解析】，即，又由，即，
所以等差數(shù)列的公差為，
又由，解得，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
故答案為：
26．（2023秋·吉林遼源·高三校聯(lián)考期末）在數(shù)列中，，，則______．
【答案】2021
【解析】因?yàn)?，且，所以?shù)列是以首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.，則.
故答案為：2021
27．（2023春·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若S3=4，S6=12，則S9=______.
【答案】28
【解析】因?yàn)閧an}為等比數(shù)列，所以數(shù)列,也為等比數(shù)列，所以有,得，所以，
故答案為：28
28．（2023秋·廣東揭陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，則的通項(xiàng)公式為______.
【答案】
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，，
，
所以.
故答案為：.
29．（2023春·河北邯鄲·高三大名縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，則______.
【答案】
【解析】由等比數(shù)列求和公式以及通項(xiàng)公式可得.
故答案為：.
30．（2023春·北京海淀·高三101中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知數(shù)列為等差數(shù)列．為等比數(shù)列，且成等差數(shù)列．則___________．
【答案】
【解析】設(shè)的公比為，則由成等差數(shù)列，
可得，
而為等差數(shù)列．則，
所以，即，解得，
故，
故答案為：
31．（2023春·江西·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，若是中唯一的最小項(xiàng)，則滿足條件的的通項(xiàng)公式可以是_________（寫出一個(gè)即可）.
【答案】（答案不唯一）
【解析】令，則數(shù)列單調(diào)遞增，且，，，，，，
所以，，，，即，
當(dāng)時(shí)，即，
所以，所以是中唯一的最小項(xiàng)，故符合題意.
故答案為：（答案不唯一）
32．（2023秋·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考期末）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和.，，則______.
【答案】
【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，，結(jié)合題意，
得，又，所以，
所以.
故答案為：
33．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）公比的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則______．
【答案】
【解析】因?yàn)?，，所以?br /> 又，所以或（舍），
所以.
故答案為：.
34．（2023·云南紅河·彌勒市一中?？寄M預(yù)測(cè)）若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則__________.
【答案】21
【解析】由等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)有，所以.
因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，
因?yàn)?，所?
故答案為：21.
35．（2023秋·遼寧·高三遼河油田第二高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎缺葦?shù)列中，，等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前項(xiàng)和等于___________
【答案】
【解析】在等比數(shù)列中，滿足，
由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，即，所以，
又由，所以
所以數(shù)列的前項(xiàng)和，
故答案為：.
36．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）若等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則常數(shù)k的值為______．
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，.
時(shí)，，
因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，即，解得．
故答案為：．
四、解答題
37．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列{an}的公差d不為0，其中a3=7，a1，a2，a6成等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
【解析】由已知得，設(shè)公差為d，則有 ，即 ，
， ，
；
綜上， 的通項(xiàng)公式為： ， .
38．（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮阎獢?shù)列，前n項(xiàng)和為，且滿足，，，，，等比數(shù)列中，，且，成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)記為區(qū)間中的整數(shù)個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【解析】（1），，，
即，，，
故為等差數(shù)列，設(shè)公差為，
故，，
解得：，，
所以，
設(shè)等比數(shù)列的公比為，，
因?yàn)?，成等差?shù)列，所以，
即，與聯(lián)立得：或0（舍去），
且，故，
（2）由題意得：為中的整數(shù)個(gè)數(shù)，
故，
所以

.
39．（2023春·河南·高三信陽(yáng)高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和的值．
【解析】（1）,
,
或，
，
.
（2）由（1）知，
故，
∴.
40．（2023·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，，
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列與中的所有項(xiàng)分別構(gòu)成集合，，將集合中的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成新數(shù)列，求數(shù)列的前20項(xiàng)和
【解析】（1）∵數(shù)列為等差數(shù)列，且，,
∴，即，∴，即,
∵數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，，∴,
即.
（2）由（1）知，∴數(shù)列的元素是由數(shù)列中去除數(shù)列
∴數(shù)列中去掉2，4，8，16，
,.
41．（2023·四川·校聯(lián)考一模）已知等差數(shù)列與正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，比較與的大?。?br /> 【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為,
由，,
得,
解得，
所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，
數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
（2）由（1）得，，
所以.
42．（2023·上海黃浦·統(tǒng)考一模）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，
則，，，
又，可得，
所以.
（2）由（1）可得，
故，以它為通項(xiàng)的數(shù)列是以-1為首項(xiàng)、公比為-3的等比數(shù)列，
所以，
所以數(shù)列的前2n項(xiàng)和為：.
即: 數(shù)列的前2n項(xiàng)和為.
43．（2023春·江西宜春·高三?？奸_學(xué)考試）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，數(shù)列為等比數(shù)列，其中，，.
(1)求，的通項(xiàng)公式；
(2)若，求的前項(xiàng)和.
【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則，，，
由得，，∴，或.
當(dāng)時(shí)，， ；
當(dāng)時(shí)，，，
所以當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，；
（2）若，即，
∴，，又，
∴，
∴.
44．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)的和為且滿足，數(shù)列是兩個(gè)等差數(shù)列與的公共項(xiàng)組成的新數(shù)列.求出數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
【解析】當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，，即，
，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
，；
數(shù)列是兩個(gè)等差數(shù)列與的公共項(xiàng)組成的新數(shù)列，
數(shù)列的首項(xiàng)為，因?yàn)榈炔顢?shù)列，的公差為，等差數(shù)列的公差為，所以數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，
.



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