?專題38 圓錐曲線常規(guī)解答題
【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】
一、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷
判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線的方程
代入圓錐曲線的方程，消去（也可以消去）得到關(guān)系一個(gè)變量的
一元二次方程，，即，消去后得
（1）當(dāng)時(shí)，即得到一個(gè)一元一次方程，則與相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，
若為雙曲線，則直線與雙曲線的漸近線平行；若為拋物線，則直線與拋物線
的對(duì)稱軸平行
（2）當(dāng)時(shí)，，直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；，直線與曲
線相切，即有唯一的公共點(diǎn)（切點(diǎn)）；，直線與曲線
二、圓錐曲線的弦
連接圓錐曲線上兩點(diǎn)的線段稱為圓錐曲線的弦
直線，曲線為與的兩個(gè)不同的交點(diǎn)，坐標(biāo)分別為，則是方程組的兩組解，
方程組消元后化為關(guān)于的一元二次方程（），判別式
，應(yīng)有，所以是方程的根，由根與系數(shù)關(guān)
系（韋達(dá)定理）求出，所以兩點(diǎn)間的距離為
，即弦長(zhǎng)公式，弦長(zhǎng)
公式也可以寫成關(guān)于的形式

三、定值問題
解析幾何中定值問題的證明可運(yùn)用函數(shù)的思想方法來解決．證明過程可總結(jié)為“變量—函數(shù)—定值”，具體操作程序如下：
（1）變量----選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞浚?br /> （2）函數(shù)----把要證明為定值的量表示成變量的函數(shù)．
（3）定值----化簡(jiǎn)得到的函數(shù)解析式，消去變量得到定值．
求定值問題常見的方法有兩種：
（1）從特殊情況入手，求出定值，再證明該定值與變量無關(guān)；
（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理過程中消去變量，從而得到定值．
四、求最值問題常用的兩種方法
（1）幾何法：題中給出的條件有明顯的幾何特征，則考慮用幾何圖形性質(zhì)來解決，這是幾何法．
（2）代數(shù)法：題中給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求該函數(shù)的最值．求函數(shù)的最值常見的方法有基本不等式法、單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法和三角換元法等，這就是代數(shù)法．
五、求定值、最值等圓錐曲線綜合問題的“三重視”
（1）重視定義在解題中的作用（把定義作為解題的著眼點(diǎn)）．
（2）重視曲線的幾何特征特別是平面幾何性質(zhì)與方程的代數(shù)特征在解題中的作用．
（3）重視根與系數(shù)的關(guān)系在解題中的作用（涉及弦長(zhǎng)、中點(diǎn)要用根與系數(shù)的關(guān)系）．
【典例例題】
例1．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學(xué)校校考期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)到一條漸近線的距離為1，點(diǎn)，且.
(1)求雙曲線的方程；
(2)若直線 與雙曲線交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），且直線的斜率之和為，求直線的方程.
【解析】（1）由雙曲線的方程得漸近線方程為：，取其中一條，
則由點(diǎn)到一條漸近線的距離為1及有：
，
又，所以，
又，
在中，，由余弦定理得：
，
即
解得，所以，
所以雙曲線的方程為：.
（2）設(shè)，
聯(lián)立消去整理得：
，

則或，
則，
又
所以


，
整理得：，
解得（舍去）或，
所以直線的方程為：.
例2．（2023·寧夏吳忠·高三青銅峽市高級(jí)中學(xué)校考期末）已知橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為，離心率為．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過橢圓C右焦點(diǎn)且傾斜角為的直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，求的值．
【解析】（1）由題得，解得，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）由（1）知橢圓C的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
則直線l的方程為，
設(shè)，
聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，
，．
．
例3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線C上，且.
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線與拋物線交于兩點(diǎn)，求的面積.
【解析】（1）由拋物線的定義可得，
因?yàn)?，所以，解得?br /> 故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)，由（1）知.
由，得，,
則，，
所以,
所以
,
因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離,
所以的面積為.
例4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為.
(1)求；
(2)斜率為的直線過點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng).
【解析】（1）為拋物線的焦點(diǎn)，，解得：.
（2）由（1）知：拋物線；
直線，
由得：，
設(shè)，，則，
，.
例5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，．
(1)求的方程；
(2)已知點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，且直線的斜率之和為，證明：點(diǎn)在一條定拋物線上．
【解析】（1）依題意設(shè)的方程為，
因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)，，
所以，解得，
故的方程為．
（2）證明：設(shè)直線的斜率分別為，，，．
將代入，得．
由題設(shè)可知，，，
所以
，
所以，
所以．
因?yàn)椋?br /> 所以，
所以，
故點(diǎn)在拋物線上，即點(diǎn)在一條定拋物線上．
例6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，、是拋物線上異于的兩點(diǎn)．
(1)求拋物線的方程；
(2)若直線、的斜率之積為，求證：直線過軸上一定點(diǎn)．
【解析】（1）根據(jù)題意，，則，故拋物線方程為：.
（2）顯然直線的斜率不為零，且不過原點(diǎn)，故設(shè)其方程為，
聯(lián)立拋物線方程可得：，時(shí)，
設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則，，
由題可知，，即，解得，此時(shí)滿足，
故直線恒過軸上的定點(diǎn).
例7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A，B在拋物線：上，拋物線C在A，B處的切線分別為，，且，交于點(diǎn)P.
(1)若點(diǎn)，求的長(zhǎng)；
(2)從下面①②中選取一個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.
①直線AB過拋物線C的焦點(diǎn)；②點(diǎn)P在拋物線C的準(zhǔn)線上.
【解析】（1）拋物線：的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，
設(shè)，，
∵，即，所以，
∴拋物線C在A處的切線斜率，切線方程是，即.
同理可得：拋物線在B處的切線方程是.
聯(lián)立方程，解得，即，
又∵，則，即，可得，
∴.
（2）①→②：
∵，，
∴，，
因?yàn)?，則，可得：，
由于，即，
所以，即，由（1）可得：，
故點(diǎn)P在拋物線C的準(zhǔn)線上.
②→①：
，，
因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線C的準(zhǔn)線上，則，即，
所以，則，
又因?yàn)镕是公共點(diǎn)，所以A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線，
所以直線AB過拋物線C的焦點(diǎn).
例8．（2023·陜西西安·高三西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┮阎獟佄锞€，點(diǎn)，為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，直線為拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)到直線的距離為，的最小值為5．
(1)求拋物線的方程；
(2)直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，當(dāng)直線，的斜率存在，設(shè)直線，，的斜率分別為，，，是否存在實(shí)數(shù)，使得，若存在，求出；若不存在，說明理由．
【解析】（1）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，根據(jù)拋物線的定義得，，由于，解得，
則拋物線的方程為
（2）設(shè)，將代入拋物線的方程，
整理得所以
，同理，
則,所以 ，
例9．（2023春·廣東揭陽·高三?？奸_學(xué)考試）已知拋物線C：與直線相切．
(1)求C的方程；
(2)過C的焦點(diǎn)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，AB的中垂線與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)P，若，求l的方程．
【解析】（1）聯(lián)立方程，消去x得，
∵拋物線C與直線相切，則，解得或（舍去）
故拋物線的方程C：.
（2）設(shè)l的方程為，則線段AB的中點(diǎn)，
過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則，即，
∵，則，即，
∴，
聯(lián)立方程，消去x得，
，
則，AB的中垂線的方程為，
∴，則，
即，解得，
故l的方程為或.

例10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn) M 到兩定點(diǎn)的距離之和為4()，且動(dòng)點(diǎn) M的軌跡曲線 C 過點(diǎn).
(1)求m的值；
(2)若直線與曲線 C 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，求 k 的取值范圍.
【解析】（1）由，得，
又動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)的距離之和為4，
所以曲線C是以兩定點(diǎn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2的橢圓，
設(shè)曲線C的方程為，
則得，
解得，由，
解得，
所以；
（2）由題可知曲線C的方程為，
由，可得，
則有，
解得或，
所以k的取值范圍為.
例11．（2023·陜西西安·高三西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，求直線的方程．
【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以
又因?yàn)椋獾?，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）設(shè)，則
，所以，化為
又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以，
則 ，故直線的斜率為，所以直線的方程為
整理得．

【技能提升訓(xùn)練】
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓經(jīng)過點(diǎn)且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng).
【解析】（1）由題意設(shè)橢圓的方程為，
因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，
所以，
所以橢圓方程為，
（2）因?yàn)橹本€過點(diǎn)且斜率為1，
所以直線的方程為，
設(shè)，
將代入，得，
整理得，
所以，
所以

2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)與橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)重合．
(1)求拋物線C的方程；
(2)若直線l：交拋物線C于，兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，求證：．
【解析】（1）∵橢圓：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴，即．
∴拋物線C的方程為：．
（2）聯(lián)立方程組消去x，整理得．
∴．
∴，即,
∴,
∴．
3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)?分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，且也為拋物線的的焦點(diǎn)，若點(diǎn)，，是等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn).
(1)雙曲線C的方程；
(2)若直線l：與雙曲線C相交于A?B兩點(diǎn)，求.
【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，
所以，即，，又點(diǎn)，，是等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，
所以，即，又，所以，
所以雙曲線方程為.
（2）依題意設(shè)，，
由消去整理得，
由，所以，，
所以
.
4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在拋物線上.
(1)求拋物線C的方程；
(2)過點(diǎn)的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：為定值.
【解析】（1）∵點(diǎn)在拋物線C上，
∴，解得，
∴拋物線C的方程為.
（2）證明：設(shè)直線，，，
聯(lián)立，消去y可得，，
由韋達(dá)定理有，，
∴，即得證.
5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：的左右頂點(diǎn)分別為，，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)為橢圓上不與重合的任意一點(diǎn)，直線分別與直線相交于點(diǎn)，求證：.
【解析】（1）由題知：，
將點(diǎn)代入方程得：，解得，
橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由(1)知，.
設(shè)，則，
直線的方程為，
令，則，即，
直線的方程為，
令，則，即

，即.
6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)．
(1)求的方程
(2)設(shè)為上一點(diǎn)（異于左、右頂點(diǎn)），為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，求證：．
【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為．
因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)，
所以，．
所以，
故C的方程為：；
（2）設(shè)點(diǎn)，且，
因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，
所以直線的方程為：，
令，得，所以點(diǎn)，
此時(shí)，，，
所以
，
所以，所以．
7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn).
(1)求橢圓的方程及其離心率；
(2)若為橢圓上第一象限的點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，且有，求點(diǎn)的坐標(biāo).
【解析】（1）依題知：，所以.
所以橢圓方程為，離心率.
（2）如圖：

設(shè)，第一象限有，①；
由得：，
又，，
因此②，
聯(lián)立①②解得，故.
8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，為坐標(biāo)原點(diǎn)）是等邊三角形.
(1)求拋物線的方程.
(2)延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，試問直線是否恒過點(diǎn)？若是，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.
【解析】（1）由題意可得，
則，解得.
故拋物線的方程為.
（2）由（1）可知，設(shè).
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，
即，即，
整理得.
因?yàn)?，所?
由題意可知直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為.
聯(lián)立整理得，
則.
因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱，所以，則，解得.
故直線的方程為，即直線恒過點(diǎn).
9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，是過點(diǎn)的兩條互相垂直的直線，且與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，與橢圓相交于C，D兩點(diǎn)．
(1)求直線的斜率k的取值范圍；
(2)若線段，的中點(diǎn)分別為M，N，證明直線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解析】（1）根據(jù)題意直線，的斜率均存在且不為0
直線，分別為，，
聯(lián)立得，
由得，則或，
同理，則，
所以k的取值范圍為．
（2）設(shè)，，由（1）得，
所以，則，
所以，則，
同理，
則直線的方程為，
化簡(jiǎn)整理得
因此直線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)．
10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，A為雙曲線在第一象限的點(diǎn)，的內(nèi)切圓與x軸交于點(diǎn)．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)設(shè)圓上任意一點(diǎn)Q處的切線l，若l與雙曲線C左、右兩支分別交于點(diǎn)M、N，問：是否為定值？若是，求出此定值；若不是，說明理由．
【解析】（1）如圖，設(shè)，與的內(nèi)切圓分別交于G，H兩點(diǎn)，
則
，
所以，則，
則雙曲線C的方程為．

（2）由題意得，切線l的斜率存在．
設(shè)切線l的方程為，，．
因?yàn)閘與圓相切，所以，即．
聯(lián)立消去y并整理得，
所以，．
又




．
又



，
將代入上式得．
綜上所述，為定值，且．

11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)與點(diǎn)的距離比它到直線的距離小，若記點(diǎn)的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)若直線與曲線相交于兩點(diǎn)，且．求證直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解析】（1）點(diǎn)與點(diǎn)的距離比它到直線的距離小，
點(diǎn)與點(diǎn)的距離和點(diǎn)到直線的距離相等，
由拋物線定義知：點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，
即曲線的方程為：.
（2）設(shè)，，，
由得：，則，即；
，，
，；
，，即；
當(dāng)時(shí)，，恒過定點(diǎn).
12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知P(1，2)在拋物線C：y2＝2px上．
(1)求拋物線C的方程；
(2)A，B是拋物線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線PA的斜率與直線PB的斜率之和為2，證明：直線AB過定點(diǎn)．
【解析】（1）P點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程得4＝2p，
∴p＝2，
∴拋物線方程為y2＝4x．
（2）證明：設(shè)AB：x＝my+t，將AB的方程與y2＝4x聯(lián)立得y2﹣4my﹣4t＝0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，
所以Δ＞0?16m2+16t＞0?m2+t＞0，
，同理：，
由題意：，
∴4(y1+y2+4)＝2(y1y2+2y1+2y2+4)，
∴y1y2＝4，
∴﹣4t＝4，
∴t＝﹣1，
故直線AB恒過定點(diǎn)(﹣1，0)．
13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為直線y＝x－2上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作拋物線C：x2＝y(tǒng)的兩條切線MA，MB，切點(diǎn)分別為A，B，N為AB的中點(diǎn)．
(1)證明：MN⊥x軸．
(2)直線AB是否恒過定點(diǎn)？若是，求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．
【解析】（1）設(shè)，由，
所以切線MA的斜率為， 因此切線MA的方程為： ，
M為直線y＝x－2上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，
因此有，
同理可得：，因此是方程的兩個(gè)根，
所以，
因?yàn)镹為AB的中點(diǎn)，所以，因此MN⊥x軸；
（2）因?yàn)椋?br /> 所以，
所以直線AB：y－(2t2－t＋2)＝2t(x－t)，
即y－2＝2t，
所以直線AB過定點(diǎn)．
14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓：的離心率為，短軸長(zhǎng)為2．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程．
【解析】（1）由題意可得，解得：
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由題意可知直線的斜率不為0，則設(shè)直線的方程為
聯(lián)立，整理得
,
則，故,
因?yàn)榈拿娣e為,所以，
設(shè)，則整理得，解得或（舍去），即.
故直線的方程為，即.
15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的其中一個(gè)焦點(diǎn)為，一條漸近線方程為
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，求直線的方程.
【解析】（1）由焦點(diǎn)可知，
又一條漸近線方程為
所以，
由可得 ,解得，，
故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）設(shè)，AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為
則①，②，
②①得：，
即，又，
所以，
所以直線的方程為，即
16．（2023秋·天津北辰·高三?？计谀┮阎獧E圓的短半軸長(zhǎng)為1，離心率為.
（1）求的方程；
（2）設(shè)的上?下頂點(diǎn)分別為?，動(dòng)點(diǎn)(橫坐標(biāo)不為0)在直線上，直線交于點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，求的值.
【解析】（1）依題意可知，，所以，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）依題意可知，，
設(shè)，則，直線：，令，得，即，
，，
所以.
17．（2023秋·云南楚雄·高三統(tǒng)考期末）已知是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．
(1)求的方程；
(2)若是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，求的面積．
【解析】（1）由題可知，

，

．
因?yàn)?br />
，，所以

，
解得

，故的方程為

；
（2）根據(jù)對(duì)稱性，不妨令

，即

，直線

的方程為

，設(shè)

，

．
聯(lián)立方程組

，整理得

，
則

，

，則

．
點(diǎn)到直線

的距離

，
故

的面積為

．
18．（2023秋·河南·高三期末）已知點(diǎn)P在橢圓C：上.
(1)P與橢圓的頂點(diǎn)不重合，過P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，直線EF與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M，N.求證：為定值；
(2)若，過P的兩條直線交C于A，B兩點(diǎn)，兩直線PA，PB的斜率之和為0，求直線AB的斜率.
【解析】（1）設(shè)，，，設(shè)切線上任意一點(diǎn)，
因?yàn)?所以,
且，所以整理得，
所以切線PE的方程為，
同理PF的方程為：，因?yàn)镻在切線PE，PF上，
所以，，
所以直線EF的方程為：.
于是得，，所以.
因?yàn)镻在橢圓上，所以，故.
（2）據(jù)題意可知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為：
，，.
，化簡(jiǎn)整理得，
于是：，
，.
，.
據(jù)題意：.
即，
即，
即，
即，
于是有：或.
當(dāng)，直線AB：，恒過，
不合要求，舍去.
所以直線AB的斜率為.
19．（2023秋·北京·高三北理工附中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，短軸長(zhǎng)為2.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；
(2)M，D分別為橢圓C的左?右頂點(diǎn)，過M點(diǎn)作兩條互相垂直的直線MA，MB交橢圓于A，B兩點(diǎn)，直線AB是否過定點(diǎn)？并求出面積的最大值.
【解析】（1）由題意得：
，
故可知
橢圓方程為：，離心率為：
（2）M，D分別為橢圓C的左?右頂點(diǎn)
又由（1）可知： 設(shè)直線AB的方程為：，，
聯(lián)立方程可得：
有韋達(dá)定理可知：，
又

又


展開后整理得：，解得：或（舍去）

直線恒過定點(diǎn)


令
則
由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知：
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)
此時(shí)的最大值為：
20．（2023秋·江蘇蘇州·高三蘇州中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)在拋物線上，圓
(1)若，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段長(zhǎng)度的最小值；
(2)若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，過的直線與圓相切，分別交拋物線于（異于點(diǎn)），求證：直線過定點(diǎn)．
【解析】（1）設(shè)，則，
當(dāng)，Q為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)，
（2）題意可知，過P點(diǎn)直線與圓相切，
則，即，①
設(shè)直線為：，則與拋物線C的交點(diǎn)方程可化為：
，
令，則：，②
題意有，①②方程同解，故有
，
即：，所以直線為：，
即，由，解得，
直線恒過．
21．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
(1)求拋物線的方程；
(2)若直線與拋物線交于兩點(diǎn)，求面積的最小值.
【解析】（1）由題意，得，拋物線的方程為.
（2）設(shè)，
聯(lián)立，消去得，
，
，
易知，直線恒過定點(diǎn)，
故△的面積，
故△面積的最小值為.
22．（2023秋·吉林四平·高三四平市第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，且短軸長(zhǎng)為4，離心率．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若過橢圓C的右焦點(diǎn)且斜率為2的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng)．
【解析】（1）由題意設(shè)橢圓方程為，
由短軸長(zhǎng)為4，得，得，
因?yàn)?，?br /> 所以解得，，
所以橢圓方程為；
（2）橢圓的右焦點(diǎn)，故直線的方程為
由解得：或，
故、
所以
23．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，而焦點(diǎn)是雙曲線的右頂點(diǎn)．
(1)求拋物線的方程；
(2)若直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，求直線與的斜率之積．
【解析】（1）雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)形式：，
所以，，右頂點(diǎn).
設(shè)拋物線的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
由于拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線的右頂點(diǎn)，所以，，
所以拋物線的方程.
（2）聯(lián)立直線與拋物線的方程有，整理得，
.
設(shè)，，則，.
又，，
所以.
.
所以，直線與的斜率之積為-1.
24．（2023秋·吉林四平·高三四平市第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線的漸近線為，焦點(diǎn)到漸近線的距離是．
(1)求雙曲線的方程；
(2)已知直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)A、B，且線段的中點(diǎn)在圓上，求實(shí)數(shù)的值．
【解析】（1）由題知，，
設(shè)右焦點(diǎn)，取一條漸近線，
則焦點(diǎn)到漸近線的距離，
，從而，
所以雙曲線的方程為.
（2）設(shè)，，
由，得，
則，，
所以，
則中點(diǎn)坐標(biāo)為，
代入圓，得，
所以．
25．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的方程為，離心率為2，右頂點(diǎn)為.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過的直線與雙曲線的一支交于、兩點(diǎn)，求的取值范圍.
【解析】（1）由離心率又,所以，
又右頂點(diǎn)為，所以，所以，
故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)，
則由得，
因?yàn)橹本€與雙曲線一支交于、兩點(diǎn)，
所以 ，解得，
因此
，
因?yàn)?，所以?br /> 所以，所以，
故.
26．（2023秋·遼寧沈陽·高三沈陽市第十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的方程為，圓與軸相切于點(diǎn)，與軸正半軸相交于兩點(diǎn)，且，如圖．

(1)求圓的方程；
(2)如圖，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于 兩點(diǎn)，求證：射線平分．
【解析】（1）依題意，設(shè)圓心，，
，解得，
所以所求圓方程為：.
（2）代入圓方程，得或，
所以,
若過點(diǎn)的直線斜率不存在，此時(shí)在軸上，
,射線平分;
若過的直線斜率存在，設(shè)其方程為，
聯(lián)立整理得

設(shè)


，

所以射線平分．
綜上，射線平分.
27．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：，，分別為其左?右焦點(diǎn)，短軸長(zhǎng)為2，離心率，過作傾斜角為60°的直線 l ，直線 l 與橢圓交于A，B兩點(diǎn).
(1)求線段AB的長(zhǎng)；
(2)求的周長(zhǎng)和面積.
【解析】（1）∵橢圓的短軸長(zhǎng)為2，
∴，又∵，
∴，
∴橢圓C的方程為：，，，
設(shè)，，直線 l 的方程為：，
由，可得，
所以，，
所以
；
（2）由于，分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，
所以的周長(zhǎng)為，
因?yàn)榈街本€l：的距離為，
所以的面積.
28．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知橢圓，過橢圓上第一象限的點(diǎn)作橢圓的切線與軸相交于點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，作于，證明：為定值.

【解析】證明：不妨設(shè)切線方程為，，
聯(lián)立切線方程和橢圓方程，
消去得，
所以，得，
解方程可得，所以，
又點(diǎn)坐標(biāo)為，故為定值．
29．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右頂點(diǎn)重合，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn).
(1)求拋物線方程；
(2)若，且在軸的下方，在軸的上方，求的面積．
【解析】（1）由雙曲線的右頂點(diǎn)為，
即可得拋物線的焦點(diǎn)，
所以拋物線的方程為．
（2）過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，設(shè)，，
由，有，即 ，
由 ，解得，有，，
直線的斜率，則直線的方程為，直線與軸相交于點(diǎn)，
所以的面積
30．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知兩個(gè)定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足．
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
(2)若過點(diǎn)作曲線的切線，記其中的一個(gè)切點(diǎn)為，求線段的長(zhǎng)．
【解析】（1）由題，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
因?yàn)?，所以?br /> 即，
整理得，
所以所求曲線的軌跡方程為；
（2）由（1）知，圓心，半徑，
點(diǎn)，則，
則切線．



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