理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系
掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法
能利用導(dǎo)數(shù)的方法解決相關(guān)的單調(diào)性問(wèn)題
基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:
一般地,對(duì)于由y=f (u)和u=g(x)復(fù)合而成的函數(shù) y=f (g(x)),它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y=f (u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為
即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積,簡(jiǎn)單的理解就是復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于內(nèi)外函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之積.
在必修第一冊(cè)中, 我們通過(guò)圖象直觀,利用不等式、方程等知識(shí),研究了函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性以及最大(小)值等性質(zhì). 在本章前兩節(jié)中,我們學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的概念和運(yùn)算,知道導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá),它定量地刻畫(huà)了函數(shù)的局部變化.
能否利用導(dǎo)數(shù)更加精確地研究函數(shù)的性質(zhì)呢?
本節(jié)我們就來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題.
函數(shù) y = f (x) 在給定區(qū)間 G 上,當(dāng) x 1、x 2 ∈G 且 x 1< x 2 時(shí)
(1)都有 f ( x 1 ) < f ( x 2 ),
則 f ( x ) 在G 上是增函數(shù);
(2)都有 f ( x 1 ) > f ( x 2 ),
則 f ( x ) 在G 上是減函數(shù);
若 f (x) 在G上是增函數(shù)或減函數(shù),
則 f (x) 在G上具有嚴(yán)格的單調(diào)性。
新知探究:導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系
我們先來(lái)研究前面學(xué)習(xí)過(guò)的高臺(tái)跳水問(wèn)題.
情境 圖(1)是某高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的重心相對(duì)于水面的高度h隨時(shí)間t變化的函數(shù)h(t)=-4.9t2+4.8t+11的圖象,圖(2)是跳水運(yùn)動(dòng)員的速度v 隨時(shí)間t變化的函數(shù)v(t)=h′(t)=-9.8t+4.8的圖象.a= ,b是函數(shù)h(t)的零點(diǎn).
問(wèn)題1 運(yùn)動(dòng)員從起跳到最高點(diǎn),以及從最高點(diǎn)到入水這兩段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么區(qū)別?如何從數(shù)學(xué)上刻畫(huà)這種區(qū)別?
觀察圖象可以發(fā)現(xiàn): (1) 從起跳到最高點(diǎn),運(yùn)動(dòng)員的重心處于上升狀態(tài),離水面的高度h隨時(shí)間t的增加而增加,即h(t)單調(diào)遞增. 相應(yīng)地,v(t)=h'(t)>0. (2) 從最高點(diǎn)到入水,運(yùn)動(dòng)員的重心處于下降狀態(tài),離水面的高度h隨時(shí)間t的增加而減小,即h(t)單調(diào)遞減. 相應(yīng)地,v(t)=h'(t)0,函數(shù)h(t)的圖象是“上升”的,函數(shù)h(t)在(0, a)內(nèi)單調(diào)遞增; 當(dāng)t∈(a, b)時(shí),h'(t)0
在區(qū)間(a,b)上, h′(t)0
在(-∞, 0)上, f (x)單調(diào)遞減
在(-∞, 0)上, f ′ (x)0
在(-∞, 0)上, f (x)單調(diào)遞增
在(-∞, 0)上, f ′ (x)>0
在(0, +∞)上, f (x)單調(diào)遞減
在(0, +∞)上,f ′ (x)0, 那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a, b)上單調(diào)遞增; 在某個(gè)區(qū)間(a, b)上, 如果f '(x)

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5.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

版本: 人教A版 (2019)

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