能利用導(dǎo)數(shù)求某些函數(shù)的在給定閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值
體會(huì)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值、最大(小)值的關(guān)系
區(qū)別函數(shù)的極值和最大(小)值,借助于求函數(shù)的最大(小)值的運(yùn)算,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象素養(yǎng)
導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用
函數(shù)最大值和最小值是如何定義的?
一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M 滿足:(1)對(duì)于任意的x∈I,都有f(x)≤M ; (2)存在 x0∈I,使得f(x0) = M 那么,稱M 是函數(shù)y=f(x)的最大值.
一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮 ,如果存在實(shí)數(shù)M 滿足: (2)對(duì)于任意的x∈I ,都有f(x)≥m ; (2)存在 x0∈I,使得f(x0) = m那么,稱m是函數(shù)y=f(x)的最小值 .
我們知道,極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的局部性質(zhì),而不是函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的性質(zhì). 也就是說,如果x0是函數(shù)y=f(x)的極大(小)值點(diǎn),那么在x= x0附近找不到比f(x0)更大(小)的值. 但是,在解決實(shí)際問題或研究函數(shù)的性質(zhì)時(shí),我們往往更關(guān)心函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上,哪個(gè)值最大,哪個(gè)值最小. 如果x0是某個(gè)區(qū)間上函數(shù)y=f(x)的最大(小)值點(diǎn),那么f(x0)不小(大)于函數(shù)y=f(x)在此區(qū)間上的所有函數(shù)值.
函數(shù)在什么條件下一定有最大、最小值?它們與函數(shù)極值關(guān)系如何?
問題1 下圖是函數(shù)y=f(x), x∈[a, b]的圖象,你能找出它的極小(大)值嗎?
追問 你能進(jìn)一步找出函數(shù)在區(qū)間[a, b]上的最小(大)值嗎?
極大值:f(x2), f(x4), f(x6)
極小值: f(x1), f(x3), f(x5)
最大值:f(a) 最小值:f(x3)
問題2 觀察[a,b]上的函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖象,它們?cè)赱a,b]上有最大值、最小值嗎?如果有,最大值和最小值分別是什么?
最大值:f(b); 最小值:f(a)
最大值:f(x3); 最小值:f(x4)
問題3 以上函數(shù)既有最大值,又有最小值,是不是所有的函數(shù)都有最大(小)值嗎?
追問1 什么樣的函數(shù)一定會(huì)有最大值和最小值呢?
在開區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)不一定有最大值與最小值.
在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最大值與最小值
一般地,如果在閉區(qū)間[a, b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)曲線,它必有最大值和最小值.
追問2 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的最值一定是它的某個(gè)極大(小)值嗎?
追問3 如何結(jié)合函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大(?。┲的兀?br/>求最值的方法:只要把函數(shù)y=f (x)的所有極值連同端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較,就可以求出函數(shù)的最大值和最小值.
追問4 函數(shù)最值與極值有什么關(guān)系?
1.函數(shù)的最大值、最小值是比較整個(gè)定義域上的函數(shù)值得出的,函數(shù)的極大值、極小值是比較極值點(diǎn)附近的函數(shù)值得出的.
2.函數(shù)的極值可以有多個(gè),但函數(shù)在其定義域上的最大值、最小值最多各有一個(gè).
3.極值只能在區(qū)間內(nèi)取得,最值則可以在端點(diǎn)處取得;有最值未必有極值;極值有可能成為最值,最值只要不在端點(diǎn)處取得必定是極值.
求f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下:
① 求函數(shù)f(x)在(a, b)內(nèi)的極值;
② 求函數(shù)f(x)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a), f(b);
③ 將函數(shù)f(x)在各極值與f(a), f(b)比較,其中最大的一個(gè)是最大值,最小的一個(gè)是最小值.
所以,當(dāng)x=1時(shí), s(x)取得最小值.
所以, s(x) ≥ s(1)=0, 即
設(shè) ,那么
所以,當(dāng)x=1時(shí), f(x)取得最小值.
所以, f(x) ≥ f(1)=0, 即x-lnx-1≥0
解:將不等式lnx≤ x-1轉(zhuǎn)化為x-lnx-1≥0
故當(dāng)x>0時(shí), lnx≤ x-1.
除點(diǎn)(1,0)外,曲線C1:y=x-1在 y 軸右側(cè)的部分位于曲線C2 :y=lnx的上方.

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5.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

版本: 人教A版 (2019)

年級(jí): 選擇性必修 第二冊(cè)

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