能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題.
第一部分 落實(shí)主干知識(shí)
第二部分 探究核心題型
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)西南方向與南偏西45°方向相同.(　　)(2)仰角和俯角都是鉛垂線與目標(biāo)視線所成的角，其范圍為 .(　　)(3)方位角是從正北方向起按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角.(　　)(4)若從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為α＋β＝180°.(　　)
2.如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°方向，燈塔B在觀察站南偏東60°方向，則燈塔A在燈塔BA.北偏東10°方向 B.北偏西10°方向C.南偏東80°方向 D.南偏西80°方向
由題可知，∠CAB＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°方向.
3.如圖所示，為測量某樹的高度，在地面上選取A，B兩點(diǎn)，從A，B兩點(diǎn)分別測得樹尖P的仰角為30°，45°，且A，B兩點(diǎn)之間的距離為60 m，則樹的高度為
在△ABP中，∠APB＝45°－30°＝15°，
由題意可知∠ACB＝60°，
例1　(1)如圖，某市地面有四個(gè)5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在江的南岸，距離為10 km；基站A，B建在江的北岸，測得∠ACB＝45°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°，∠ADB＝75°，則基站A，B之間的距離為
在△ACD中，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°，又∠ADB＝75°，
在△BCD中，∠CBD＝180°－(30°＋45°＋45°)＝60°，
在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cs∠ADB
(2)(2024·廈門模擬)一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿東偏南50°方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處.在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是東偏南20°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是
依題意，如圖，在△ABC中，
距離問題的解題思路：這類實(shí)際應(yīng)用題，實(shí)質(zhì)就是解三角形問題，一般都離不開正弦定理和余弦定理，在解題中，首先要正確地畫出符合題意的示意圖，然后將問題轉(zhuǎn)化為三角形問題去求解.注意：①基線的選取要恰當(dāng)準(zhǔn)確；②選取的三角形及正、余弦定理要恰當(dāng).
跟蹤訓(xùn)練1　(1)(2023·綏化模擬)安邦河，在黑龍江省內(nèi)有兩條.一條屬于松花江二級支流，位于黑龍江省中部，發(fā)源于小興安嶺支脈平頂山西坡；另一條屬于松花江右岸支流，位于黑龍江省東部，發(fā)源于完達(dá)山支脈分水崗，自南向北流經(jīng)雙鴨山、集賢、樺川3個(gè)市縣，在樺川縣新城鄉(xiāng)境內(nèi)注入松花江.安邦河從雙鴨山一中旁流過，其中一河段的兩岸基本上是平行的，根據(jù)城建工程計(jì)劃，需要測量出該河段的寬度，現(xiàn)在一側(cè)岸邊選取兩點(diǎn)A，B并測得AB＝a，選取對岸一目標(biāo)點(diǎn)C并測得∠ABC＝α，∠BAC＝β，則該段河流的寬度為
在△ABC中，由正弦定理得
(2)如圖，為計(jì)算湖泊岸邊兩景點(diǎn)B與C之間的距離，在岸上選取A和D兩點(diǎn)，現(xiàn)測得AB＝5 km，AD＝7 km，∠ABD＝60°，∠CBD＝23°，∠BCD＝117°，據(jù)以上條件可求得兩景點(diǎn)B與C之間的距離為______ km(精確到0.1 km，參考數(shù)據(jù)：sin 40°≈0.643，sin 117°≈0.891).
在△ABD中，有AB＝5，AD＝7，∠ABD＝60°，由余弦定理可得，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcs∠ABD，
整理可得BD2－5BD－24＝0，解得BD＝8或BD＝－3(舍去).在△BCD中，有BD＝8，∠CBD＝23°，∠BCD＝117°，所以∠BDC＝180°－∠BCD－∠CBD＝40°.
例2　(1)(2023·濟(jì)寧統(tǒng)考)首鋼滑雪大跳臺(tái)(如圖1)是冬奧歷史上第一座與工業(yè)遺產(chǎn)再利用直接結(jié)合的競賽場館，大跳臺(tái)的設(shè)計(jì)中融入了世界文化遺產(chǎn)敦煌壁畫中“飛天”的元素.某校研究性學(xué)習(xí)小組為了估算賽道造型最高點(diǎn)A(如圖2)距離地面的高度AB(AB與地面垂直)，在賽道一側(cè)找到一座建筑物PQ，測得PQ的高度為25.4米，并從P點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角為30°；在賽道與建筑物PQ之間的地面上的點(diǎn)M處測得A點(diǎn)，P點(diǎn)的仰角分別為75°和30°(其中B，M，Q三點(diǎn)共線)，該學(xué)習(xí)小組利用這些數(shù)據(jù)估算得賽道造型最高點(diǎn)A距離地面的高度約為A.58 米 B.60 米C.66 米 D.68 米
由題意得∠AMB＝75°，∠PMQ＝30°，∠AMP＝75°，∠APM＝60°，∠PAM＝45°，
在△PAM中，由正弦定理得
在△ABM中，AB＝AM·sin∠AMB
(2)矗立在上饒市市民公園(如圖1)的四門通天銅雕有著“四方迎客、通達(dá)天下”的美好寓意，也象征著上饒四省通衢，連南接北，通江達(dá)海，包容八方.如圖2，某中學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組為測量其高度，在和它底部O位于同一水平高度的共線三點(diǎn)A，B，C處測得銅雕頂端P處的仰角分別為 ，且AB＝BC＝20 m，則四門通天的高度為
在△BCO中，由余弦定理得
因?yàn)椤螦BO＋∠OBC＝π，
高度問題的易錯(cuò)點(diǎn)(1)圖形中為空間關(guān)系，極易當(dāng)作平面問題處理，從而致錯(cuò)；(2)對仰角、俯角等概念理解不夠深入，從而把握不準(zhǔn)已知條件而致錯(cuò).
跟蹤訓(xùn)練2　(1)如圖，在山腳A處測得山頂P的仰角為37°，沿坡角為23°的斜坡向上走28 m到達(dá)B處，在B處測得山頂P的仰角為53°，且A，B，P，C，Q在同一平面，則山的高度約為(參考數(shù)據(jù)：sin 37°≈0.6)A.30 m B.32 mC.34 m D.36 m
∠BAQ＝23°，∠BPA＝∠QPA－∠BPC＝53°－37°＝16°，∠PAB＝∠PAQ－∠BAQ＝37°－23°＝14°，∠PBA＝180°－16°－14°＝150°.
所以山的高度約為PQ＝AP·sin 37°＝50×0.6＝30(m).
(2)“倫敦眼”坐落在英國倫敦泰晤士河畔，是世界上首座觀景摩天輪，又稱“千禧之輪”，該摩天輪的半徑為6(單位：10 m)，游客在乘坐艙P(yáng)升到上半空鳥瞰倫敦建筑BC，倫敦眼與建筑之間的距離AB為12(單位：10 m)，游客在乘坐艙P(yáng)看建筑BC的視角為θ.當(dāng)乘坐艙P(yáng)在倫敦眼的最高點(diǎn)D時(shí)，視角θ＝30°，則建筑BC的高度為__________.(單位：10 m)
當(dāng)乘坐艙P(yáng)在倫敦眼的最高點(diǎn)D時(shí)，如圖所示，因?yàn)槟μ燧喌陌霃綖?，所以AD＝12，又AB＝12，
因?yàn)椤螪BA＝45°，所以∠DBC＝45°，因?yàn)椤螩DB＝θ＝30°，所以∠DCB＝180°－45°－30°＝105°，
例3　已知在島A南偏西38°方向，距島A 3海里的B處有一艘救援艇.島A處的一艘故障船正以10海里/小時(shí)的速度向島A北偏西22°方向行駛，問救援艇朝何方向以多大速度行駛，恰好用0.5小時(shí)追趕上該故障船？
如圖，設(shè)救援艇在C處追趕上故障船，D為島A正南方向上一點(diǎn)，救援艇的速度為x海里/小時(shí)，結(jié)合題意知BC＝0.5x，AC＝5，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°.
所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14.
所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，故救援艇以14海里/小時(shí)的速度向正北方向行駛，恰好用0.5小時(shí)追趕上該故障船.
角度問題的解題方法首先應(yīng)明確方向角的含義，在解應(yīng)用題時(shí)，分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫出示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步，通過這一步可將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題中也要注意體會(huì)正、余弦定理“聯(lián)袂”使用的優(yōu)點(diǎn).
跟蹤訓(xùn)練3　(1)(2023·南京模擬)如圖所示，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15°，向山頂前進(jìn)100 m到達(dá)B處，又測得C對于山坡的斜度為45°，若CD＝50 m，山坡對于地平面的坡度為θ，則cs θ等于
在△ABC中，∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－15°－135°＝30°，
(2)甲船在A處觀察乙船，乙船在它北偏東60°方向，相距a海里的B處，乙船向正北方向行駛，若甲船速度是乙船速度的 倍，甲船為了盡快追上乙船，朝北偏東θ方向前進(jìn)，則θ＝________.
如圖，設(shè)兩船在C處相遇，
又因?yàn)?°

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