§4.9　解三角形及其應(yīng)用舉例考試要求　1.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題.2.能利用正弦定理、余弦定理解決三角形中的最值和范圍問題.3.通過解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．知識(shí)梳理測(cè)量中的幾個(gè)有關(guān)術(shù)語術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針方向到目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角．方位角θ的范圍是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)α例：(1)北偏東α：(2)南偏西α：坡角與坡比坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(θ為坡角)；坡面的垂直高度與水平長(zhǎng)度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)東南方向與南偏東45°方向相同．(　 　)(2)若△ABC為銳角三角形且A＝，則角B的取值范圍是.(　 　)(3)從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為α＋β＝180°.(　 　)(4)俯角是鉛垂線與目標(biāo)視線所成的角，其范圍為.(　 　)教材改編題1．兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站北偏東40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的(　　)A．北偏東10°   B．北偏西10°C．南偏東10°   D．南偏西10°2.如圖所示，為測(cè)量某樹的高度，在地面上選取A，B兩點(diǎn)，從A，B兩點(diǎn)分別測(cè)得樹尖的仰角為30°，45°，且A，B兩點(diǎn)之間的距離為60 m，則樹的高度為(　　)A．(30＋30)m   B．(15＋30)mC．(30＋15)m   D．(15＋15)m3．在某次海軍演習(xí)中，已知甲驅(qū)逐艦在航母的南偏東15°方向且與航母的距離為12海里，乙護(hù)衛(wèi)艦在甲驅(qū)逐艦的正西方向，若測(cè)得乙護(hù)衛(wèi)艦在航母的南偏西45°方向，則甲驅(qū)逐艦與乙護(hù)衛(wèi)艦的距離為________海里．題型一　解三角形的應(yīng)用舉例命題點(diǎn)1　測(cè)量距離問題例1　(1)(2023·重慶模擬)一個(gè)騎行愛好者從A地出發(fā)，向西騎行了2 km到達(dá)B地，然后再由B地向北偏西60°騎行2 km到達(dá)C地，再從C地向南偏西30°騎行了5 km到達(dá)D地，則A地到D地的直線距離是(　　)A．8 km  B．3 km  C．3 km  D．5 km(2)(2022·東北師大附中模擬)為加快推進(jìn)“5G＋光網(wǎng)”雙千兆城市建設(shè)，如圖，在某市地面有四個(gè)5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在某江的南岸，距離為10 km；基站A，B在江的北岸，測(cè)得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，則基站A，B的距離為(　　)A．10 km   B．30(－1)kmC．30(－1)km   D．10 km聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________命題點(diǎn)2　測(cè)量高度問題例2　(1)(2023·青島模擬)如圖甲，首鋼滑雪大跳臺(tái)是冬奧歷史上第一座與工業(yè)遺產(chǎn)再利用直接結(jié)合的競(jìng)賽場(chǎng)館，大跳臺(tái)的設(shè)計(jì)中融入了世界文化遺產(chǎn)敦煌壁畫中“飛天”的元素．如圖乙，某研究性學(xué)習(xí)小組為了估算賽道造型最高點(diǎn)A距離地面的高度AB(AB與地面垂直)，在賽道一側(cè)找到一座建筑物CD，測(cè)得CD的高度為h，并從C點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為30°；在賽道與建筑物CD之間的地面上的點(diǎn)E處測(cè)得A點(diǎn)，C點(diǎn)的仰角分別為75°和30°(其中B，E，D三點(diǎn)共線)．該學(xué)習(xí)小組利用這些數(shù)據(jù)估算得AB約為60米，則CD的高h約為(　　)(參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，≈2.45)A．11米  B．20.8米  C．25.4米  D．31.8米(2)大型城雕“商”字坐落在商丘市睢陽區(qū)神火大道與南京路交匯處，“商”字城雕有著厚重悠久的歷史和文化，它時(shí)刻撬動(dòng)著人們認(rèn)識(shí)商丘、走進(jìn)商丘的欲望．吳斌同學(xué)在今年國慶期間到商丘去旅游，經(jīng)過“商”字城雕時(shí)，他想利用解三角形的知識(shí)測(cè)量一下該雕塑的高度(即圖中線段AB的長(zhǎng)度)．他在該雕塑塔的正東C處沿著南偏西60°的方向前進(jìn)7米后到達(dá)D處(A，C，D三點(diǎn)在同一個(gè)水平面內(nèi))，測(cè)得圖中線段AB在東北方向，且測(cè)得點(diǎn)B的仰角為71.565°，則該雕塑的高度大約是(參考數(shù)據(jù)：tan 71.565°≈3)(　　)A．19米  B．20米  C．21米  D．22米聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________命題點(diǎn)3　測(cè)量角度問題例3　(1)(2023·南通模擬)圖1是南北方向水平放置的圭表(一種度量日影長(zhǎng)的天文儀器，由“圭”和“表”兩個(gè)部件組成)的示意圖，其中表高為h，日影長(zhǎng)為l.圖2是地球軸截面的示意圖，虛線表示點(diǎn)A處的水平面．已知某測(cè)繪興趣小組在冬至日正午時(shí)刻(太陽直射點(diǎn)的緯度為南緯23°26′)，在某地利用一表高為2 dm的圭表按圖1方式放置后，測(cè)得日影長(zhǎng)為2.98 dm，則該地的緯度約為北緯(參考數(shù)據(jù)：tan 34°≈0.67，tan 56°≈1.48)(　　)A．23°26′  B．32°34′  C．34°  D．56°(2)(2023·無錫模擬)《后漢書·張衡傳》：“陽嘉元年，復(fù)造候風(fēng)地動(dòng)儀．以精銅鑄成，員徑八尺，合蓋隆起，形似酒尊，飾以篆文山龜鳥獸之形．中有都柱，傍行八道，施關(guān)發(fā)機(jī)．外有八龍，首銜銅丸，下有蟾蜍，張口承之．其牙機(jī)巧制，皆隱在尊中，覆蓋周密無際．如有地動(dòng)，尊則振龍，機(jī)發(fā)吐丸，而蟾蜍銜之．振聲激揚(yáng)，伺者因此覺知．雖一龍發(fā)機(jī)，而七首不動(dòng)，尋其方面，乃知震之所在．驗(yàn)之以事，合契若神．”如圖為張衡地動(dòng)儀的結(jié)構(gòu)圖，現(xiàn)要在相距200 km的A，B兩地各放置一個(gè)地動(dòng)儀，B在A的東偏北60°方向，若A地地動(dòng)儀正東方向的銅丸落下，B地東南方向的銅丸落下，則地震的位置在A地正東________km.聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華　解三角形的應(yīng)用問題的要點(diǎn)(1)從實(shí)際問題抽象出已知的角度、距離、高度等條件，作為某個(gè)三角形的元素．(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得實(shí)際問題的解．跟蹤訓(xùn)練1　(1)(多選)某貨輪在A處測(cè)得燈塔B在北偏東75°，距離為12 n mile，測(cè)得燈塔C在北偏西30°，距離為8 n mile.貨輪由A處向正北航行到D處時(shí)，測(cè)得燈塔B在南偏東60°，則下列說法正確的是(　　)A．A處與D處之間的距離是24 n mileB．燈塔C與D處之間的距離是16 n mileC．燈塔C在D處的西偏南60°D．D在燈塔B的北偏西30°(2)落霞與孤鶩齊飛，秋水共長(zhǎng)天一色，滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩人王勃所作《滕王閣序》而名傳千古，如圖所示，在滕王閣旁的水平地面上共線的三點(diǎn)A，B，C處測(cè)得其頂點(diǎn)P的仰角分別為30°，60°，45°，且AB＝BC＝75米，則滕王閣的高度OP＝________米．(3)如圖所示，工程師為了了解深水港碼頭海域海底的構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A，B，C三點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量．已知AB＝60 m，BC＝120 m，于A處測(cè)得水深AD＝120 m，于B處測(cè)得水深BE＝200 m，于C處測(cè)得水深CF＝150 m，則cos∠DEF＝________.題型二　解三角形中的最值和范圍問題例4　(2023·九江模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知(a2＋c2－b2)＝－2absin C.(1)求角B；(2)若D為AC的中點(diǎn)，且BD＝2，求△ABC面積的最大值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華　解三角形中最值(范圍)問題的解題策略利用正弦、余弦定理以及面積公式化簡(jiǎn)整理，構(gòu)造關(guān)于某一個(gè)角或某一條邊的函數(shù)或不等式，利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式等求最值(范圍)．跟蹤訓(xùn)練2　(2023·南京模擬)在①bcos＝ccos B；②2S△ABC＝·，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并進(jìn)行解答．問題：在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且________．(1)求角B；(2)在△ABC中，b＝2，求△ABC周長(zhǎng)的最大值．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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