§5.2　平面向量基本定理及坐標(biāo)表示考試要求　1.了解平面向量基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件．知識(shí)梳理1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)____________向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，______________一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝__________________.我們把不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組________．2．平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)________________的向量，叫做把向量正交分解．3．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝________________________，a－b＝________________________，λa＝______________，|a|＝______________.(2)向量坐標(biāo)的求法①一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝________，||＝________________.4．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?________________________.常用結(jié)論已知P為線段AB的中點(diǎn)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為；已知△ABC的頂點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標(biāo)為.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)平面內(nèi)的任意兩個(gè)向量都可以作為一組基底．(　　)(2)設(shè){a，b}是平面內(nèi)的一組基底，若λ1a＋λ2b＝0，則λ1＝λ2＝0.(　　)(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可以表示成＝.(　　)(4)平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換之后其坐標(biāo)不變．(　　)教材改編題1．下列各組向量中，可以作為基底的是(　　)A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(2，－3)，e2＝C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)2．若P1(1,3)，P2(4,0)，且P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)P1)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(　　)A．(2,2)   B．(3，－1)C．(2,2)或(3，－1)   D．(2,2)或(3,1)3．若a＝(6,6)，b＝(5,7)，c＝(2,4)，則下列結(jié)論成立的是(　　)A．a－c與b共線B．b＋c與a共線C．a與b－c共線D．a＋b與c共線題型一　平面向量基本定理的應(yīng)用例1 (1)如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，且＝2，則等于(　　)A.－   B.＋C.－   D.＋(2)(2022·昆明模擬)如圖，在△ABM中，＝3，＝，若＝λ＋μ，則λ＋μ等于(　　)A．－  B.  C．－  D.聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 (1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決．跟蹤訓(xùn)練1 (1)下列命題中正確的個(gè)數(shù)是(　　)①若p＝xa＋yb，則p與a，b共面；②若p與a，b共面，則存在實(shí)數(shù)x，y使得p＝xa＋yb；③若＝x＋y，則P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，則存在實(shí)數(shù)x，y使得＝x＋y.A．1  B．2  C．3  D．4(2)如圖，已知平面內(nèi)有三個(gè)向量，，，其中與的夾角為120°，與的夾角為30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝________.題型二　平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例2 (1)已知＝(1，－1)，C(0,1)，若＝2，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(　　)A．(－2,3)   B．(2，－3)C．(－2,1)   D．(2，－1)(2)如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E為AD的中點(diǎn)，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為(　　)A.  B.  C．2  D.聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 (1)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，主要是利用加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則，然后根據(jù)“兩個(gè)向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等”這一原則，化歸為方程(組)進(jìn)行求解．(2)向量的坐標(biāo)表示使向量運(yùn)算代數(shù)化，成為數(shù)與形結(jié)合的載體，可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運(yùn)算．跟蹤訓(xùn)練2 (1)已知M(－2,7)，N(10，－2)，點(diǎn)P是線段MN上的點(diǎn)，且＝－2，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為(　　)A．(2,4)   B．(－14,16)C．(6,1)   D．(22，－11)(2)已知向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，用基底表示c，則(　　)A．c＝2a－3b   B．c＝－2a－3bC．c＝－3a＋2b   D．c＝3a－2b題型三　向量共線的坐標(biāo)表示命題點(diǎn)1　利用向量共線求參數(shù)例3 (2023·臨汾模擬)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若a∥c，則k等于(　　)A．－1  B．0  C．1  D．2聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________命題點(diǎn)2　利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)例4 設(shè)點(diǎn)A(2,0)，B(4,2)，若點(diǎn)P在直線AB上，且||＝2||，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(　　)A．(3,1)   B．(1，－1)C．(3,1)或(1，－1)   D．(3,1)或(1,1)聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的解題策略(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1.(2)在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)．跟蹤訓(xùn)練3 (1)已知向量a＝(－3,2)，b＝(4，－2λ)，若(a＋2b)∥(a－b)，則實(shí)數(shù)λ的值為(　　)A.  B.  C.  D.(2)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，C＝，若m＝(c－，a－b)，n＝(a－b，c＋)，且m∥n，則△ABC的面積為(　　)A．3  B.  C.  D．3

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