§5.2　平面向量基本定理及坐標表示考試要求　1.了解平面向量基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示.3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算.4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件．知識梳理1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內的兩個____________向量，那么對于這一平面內的任意向量a，______________一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝__________________.我們把不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組________．2．平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個________________的向量，叫做把向量正交分解．3．平面向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘運算及向量的模設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝________________________，a－b＝________________________，λa＝______________，|a|＝______________.(2)向量坐標的求法①一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去始點的坐標．②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝________，||＝________________.4．平面向量共線的坐標表示設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?________________________.常用結論已知P為線段AB的中點，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則點P的坐標為；已知△ABC的頂點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標為.思考辨析判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)平面內的任意兩個向量都可以作為一組基底．(　　)(2)設{a，b}是平面內的一組基底，若λ1a＋λ2b＝0，則λ1＝λ2＝0.(　　)(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可以表示成＝.(　　)(4)平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換之后其坐標不變．(　　)教材改編題1．下列各組向量中，可以作為基底的是(　　)A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(2，－3)，e2＝C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)2．若P1(1,3)，P2(4,0)，且P是線段P1P2的一個三等分點(靠近點P1)，則點P的坐標為(　　)A．(2,2)   B．(3，－1)C．(2,2)或(3，－1)   D．(2,2)或(3,1)3．若a＝(6,6)，b＝(5,7)，c＝(2,4)，則下列結論成立的是(　　)A．a－c與b共線B．b＋c與a共線C．a與b－c共線D．a＋b與c共線題型一　平面向量基本定理的應用例1 (1)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則等于(　　)A.－   B.－C.＋   D.＋(2)(2022·昆明模擬)如圖，在△ABM中，＝3，＝，若＝λ＋μ，則λ＋μ等于(　　)A．－  B.  C．－  D.聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 (1)應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算．(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．跟蹤訓練1 (1)下列命題中正確的個數(shù)是(　　)①若p＝xa＋yb，則p與a，b共面；②若p與a，b共面，則存在實數(shù)x，y使得p＝xa＋yb；③若＝x＋y，則P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，則存在實數(shù)x，y使得＝x＋y.A．1  B．2  C．3  D．4(2)(2023·開封模擬)如圖，在△ABC中，點M是AB上的點且滿足＝3，P是CM上的點，且＝，設＝a，＝b，則等于(　　)A.a＋b   B.a＋bC.a＋b   D.a＋b題型二　平面向量的坐標運算例2 (1)已知＝(1，－1)，C(0,1)，若＝2，則點D的坐標為(　　)A．(－2,3)   B．(2，－3)C．(－2,1)   D．(2，－1)(2)如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E為AD的中點，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為(　　)A.  B.  C．2  D.聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 (1)利用向量的坐標運算解題，主要是利用加法、減法、數(shù)乘運算法則，然后根據(jù)“兩個向量相等當且僅當它們的坐標對應相等”這一原則，化歸為方程(組)進行求解．(2)向量的坐標表示使向量運算代數(shù)化，成為數(shù)與形結合的載體，可以使很多幾何問題的解答轉化為我們熟知的數(shù)量運算．跟蹤訓練2 (1)已知M(－2,7)，N(10，－2)，點P是線段MN上的點，且＝－2，則P點的坐標為(　　)A．(2,4)   B．(－14,16)C．(6,1)   D．(22，－11)(2)已知向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，用基底表示c，則(　　)A．c＝2a－3b   B．c＝－2a－3bC．c＝－3a＋2b   D．c＝3a－2b題型三　向量共線的坐標表示命題點1　利用向量共線求參數(shù)例3 (2023·臨汾模擬)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若a∥c，則k等于(　　)A．－1  B．0  C．1  D．2聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________命題點2　利用向量共線求向量或點的坐標例4 已知平行四邊形ABCD的三個頂點A(－2,1)，B(3,4)，C(－1,3)，則第四個頂點D的坐標為(　　)A．(2,2)   B．(－6,0)C．(4,6)   D．(－2,4)聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 平面向量共線的坐標表示問題的解題策略(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1.(2)在求與一個已知向量a共線的向量時，可設所求向量為λa(λ∈R)．跟蹤訓練3 (1)已知向量a＝(－3,2)，b＝(4，－2λ)，若(a＋2b)∥(a－b)，則實數(shù)λ的值為(　　)A.  B.  C.  D.(2)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，C＝，若m＝(c－，a－b)，n＝(a－b，c＋)，且m∥n，則△ABC的面積為(　　)A．3  B.  C.  D．3

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