一、單項選擇題
1．在下列向量組中，可以把向量a＝(3，2)表示出來的是( )
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)
B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)
2．已知點A(1，0)，B(2，2)，向量BC＝(2，－1)，則向量AC＝( )
A．(1，2) B．(－1，－2)
C．(3，1) D．(－3，－1)
3．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，則2a＋3b等于( )
A．(－2，－4) B．(－3，－6)
C．(－5，－10) D．(－4，－8)
4．已知向量OA＝(1，－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(m＋1，m－2)，若點A，B，C能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m不可能是( )
A．－2 B．12
C．1 D．－1
5．如圖，點D，E分別是AC，BC的中點，設(shè)AB＝a，AC＝b，F(xiàn)是DE的中點，則AF＝( )
A．12a＋12b
B．－12a＋12b
C．14a＋12b
D．－14a＋12b
6．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC內(nèi)一點，且∠DAB＝60°，設(shè)AD＝λAB＋μAC(λ，μ∈R)，則λμ等于( )
A．233 B．33
C．3 D．23
7．△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，設(shè)向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，則角C的大小為( )
A．π6 B．π3
C．π2 D．2π3
8．在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥CD，AB＝BC＝CD，若AC＝λAB＋μAD，則λ＋μ＝( )
A．43 B．2
C．32 D．2
二、多項選擇題
9．如圖所示，A，B，C是圓O上的三點，線段OC與線段AB交于圓內(nèi)一點P，若AP＝λAB，OC＝μOA＋3μOB，則( )
A．P為線段OC的中點時，μ＝12
B．P為線段OC的中點時，μ＝13
C．無論μ取何值，恒有λ＝34
D．存在μ∈R，λ＝12
10．在平行四邊形ABCD中，BE＝2EC，DF＝3FA，AE與BF交于點O，設(shè)DA＝a，DB＝b，則( )
A．AE＝－53a＋b B．AE＝a－53b
C．DO＝611a＋311b D．DO＝311a＋611b
三、填空題
11．已知O為坐標(biāo)原點，P1P＝－2PP2，若P1(1，2)，P2(2，－1)，則與OP共線的單位向量為________．
12．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，點P為矩形ABCD內(nèi)(包括邊界)一點，則|PA+PB|的取值范圍是________．
13．(2024·山東濟南期中)在△ABC中，AB＝2AC，∠BAC的平分線AD交邊BC于點D，記AC＝a，AD＝b，則AB＝( )
A．3a－2b B．－2a＋3b
C．3a＋2b D．2a＋3b
14．在△ABC中，點D在線段BC的延長線上，且BC＝3CD，點O在線段CD上(與點C，D不重合)，若AO＝xAB＋(1－x)AC，則x的取值范圍是( )
A．0，12 B．0，13
C．?12，0 D．?13，0
15．(2024·北京模擬)已知向量OP＝(3，4)，將向量OP繞原點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°到OP'的位置，則點P′(x′，y′)的坐標(biāo)為( )
A．(－4，3) B．(－3，4)
C．?22，722 D．?722，22
16．給定兩個長度為1的平面向量OA和OB，它們的夾角為2π3.如圖所示，點C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上運動．若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，則x＋y的最大值為________．
參考答案
1．B [對于A，C，D，都有e1∥e2，所以只有B成立．]
2．C [AB＝(1，2)，AC＝AB+BC＝(1，2)＋(2，－1)＝(3，1)．故選C.]
3．D [因為a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，所以m＝－4，b＝(－2，－4)，所以2a＋3b＝(－4，－8)，故選D.]
4．C [若A，B，C三點不共線即可構(gòu)成三角形．因為AB＝OB?OA＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，AC＝OC?OA＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假設(shè)A，B，C三點共線，則1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1．所以只要m≠1，A，B，C三點就可構(gòu)成三角形．]
5．C [因為點D，E分別是AC，BC的中點，F(xiàn)是DE的中點，所以AF＝AD+DF＝12AC+12DE ＝12AC+14AB，即AF＝14a＋12b.故選C.]
6．A [如圖，以A為原點，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則B(1，0)，C(0，2)，因為∠DAB＝60°，所以設(shè)D點的坐標(biāo)為(m，3m)(m≠0)．
AD＝(m，3m)＝λAB＋μAC＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，則λ＝m，且μ＝32m，所以λμ＝233.]
7．B [因為p∥q，所以(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，
所以c2－a2－b2＋ab＝0，所以a2＋b2－c2＝ab，
所以2ab cs C＝ab，所以cs C＝12，
因為0＜C＜π，所以C＝π3.
故選B.]
8．B [設(shè)AB＝2，如圖，以AC所在直線為x軸，AC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(－1，0)，B(0，－1)，C(1，0)，D(1，2)，AC＝(2，0)，AB＝(1，－1)，AD＝(2，2)，因為AC＝λAB＋μAD，所以(2，0)＝λ(1，－1)＋μ(2，2)，所以λ+2μ=2，?λ+2μ=0，解得λ＝22－2，μ＝2－2，所以λ＋μ＝2.故選B.]
9．AC [OP＝OA+AP＝OA＋λAB＝OA＋λ(OB?OA)＝(1－λ)OA＋λOB.因為OP與OC共線，所以1?λμ＝λ3μ，解得λ＝34，故C正確，D錯誤；當(dāng)P為OC的中點時，則OP＝12OC＝12μOA+12×3μOB，則1?λ=12μ，λ=12×3μ，解得μ＝12，故A正確，B錯誤．故選AC.]
10．AC [在平行四邊形ABCD中，BE＝2EC，所以BE＝－23DA，則AE＝AB+BE＝(DB?DA)－23DA＝－53DA+DB＝－53a＋b，A正確，B錯誤；設(shè)AE與BD交于點M，則在平行四邊形ABCD中，△BEM與△DAM相似，所以BMDM＝BEDA＝23，則DM＝35DB，即DM＝35DB＝35b，DF＝34DA＝34a，因為F，O，B三點共線，A，O，M三點共線，設(shè)DO＝xDF＋(1－x)DB＝3x4DA+51?x3·DM，則3x4+51?x3＝1，即x＝811，所以DO＝3x4DA＋(1－x)DB＝611a＋311b，C正確，D錯誤．故選AC.]
11．35，?45或?35，45 [由P1P＝－2PP2得P1P＋2PP2＝0，即P1P2+PP2＝0，P1P2＝P2P，OP2?OP1＝OP?OP2，OP＝2OP2?OP1＝2(2，－1)－(1，2)＝(3，－4)，OP＝32+?42＝5，與OP同向的單位向量為OPOP＝35，?45，與OP反向的單位向量為?35，45.]
12．[0，22] [法一(坐標(biāo)法)：將矩形放在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)P(x，y)，
則A(0，0)，B(2，0)，PA+PB＝(－x，－y)＋(2－x，－y)＝(2－2x，－2y)，|PA+PB|＝2?2x2+?2y2＝2x?12+y2，
轉(zhuǎn)化為矩形內(nèi)的點到定點(1，0)的距離的2倍，
由圖可知點D(0，1)和點C(2，1)到定點(1，0)的距離相等同時取最大值：2?12+1?02＝2.
故|PA+PB|的取值范圍是[0，22].
法二(向量法)：取AB的中點H，易知PA+PB＝2PH，
∴|PA+PB|＝2|PH|，結(jié)合題意可知0≤|PH|≤2.
故|PA+PB|的取值范圍為[0，22].]
13．B [由題意，AB＝2AC，AD為∠BAC的平分線，則由角平分線定理，有BDDC＝ABAC＝2，即BD＝2DC，
故CB＝3CD，所以AB＝AC+CB＝AC＋3CD
＝AC＋3(AD?AC)＝－2AC＋3AD＝－2a＋3b.故選B.]
14．D [法一：依題意，設(shè)BO＝λBC，其中1＜λ＜43，則有AO＝AB+BO＝AB＋λBC＝AB＋λ(AC－AB)＝(1－λ)AB＋λAC.又AO＝xAB＋(1－x)AC，且AB，AC不共線，于是有x＝1－λ∈?13，0，即x的取值范圍是?13，0，故選D.
法二：∵AO＝xAB+AC－xAC，∴AO?AC＝x(AB?AC)，即CO＝xCB＝－3xCD，∵O在線段CD(不含C，D兩點)上，∴0＜－3x＜1，∴－13＜x＜0.故選D.]
15．C [如圖，設(shè)OP與x軸正半軸的夾角為α，
由題可得|OP|＝32+42＝5，sin α＝45，cs α＝35，
則sin (α＋45°)＝sin αcs 45°＋cs αsin 45°＝45×22+35×22＝7210，cs (α＋45°)＝cs αcs 45°－sin αsin 45°＝35×22?45×22＝－210，則x′＝|OP'|·cs (α＋45°)＝5×?210＝－22，y′＝|OP'|·sin (α＋45°)＝5×7210＝722，所以P′的坐標(biāo)為?22，722.故選C.]
16．2 [法一：以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(1，0)，B?12，32.
設(shè)∠AOC＝αα∈0，2π3，則C(cs α，sin α)．
由OC＝xOA＋yOB，得csα=x?12y，sinα=32y，
所以x＝cs α＋33sin α，y＝233sin α，
所以x＋y＝cs α＋3sin α＝2sinα+π6.
又α∈0，2π3，所以當(dāng)α＝π3時，x＋y取得最大值2.
法二(等和線法)：如圖，連接AB交OC于點P，因為OC＝xOA＋yOB，所以當(dāng)點C與A(B)重合時，x＋y＝1.
當(dāng)點C為與AB平行且與圓弧相切的切點時，OC＝2OP，設(shè)OP＝λOA＋μOB，則λ＋μ＝1，所以O(shè)C＝2OP＝2λOA＋2μOB＝xOA＋yOB，所以x＋y＝2λ＋2μ＝2(λ＋μ)＝2.
所以x＋y的最大值為2．

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