例1 設(shè)點(diǎn)，，，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 .
解：由題意，可得，，
所以.
設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為，則，
可得 解得
所以點(diǎn) 的坐標(biāo)為.故填.
【點(diǎn)撥】 平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧.①向量的坐標(biāo)運(yùn)算常建立在向量的線性運(yùn)算的基礎(chǔ)之上，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)考慮坐標(biāo)運(yùn)算.②解題過程中，常利用“向量相等，則其坐標(biāo)相同”這一原則，通過列方程（組）進(jìn)行求解.
變式1 設(shè)，，，，則（ B ）
A. B. C. D.
解：設(shè)，則，.因?yàn)?，所?
所以 解得 即.
則，.故選.
考點(diǎn)二 平面向量基本定理及其應(yīng)用
例2
（1） 在平行四邊形中，，.若，則 .
解：如圖，由題意，得


.
又，所以,.
則.
故填.
（2） 如圖，已知平面內(nèi)有三個(gè)向量，，，其中與的夾角為 ，與的夾角為 ，且，，若，則 的值為6.
解：（方法一）以 和 為鄰邊作平行四邊形，如圖1，則.
圖1
因?yàn)?與 的夾角為 ，與 的夾角為 ，所以 ，在 中，.
所以，，所以，所以，即.
（方法二）以 為原點(diǎn)，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，.即，，，.
圖2
由，，，即 ，，
得 所以 即.故填6.
【點(diǎn)撥】 應(yīng)用平面向量基本定理應(yīng)注意定理中的基底必須是兩個(gè)不共線的向量.選定基底后，通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關(guān)向量用這一組基底表示出來,根據(jù)基底表示的唯一性列方程或方程組求解.
變式2
（1） 在中，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，若，則（ A ）
A. 0B. 1C. D.
解：因?yàn)?為 的中點(diǎn)，所以.
又因?yàn)?，所?.
則,，所以.故選.
（2） 已知向量，和在邊長為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若 ，則（ D ）
A. 2B. C. 3D.
解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，.
因?yàn)?，所?
所以 解得
所以.
故選.
考點(diǎn)三 共線向量的坐標(biāo)表示及應(yīng)用
例3
（1） 設(shè)平面向量，，若，則（ A ）
A. B. C. D.
解：由題意，知，得.所以，所以.故選.
（2） 已知梯形，其中，且，三個(gè)頂點(diǎn)，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 .
解：因?yàn)樵谔菪?中，，，所以.設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為，
則，
.
所以，即，所以 解得
故點(diǎn) 的坐標(biāo)為.故填.
【點(diǎn)撥】兩平面向量共線的充要條件有兩種形式.①若，，則的充要條件是.的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù) ，使.向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù).當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí)，也可以利用坐標(biāo)對應(yīng)成比例來求解.
變式3
（1） 已知向量，，則“”是“”的（ A ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
解：若，則，所以.
當(dāng)，即 時(shí)，滿足，而 無意義.
所以“”是“”的充分不必要條件.故選.
（2） 已知向量，，且，則（ B ）
A. 2B. C. 3D.
解：由題意，可得，
則.故選.
（3） （教材習(xí)題）已知，，點(diǎn)在線段的延長線上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 .
解：因?yàn)辄c(diǎn) 在線段 的延長線上，且，所以.
所以.
所以點(diǎn) 的坐標(biāo)為.故填.
課外閱讀·以數(shù)輔形在平面向量中的應(yīng)用
向量是溝通幾何和代數(shù)的橋梁，有垂直背景的試題中，直觀不易處理時(shí)，?？衫孟蛄康恼环纸饨忸}，體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合思想中的“以數(shù)輔形”.如條件中的圖形是矩形（正方形）、等腰（等邊）三角形、等腰（直角）梯形等時(shí)，因?yàn)榇藭r(shí)建系確定坐標(biāo)更為容易.與圓相關(guān)的問題則常建好系后利用圓的參數(shù)方程求解，其中圓心為，半徑為的圓的參數(shù)方程為,特別地,以原點(diǎn)為圓心的單位圓的參數(shù)方程為.但是要注意靈活應(yīng)用，不可把簡單問題復(fù)雜化.
1. 如圖，已知為邊長為2的正方形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為（ A ）
A. B. C. D.
解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè),則,,,.所以,，故.
所以當(dāng)時(shí)，最小，且最小值為.故選.
2. [2022年北京卷]在中，,, .為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是 （ D ）
A. B. C. D.
解：依題意，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，.
因?yàn)椋?在以 為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).設(shè)，，則，.所以，其中，.
因?yàn)?，所以，?故選.

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