備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)（人教A版-理）第五章 §5.2 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

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3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件．
知識(shí)梳理
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
我們把不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．
2．平面向量的正交分解
把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
3．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
(1)向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及向量的模
設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).
(2)向量坐標(biāo)的求法
①一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)．
②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2).
4．平面向量共線的坐標(biāo)表示
設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.
常用結(jié)論
已知P為線段AB的中點(diǎn)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))；已知△ABC的頂點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).
思考辨析
判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)平面內(nèi)的任意兩個(gè)向量都可以作為一組基底．( × )
(2)設(shè){a，b}是平面內(nèi)的一組基底，若λ1a＋λ2b＝0，則λ1＝λ2＝0.( √ )
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可以表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2).( × )
(4)平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換之后其坐標(biāo)不變．( √ )
教材改編題
1．下列各組向量中，可以作為基底的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)
B．e1＝(2，－3)，e2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(3,4)))
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
答案 D
解析 由于選項(xiàng)A，B，C中的向量e1，e2都共線，故不能作為基底．而選項(xiàng)D中的向量e1，e2不共線，故可作為基底．
2．若P1(1,3)，P2(4,0)，且P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)P1)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )
A．(2,2) B．(3，－1)
C．(2,2)或(3，－1) D．(2,2)或(3,1)
答案 A
解析 設(shè)P(x，y)，由題意知eq \(P1P,\s\up6(—→))＝eq \f(1,3)eq \(P1P2,\s\up6(—→))，
∴(x－1，y－3)＝eq \f(1,3)(4－1,0－3)＝(1，－1)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＝1，,y－3＝－1，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝2.))
3．若a＝(6,6)，b＝(5,7)，c＝(2,4)，則下列結(jié)論成立的是( )
A．a(chǎn)－c與b共線 B．b＋c與a共線
C．a(chǎn)與b－c共線 D．a(chǎn)＋b與c共線
答案 C
解析 a－c＝(4,2)，因?yàn)?×7－5×2＝18≠0，所以a－c與b不共線；
b＋c＝(7,11)，因?yàn)?×6－6×11＝－24≠0，所以b＋c與a不共線；
b－c＝(3,3)，因?yàn)?×6－6×3＝0，所以a與b－c共線；
a＋b＝(11,13)，因?yàn)?1×4－2×13＝18≠0，所以a＋b與c不共線.
題型一 平面向量基本定理的應(yīng)用
例1 (1)如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，且eq \(AE,\s\up6(→))＝2eq \(EO,\s\up6(→))，則eq \(ED,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→)) B.eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))
C.eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→)) D.eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))
答案 C
解析 因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，且eq \(AE,\s\up6(→))＝2eq \(EO,\s\up6(→))，
所以eq \(EA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
所以eq \(ED,\s\up6(→))＝eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→)).
(2)(2022·昆明模擬)如圖，在△ABM中，eq \(BM,\s\up6(→))＝3eq \(CM,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(2,7)eq \(AM,\s\up6(→))，若eq \(AN,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，則λ＋μ等于( )
A．－eq \f(1,7) B.eq \f(1,7) C．－eq \f(2,7) D.eq \f(2,7)
答案 D
解析 eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(2,7)eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(2,7)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→)))＝eq \f(2,7)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,7)eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \f(2,7)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,7)×eq \f(3,2)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(2,7)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,7)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝－eq \f(1,7)eq \(AB,\s\up6(→))＋
eq \f(3,7)eq \(AC,\s\up6(→))，
所以λ＝－eq \f(1,7)，μ＝eq \f(3,7)，λ＋μ＝－eq \f(1,7)＋eq \f(3,7)＝eq \f(2,7).
思維升華 (1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．
(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決．
跟蹤訓(xùn)練1 (1)下列命題中正確的個(gè)數(shù)是( )
①若p＝xa＋yb，則p與a，b共面；
②若p與a，b共面，則存在實(shí)數(shù)x，y使得p＝xa＋yb；
③若eq \(MP,\s\up6(→))＝xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))，則P，M，A，B共面；
④若P，M，A，B共面，則存在實(shí)數(shù)x，y使得eq \(MP,\s\up6(→))＝xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→)).
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 對(duì)于②，若a，b共線，p與a，b不共線，則不存在實(shí)數(shù)x，y使得p＝xa＋yb，故②錯(cuò)誤；對(duì)于④，若M，A，B共線，P在直線AB外，則不存在實(shí)數(shù)x，y使得eq \(MP,\s\up6(→))＝xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))，故④錯(cuò)誤；由平面向量基本定理知①③正確．
(2)如圖，已知平面內(nèi)有三個(gè)向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，其中eq \(OA,\s\up6(→))與eq \(OB,\s\up6(→))的夾角為120°，eq \(OA,\s\up6(→))與eq \(OC,\s\up6(→))的夾角為30°，且|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3).若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝________.
答案 6
解析 方法一 如圖，作平行四邊形OB1CA1，
則eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OB1,\s\up6(—→))＋eq \(OA1,\s\up6(—→))，
因?yàn)閑q \(OA,\s\up6(→))與eq \(OB,\s\up6(→))的夾角為120°，eq \(OA,\s\up6(→))與eq \(OC,\s\up6(→))的夾角為30°，
所以∠B1OC＝90°.
在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3)，
所以|eq \(OB1,\s\up6(—→))|＝2，|eq \(B1C,\s\up6(—→))|＝4，
所以|eq \(OA1,\s\up6(—→))|＝|eq \(B1C,\s\up6(—→))|＝4，
所以eq \(OC,\s\up6(→))＝4eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))，
所以λ＝4，μ＝2，
所以λ＋μ＝6.
方法二 以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則A(1,0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，
C(3，eq \r(3))．
由eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＝λ－\f(1,2)μ，,\r(3)＝\f(\r(3),2)μ，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝4，,μ＝2.))
所以λ＋μ＝6.
題型二 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
例2 (1)已知eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，－1)，C(0,1)，若eq \(CD,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為( )
A．(－2,3) B．(2，－3)
C．(－2,1) D．(2，－1)
答案 D
解析 設(shè)D(x，y)，則eq \(CD,\s\up6(→))＝(x，y－1)，
2eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，－2)，
根據(jù)eq \(CD,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))，得(x，y－1)＝(2，－2)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y－1＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－1，))
所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，－1)．
(2)如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E為AD的中點(diǎn)，若eq \(CA,\s\up6(→))＝λeq \(CE,\s\up6(→))＋μeq \(DB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為( )
A.eq \f(6,5) B.eq \f(8,5)
C．2 D.eq \f(8,3)
答案 B
解析 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則D(0,0)．
不妨設(shè)AB＝1，則CD＝AD＝2，
∴C(2,0)，A(0,2)，B(1,2)，E(0,1)，
∴eq \(CA,\s\up6(→))＝(－2,2)，eq \(CE,\s\up6(→))＝(－2,1)，eq \(DB,\s\up6(→))＝(1,2)，
∵eq \(CA,\s\up6(→))＝λeq \(CE,\s\up6(→))＋μeq \(DB,\s\up6(→))，
∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2λ＋μ＝－2，,λ＋2μ＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(6,5)，,μ＝\f(2,5)，))
故λ＋μ＝eq \f(8,5).
思維升華 (1)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，主要是利用加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則，然后根據(jù)“兩個(gè)向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等”這一原則，化歸為方程(組)進(jìn)行求解．
(2)向量的坐標(biāo)表示使向量運(yùn)算代數(shù)化，成為數(shù)與形結(jié)合的載體，可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運(yùn)算．
跟蹤訓(xùn)練2 (1)已知M(－2,7)，N(10，－2)，點(diǎn)P是線段MN上的點(diǎn)，且eq \(PN,\s\up6(→))＝－2eq \(PM,\s\up6(→))，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為( )
A．(2,4) B．(－14,16)
C．(6,1) D．(22，－11)
答案 A
解析 設(shè)P(x，y)，則eq \(PN,\s\up6(→))＝(10－x，－2－y)，
eq \(PM,\s\up6(→))＝(－2－x,7－y)，
由eq \(PN,\s\up6(→))＝－2eq \(PM,\s\up6(→))?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10－x＝－2?－2－x?，,－2－y＝－2?7－y?))?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4.))
(2)已知向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，用基底eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a，b))表示c，則( )
A．c＝2a－3b B．c＝－2a－3b
C．c＝－3a＋2b D．c＝3a－2b
答案 D
解析 如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長為1，
則A(1,0)，B(2,1)，C(0,4)，D(7,1)，
所以a＝(1,1)，b＝(－2,3)，c＝(7，－3)，
設(shè)向量c＝ma＋nb，
則c＝ma＋nb＝(m－2n，m＋3n)＝(7，－3)，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－2n＝7，,m＋3n＝－3))?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝3，,n＝－2，))
所以c＝3a－2b.
題型三 向量共線的坐標(biāo)表示
命題點(diǎn)1 利用向量共線求參數(shù)
例3 (2023·臨汾模擬)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若a∥c，則k等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 B
解析 因?yàn)閏＝a＋kb＝(3,1)＋(k，k)＝(k＋3，k＋1)，而a∥c，所以3×(k＋1)－1×(k＋3)＝0，解得k＝0.
命題點(diǎn)2 利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)
例4 設(shè)點(diǎn)A(2,0)，B(4,2)，若點(diǎn)P在直線AB上，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2|eq \(AP,\s\up6(→))|，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )
A．(3,1) B．(1，－1)
C．(3,1)或(1，－1) D．(3,1)或(1,1)
答案 C
解析 ∵A(2,0)，B(4,2)，∴eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,2)，∵點(diǎn)P在直線AB上，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2|eq \(AP,\s\up6(→))|，∴eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(AP,\s\up6(→))或eq \(AB,\s\up6(→))＝－2eq \(AP,\s\up6(→))，故eq \(AP,\s\up6(→))＝(1,1)或eq \(AP,\s\up6(→))＝(－1，－1)，故P點(diǎn)坐標(biāo)為(3,1)或(1，－1)．
思維升華 平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的解題策略
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1.
(2)在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)．
跟蹤訓(xùn)練3 (1)已知向量a＝(－3,2)，b＝(4，－2λ)，若(a＋2b)∥(a－b)，則實(shí)數(shù)λ的值為( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(4,3) C.eq \f(7,4) D.eq \f(7,5)
答案 B
解析 由已知得a＋2b＝(5,2－4λ)，a－b＝(－7,2＋2λ)，
∵(a＋2b)∥(a－b)，
∴5×(2＋2λ)－(－7)×(2－4λ)＝0，解得λ＝eq \f(4,3).
(2)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，C＝eq \f(π,3)，若m＝(c－eq \r(6)，a－b)，n＝(a－b，c＋eq \r(6))，且m∥n，則△ABC的面積為( )
A．3 B.eq \f(9\r(3),2) C.eq \f(3\r(3),2) D．3eq \r(3)
答案 C
解析 ∵m＝(c－eq \r(6)，a－b)，n＝(a－b，c＋eq \r(6))，
且m∥n，
∴(a－b)2＝(c－eq \r(6))(c＋eq \r(6))，化為a2＋b2－c2＝2ab－6.
∴cs eq \f(π,3)＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(2ab－6,2ab)＝eq \f(1,2)，解得ab＝6.
∴S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×6×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),2).
課時(shí)精練
1．如果e1，e2是平面內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是( )
A．e1與e1＋e2
B．e1－2e2與e1＋2e2
C．e1＋e2與e1－e2
D．e1－2e2與－e1＋2e2
答案 D
解析 對(duì)A項(xiàng)，設(shè)e1＋e2＝λe1，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝1，,1＝0，))無解，故e1與e1＋e2不共線，可以作為平面內(nèi)所有向量的一組基底；
對(duì)B項(xiàng)，設(shè)e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝1，,－2＝2λ，))無解，故e1－2e2與e1＋2e2不共線，可以作為平面內(nèi)所有向量的一組基底；
對(duì)C項(xiàng)，設(shè)e1＋e2＝λ(e1－e2)，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝1，,1＝－λ，))無解，故e1＋e2與e1－e2不共線，可以作為平面內(nèi)所有向量的一組基底；
對(duì)D項(xiàng)，e1－2e2＝－(－e1＋2e2)，所以e1－2e2與－e1＋2e2為共線向量，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底．
2．(2022·全國乙卷)已知向量a＝(2,1)，b＝(－2,4)，則|a－b|等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 D
解析 由題意知a－b＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)，所以|a－b|＝eq \r(42＋?－3?2)＝5，故選D.
3．已知點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0，則( )
A.eq \(PA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))
B.eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))
C.eq \(PA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))
D.eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))
答案 D
解析 由題意得，eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0，所以eq \(PA,\s\up6(→))＋(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AP,\s\up6(→)))＋(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AP,\s\up6(→)))＝0，
∴eq \(PA,\s\up6(→))＋(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AP,\s\up6(→)))＋(eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(AP,\s\up6(→)))＝0，
∴3eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))－2eq \(BA,\s\up6(→))＝0，
∴3eq \(PA,\s\up6(→))＝2eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))，
∴eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→)).
4．(2023·南京模擬)設(shè)平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，則|3a＋b|等于( )
A.eq \r(5) B.eq \r(6) C.eq \r(17) D.eq \r(26)
答案 A
解析 由于a∥b，所以1×y＝2×(－2)，解得y＝－4，
所以b＝(－2，－4)，
3a＋b＝(3,6)＋(－2，－4)＝(1,2)，|3a＋b|＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5).
5.(2022·忻州模擬)如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D是半圓弧上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，則eq \(BD,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,2)a－b B．a(chǎn)－eq \f(1,2)b
C．－eq \f(1,2)a＋b D．－a＋eq \f(1,2)b
答案 C
解析 畫出圖象如圖所示，
由于C，D是半圓弧上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，
所以△AOC，△COD，△DOB是等邊三角形，
所以O(shè)A＝OB＝OC＝OD＝AC＝CD＝BD，
所以四邊形OACD和四邊形OBDC是菱形，
所以eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a＋b.
6．若k1a＋k2b＝0，則k1＝k2＝0，那么下列對(duì)a，b的判斷正確的是( )
A．a(chǎn)與b一定共線
B．a(chǎn)與b一定不共線
C．a(chǎn)與b一定垂直
D．a(chǎn)與b中至少有一個(gè)為0
答案 B
解析 由平面向量基本定理知，當(dāng)a，b不共線時(shí)，若k1a＋k2b＝0，則k1＝k2＝0，
當(dāng)a與b共線時(shí)，k1＝k2＝0只是其中一組解，此時(shí)解不唯一，所以A錯(cuò)誤，B正確；
而當(dāng)a，b不共線時(shí)，不一定有a與b垂直，所以C錯(cuò)誤；
當(dāng)a與b中至少有一個(gè)為0時(shí)，k1，k2中至少有一個(gè)可以不為零，所以D錯(cuò)誤．
7.如圖，在正方形ABCD中，P，Q分別是邊BC，CD的中點(diǎn)，eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AC,\s\up6(→))＋yeq \(BQ,\s\up6(→))，則x等于( )
A.eq \f(11,13) B.eq \f(6,5)
C.eq \f(5,6) D.eq \f(3,2)
答案 C
解析 分別以AB ，AD為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，不妨設(shè)正方形ABCD邊長為2，則A(0,0)，B(2,0)，P(2,1)，Q(1,2)，C(2,2)，
則eq \(AP,\s\up6(→))＝(2,1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(2,2)，eq \(BQ,\s\up6(→))＝(－1,2)，又eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AC,\s\up6(→))＋yeq \(BQ,\s\up6(→))，則有2＝2x－y 且 1＝2x＋2y，解得x＝eq \f(5,6).
8．已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)，若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m不可能是( )
A．－2 B.eq \f(1,2) C．1 D．－1
答案 C
解析 若A，B，C三點(diǎn)不共線即可構(gòu)成三角形．因?yàn)閑q \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假設(shè)A，B，C三點(diǎn)共線，則1×(m＋1)－2m＝0，解得m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三點(diǎn)就可構(gòu)成三角形．
9．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2,0)，若向量ma＋b與2a－nb共線，則mn＝________.
答案 －2
解析 因?yàn)閍＝(1，－1)，b＝(2,0)，1×0－(－1)×2≠0，
所以a與b不共線，則a與b可以作為平面內(nèi)的一個(gè)基底，
因?yàn)閙a＋b與2a－nb共線，又ma＋b＝(m＋2，－m)，2a－nb＝(2－2n，－2)，
所以(m＋2)×(－2)＝－m(2－2n)，即mn＝－2.
10．若在△ABC中，AB＝eq \r(2)，∠ABC＝eq \f(π,4)，BC＝3，AD為BC邊上的高，O為AD上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，且eq \(AO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，則λ－2μ＝________.
答案 0
解析 由題意可知，在Rt△ABD中，AB＝eq \r(2)，∠ABC＝eq \f(π,4)，
所以BD＝1，所以BD＝eq \f(1,3)BC，
所以eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(BC,\s\up6(→))))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,9)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(2,9)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,9)eq \(AC,\s\up6(→))，
又因?yàn)閑q \(AO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，
所以λ＝eq \f(2,9)，μ＝eq \f(1,9)，所以λ－2μ＝eq \f(2,9)－eq \f(2,9)＝0.
11．在平行四邊形ABCD中，M，N分別是AD，CD的中點(diǎn)，eq \(BM,\s\up6(→))＝a，eq \(BN,\s\up6(→))＝b，則eq \(BD,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(3,4)a＋eq \f(2,3)b B.eq \f(2,3)a＋eq \f(2,3)b
C.eq \f(2,3)a＋eq \f(3,4)b D.eq \f(3,4)a＋eq \f(3,4)b
答案 B
解析 如圖所示，設(shè)eq \(AB,\s\up6(→))＝m，eq \(AD,\s\up6(→))＝n，eq \(BD,\s\up6(→))＝xa＋yb，
則eq \(BD,\s\up6(→))＝xa＋yb
＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)n－m))＋yeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(1,2)m))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋y))n－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)y))m，
又因?yàn)閑q \(BD,\s\up6(→))＝n－m，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋y＝1，,x＋\f(1,2)y＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2,3)，,y＝\f(2,3)，))
所以eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(2,3)b.
12．(2022·大理模擬)在△ABC中，D是直線AB上的點(diǎn)．若2eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋λeq \(CA,\s\up6(→))，記△ABC的面積為S1，△ACD的面積為S2，則eq \f(S1,S2)等于( )
A.eq \f(λ,6) B.eq \f(λ,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
答案 D
解析 如圖所示，
設(shè)eq \(BD,\s\up6(→))＝μeq \(BA,\s\up6(→))＝μ(eq \(CA,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→)))＝－μeq \(CB,\s\up6(→))＋μeq \(CA,\s\up6(→))，
由已知得eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \f(λ,2)eq \(CA,\s\up6(→))，
∴μ＝－eq \f(1,2)，eq \f(λ,2)＝μ＝－eq \f(1,2)，eq \(BD,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))，
∴點(diǎn)D在AB的延長線上，且AD＝eq \f(3,2)AB，
∴eq \f(S1,S2)＝eq \f(AB,AD)＝eq \f(2,3).
13．已知0