§11.4　回歸分析考試要求　1.會作兩個相關變量的數(shù)據(jù)的散點圖，會利用散點圖認識變量間的相關關系.2.了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程.3.了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應用．知識梳理相關關系與回歸方程(1)相關關系的分類①正相關在散點圖中，點散布在從________到________的區(qū)域，兩個變量的這種相關關系稱為正相關．②負相關在散點圖中，點散布在從________到________的區(qū)域，兩個變量的這種相關關系稱為負相關．(2)線性相關關系如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做________________．(3)回歸方程①最小二乘法求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的________________________________的方法叫做最小二乘法．②回歸方程方程＝x＋是兩個具有線性相關關系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回歸方程，其中，是待定參數(shù)．(4)回歸分析①定義：對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法．②樣本點的中心對于一組具有線性相關關系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中________________稱為樣本點的中心．③相關系數(shù)當r>0時，表明兩個變量________________；當r<0時，表明兩個變量________________．r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關性________．r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關關系．通常|r|大于________時，認為兩個變量有很強的線性相關性．常用結論1．回歸直線過樣本點的中心(，)．2．求時，常用公式＝.3．回歸分析是基于樣本觀測數(shù)據(jù)進行估計或推斷的，得出的結論可能犯錯誤．思考辨析判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)相關關系是一種非確定性關系．(　　)(2)散點圖是判斷兩個變量相關關系的一種重要方法和手段．(　　)(3)回歸直線＝x＋至少經(jīng)過點(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一個點．(　　)(4)相關系數(shù)的絕對值越接近1，兩個變量的線性相關程度越強．(　　)教材改編題1．在對兩個變量x，y進行回歸分析時有下列步驟：①對所求出的回歸方程作出解釋；②收集數(shù)據(jù)(xi，yi)，i＝1,2，…，n；③求回歸方程；④根據(jù)所收集的數(shù)據(jù)繪制散點圖．則下列操作順序正確的是(　　)A．①②④③   B．③②④①C．②③①④   D．②④③①2．對于x，y兩個變量，有四組樣本數(shù)據(jù)，分別算出它們的相關系數(shù)r如下，則線性相關性最強的是(　　)A．－0.82   B．0.78C．－0.69   D．0.873．某單位為了了解辦公樓用電量y(度)與氣溫x(℃)之間的關系，隨機統(tǒng)計了四個工作日的用電量與當天平均氣溫，并制作了對照表：氣溫(℃)181310－1用電量(度)24343864 由表中數(shù)據(jù)得到線性回歸方程＝－2x＋，當氣溫為－4 ℃時，預測用電量約為(　　)A．68度   B．52度C．12度   D．28度 題型一　數(shù)據(jù)的相關性例1 (1)(2023·保定模擬)已知兩個變量x和y之間有線性相關關系，經(jīng)調(diào)查得到如下樣本數(shù)據(jù)：x34567y3.52.41.1－0.2－1.3 根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求得線性回歸方程為＝x＋，則下列說法中正確的是(　　)A.>0，>0   B.>0，<0C.<0，>0   D.<0，<0聽課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2022·大同模擬)如圖是相關變量x，y的散點圖，現(xiàn)對這兩個變量進行線性相關分析，方案一：根據(jù)圖中所有數(shù)據(jù)，得到線性回歸方程＝1x＋1，相關系數(shù)為r1；方案二：剔除點(10,21)，根據(jù)剩下的數(shù)據(jù)得到線性回歸方程＝2x＋2，相關系數(shù)為r2.則(　　)A．0<r1<r2<1   B．0<r2<r1<1C．－1<r1<r2<0   D．－1<r2<r1<0聽課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 判定兩個變量相關性的方法(1)畫散點圖：若點的分布從左下角到右上角，則兩個變量正相關；若點的分布從左上角到右下角，則兩個變量負相關．(2)相關系數(shù)：當r>0時，正相關；當r<0時，負相關；|r|越接近1，線性相關性越強．(3)線性回歸方程：當>0時，正相關；當<0時，負相關．跟蹤訓練1 (1)某公司2017～2022年的年利潤x(單位：百萬元)與年廣告支出y(單位：百萬元)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示：年份201720182019202020212022年利潤x12.214.6161820.422.3年廣告支出y0.620.740.810.8911.11 根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，則利潤中位數(shù)(　　)A．是16，x與y有正相關關系B．是17，x與y有正相關關系C．是17，x與y有負相關關系D．是18，x與y有負相關關系(2)已知相關變量x和y的散點圖如圖所示，若用y＝b1·ln(k1x)與y＝k2x＋b2擬合時的相關系數(shù)分別為r1，r2，則比較r1，r2的大小結果為(　　)A．r1>r2   B．r1＝r2C．r1<r2   D．不確定題型二　回歸分析命題點1　線性回歸模型例2 (2023·蚌埠模擬)某商業(yè)銀行對存款利率與日存款總量的關系進行調(diào)研，發(fā)現(xiàn)存款利率每上升一定的百分點，日均存款總額就會發(fā)生一定的變化，經(jīng)過統(tǒng)計得到下表：利率上升百分點x0.10.20.30.40.5日均存款總額y(億元)0.20.350.50.650.8 (1)在給出的坐標系中畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；(2)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程＝x＋；(3)已知現(xiàn)行利率下的日均存款總額為0.625億元，試根據(jù)(2)中的線性回歸方程，預測日均存款總額為現(xiàn)行利率下的2倍時，利率需上升多少個百分點？參考公式及數(shù)據(jù)：①＝，＝－，②iyi＝0.9，＝0.55.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 命題點2　非線性回歸模型例3 (2023·保山模擬)某縣為了解鄉(xiāng)村經(jīng)濟發(fā)展情況，對全縣鄉(xiāng)村經(jīng)濟發(fā)展情況進行調(diào)研，現(xiàn)對2013年以來的鄉(xiāng)村經(jīng)濟收入y(單位：億元)進行了統(tǒng)計分析，制成如圖所示的散點圖，其中年份代碼x的值1—10分別對應2013年至2022年．(1)若用模型①y＝a＋bx，②y＝a＋b擬合y與x的關系，其相關系數(shù)分別為r1＝0.851 9，r2＝0.990 1，試判斷哪個模型的相關程度更強？(2)根據(jù)(1)中相關程度更強的模型，求y關于x的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，并估計該縣2026年的鄉(xiāng)村經(jīng)濟收入(精確到0.01)．參考數(shù)據(jù)：ti＝，＝i，≈3.606，≈3.742，≈3.873.(xi－)2(ti－)2(xi－)·(yi－)(ti－)·(yi－)72.652.25126.254.52235.4849.16 參考公式：對于一組數(shù)據(jù)(t1，y1)，(t2，y2)，…，(tn，yn)，線性回歸方程＝t＋中的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為＝，＝－.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 求線性回歸方程的步驟跟蹤訓練2 (2022·南充模擬)某特色餐館開通了某APP的外賣服務，在一周內(nèi)的某特色菜外賣份數(shù)x(單位：份)與收入y(單位：元)之間有如下的對應數(shù)據(jù)：外賣份數(shù)x(份)24568收入y(元)3040605070 (1)在給出的坐標系中畫出數(shù)據(jù)散點圖；(2)請根據(jù)以上數(shù)據(jù)用最小二乘法求出收入y關于外賣份數(shù)x的線性回歸方程；(3)據(jù)此估計外賣份數(shù)為12時，收入為多少元．參考數(shù)據(jù)與公式：＝145，iyi＝1 380，＝＝，＝－.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型三　殘差分析例4 (1)下列說法中正確的是(　　)①在線性回歸方程＝－0.85x＋2.3中，當解釋變量x每增加1個單位時，預報變量平均減少2.3個單位；②在線性回歸方程＝－0.85x＋2.3中，相對于樣本點(1,1.2)的殘差為－0.25；③在殘差圖中，殘差分布的水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，其模型的擬合效果越好；④若兩個變量的相關指數(shù)R2越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好．A．①③   B．①②④C．①④   D．②③④聽課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)新能源汽車的核心部件是動力電池，電池占了新能源整車成本的很大一部分，而其中的原材料碳酸鋰又是電池的主要成分．從2020年底開始，碳酸鋰的價格不斷升高，如表是2022年某企業(yè)的前5個月碳酸鋰的價格與月份的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：月份代碼x12345碳酸鋰價格y(萬元/kg)0.50.61m1.5 根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出y關于x的線性回歸方程為＝0.28x＋，根據(jù)數(shù)據(jù)計算出在樣本點(5,1.5)處的殘差為－0.06，則m＝________.聽課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 檢驗回歸模型的擬合效果的兩種方法(1)殘差分析：通過殘差分析發(fā)現(xiàn)原始數(shù)據(jù)中的可疑數(shù)據(jù)，判斷所建立模型的擬合效果．(2)R2分析：通過公式計算R2，R2越大，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好；R2越小，殘差平方和越大，模型的擬合效果越差．跟蹤訓練3 (1)下列命題是真命題的為(　　)A．回歸直線＝x＋一定不過樣本點B．可以用相關系數(shù)r來刻畫兩個變量x和y線性相關程度的強弱，r的值越小，說明兩個變量的線性相關程度越弱C．在回歸分析中，相關指數(shù)R2＝0.80的模型比相關指數(shù)R2＝0.98的模型擬合的效果要好D．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好(2)兩個線性相關變量x與y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：x99.51010.511y1110865 其線性回歸方程是＝x＋40，則相應于點(9,11)的殘差為________．

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