常見考點(diǎn)
考點(diǎn)一 線性回歸
典例1．某電腦公司有6名產(chǎn)品推銷員，其工作年限與年推銷金額數(shù)據(jù)如下表：
（1）求年推銷金額y關(guān)于工作年限x的線性回歸方程；
（2）若第6名推銷員的工作年限為11年，試估計(jì)他的年推銷金額．
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為．
變式1-1．某科技公司研發(fā)了一項(xiàng)新產(chǎn)品，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研，對(duì)公司1月份至6月份銷售量及銷售單價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，銷售單價(jià)（千元）和銷售量（千件）之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：
（1）試根據(jù)1至5月份的數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸直線方程；
（2）若由回歸直線方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與剩下的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差不超過千件，則認(rèn)為所得到的回歸直線方程是理想的，試問（1）中所得到的回歸直線方程是否理想？
參考公式：回歸直線方程，其中.
參考數(shù)據(jù)：，.
變式1-2．如圖是某地2014年至2020年生活垃圾無害化處理量（單位：萬噸）的折線圖.
注：年份代碼1～7分別對(duì)應(yīng)年份2014～2020.
(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以證明；
(2)建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預(yù)測(cè)2022年某地生活垃圾無害化處理量.
附注：
參考數(shù)據(jù)：，，，.
參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為，.
變式1-3．現(xiàn)代物流成為繼勞動(dòng)力、自然資源外影響企業(yè)生產(chǎn)成本及利潤的重要因素.某企業(yè)去年前八個(gè)月的物流成本(單位：萬元)和企業(yè)利潤的數(shù)據(jù)(單位：萬元)如下表所示：
根據(jù)最小二乘法公式求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.
(1)求m的值，并利用已知的經(jīng)驗(yàn)回歸方程求出8月份對(duì)應(yīng)的殘差值；
(2)請(qǐng)先求出線性回歸模型的決定系數(shù)(精確到0.0001)，若根據(jù)非線性模型求得解釋變量(物流成本)對(duì)于響應(yīng)變量(利潤)的決定系數(shù)，請(qǐng)說明以上兩種模型哪種模型擬合效果更好.
參考公式及數(shù)據(jù)：，，.
考點(diǎn)二 非線性回歸
典例2．新冠肺炎疫情發(fā)生以來，我國某科研機(jī)構(gòu)開展應(yīng)急科研攻關(guān)，研制了一種新型冠狀病毒疫苗，并已進(jìn)入二期臨床試驗(yàn).根據(jù)普遍規(guī)律，志愿者接種疫苗后體內(nèi)會(huì)產(chǎn)生抗體，人體中檢測(cè)到抗體，說明有抵御病毒的能力.通過檢測(cè)，用表示注射疫苗后的天數(shù)，表示人體中抗體含量水平（單位：，即：百萬國際單位/毫升），現(xiàn)測(cè)得某志愿者的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點(diǎn)圖.
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與（a，b，c，d均為大于0的實(shí)數(shù)）哪一個(gè)更適宜作為描述y與x關(guān)系的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果求出y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值；
(3)從這位志愿者的前6天的檢測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取4天的數(shù)據(jù)作進(jìn)一步的分析，求其中的y值大于50的天數(shù)為1的概率.
參考數(shù)據(jù)：其中.
參考公式：用最小二乘法求經(jīng)過點(diǎn)，，，，的線性回歸方程的系數(shù)公式，；.
變式2-1．區(qū)塊鏈技術(shù)被認(rèn)為是繼蒸汽機(jī)、電力、互聯(lián)網(wǎng)之后，下一代顛覆性的核心技術(shù)區(qū)塊鏈作為構(gòu)造信任的機(jī)器，將可能徹底改變整個(gè)人類社會(huì)價(jià)值傳遞的方式，2015年至2019年五年期間，中國的區(qū)塊鏈企業(yè)數(shù)量逐年增長，居世界前列現(xiàn)收集我國近5年區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量相關(guān)數(shù)據(jù)，如表
注：參考數(shù)據(jù)，，，（其中）.
附：樣本的最小二乘法估計(jì)公式為，
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷，與（其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），哪一個(gè)回歸方程類型適宜預(yù)測(cè)未來幾年我國區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量？（給出結(jié)果即可，不必說明理由）
(2)根據(jù)（1）的結(jié)果，求y關(guān)于x的回歸方程；
(3)為了促進(jìn)公司間的合作與發(fā)展，區(qū)塊鏈聯(lián)合總部決定進(jìn)行一次信息化技術(shù)比賽，邀請(qǐng)甲、乙、丙三家區(qū)塊鏈公司參賽比賽規(guī)則如下：①每場(chǎng)比賽有兩個(gè)公司參加，并決出勝負(fù)；②每場(chǎng)比賽獲勝的公司與未參加此場(chǎng)比賽的公司進(jìn)行下一場(chǎng)的比賽；③在比賽中，若有一個(gè)公司首先獲勝兩場(chǎng)，則本次比賽結(jié)束，該公司就獲得此次信息化比賽的“優(yōu)勝公司”，已知在每場(chǎng)比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為，若首場(chǎng)由甲乙比賽，則求甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率.
變式2-2．年月日，第四屆中國國際進(jìn)口博覽會(huì)在上海開幕，共計(jì)多家參展商參展，多項(xiàng)新產(chǎn)品，新技術(shù)，新服務(wù)在本屆進(jìn)博會(huì)上亮相．某投資公司現(xiàn)從中選出種新產(chǎn)品進(jìn)行投資．為給下一年度投資提供決策依據(jù)，需了解年研發(fā)經(jīng)費(fèi)對(duì)年銷售額的影響，該公司甲、乙兩部門分別從這種新產(chǎn)品中隨機(jī)地選取種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品被甲、乙兩部門是否選中相互獨(dú)立．
(1)求種新產(chǎn)品中產(chǎn)品被甲部門或乙部門選中的概率；
(2)甲部門對(duì)選取的種產(chǎn)品的年研發(fā)經(jīng)費(fèi)（單位：萬元）和年銷售額（單位：十萬元）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．根據(jù)散點(diǎn)圖現(xiàn)擬定關(guān)于的回歸方程為.求、的值（結(jié)果精確到）；
(3)甲、乙兩部門同時(shí)選中了新產(chǎn)品，現(xiàn)用擲骰子的方式確定投資金額．若每次擲骰子點(diǎn)數(shù)大于，則甲部門增加投資萬元，乙部門不增加投資；若點(diǎn)數(shù)小于，則乙部門增加投資萬元，甲部門不增加投資，求兩部門投資資金總和恰好為萬元的概率．
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)、、、，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，，，.
變式2-3．某企業(yè)新研發(fā)了一種產(chǎn)品，產(chǎn)品的成本由原料成本及非原料成本組成.每件產(chǎn)品的非原料成本（元）與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量（千件）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：
根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制了散點(diǎn)圖觀察散點(diǎn)圖，兩個(gè)變量間關(guān)系考慮用反比例函數(shù)模型和指數(shù)函數(shù)模型分別對(duì)兩個(gè)變量的關(guān)系進(jìn)行擬合.已求得用指數(shù)函數(shù)模型擬合的回歸方程為，與x的相關(guān)系數(shù).
(1)用反比例函數(shù)模型求y關(guān)于x的回歸方程；
(2)用相關(guān)系數(shù)判斷上述兩個(gè)模型哪一個(gè)擬合效果更好（精確到0.001），并用其估計(jì)產(chǎn)量為10千件時(shí)每件產(chǎn)品的非原料成本；
(3)根據(jù)企業(yè)長期研究表明，非原料成本y服從正態(tài)分布，用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值，若非原料成本y在之外，說明該成本異常，并稱落在之外的成本為異樣成本，此時(shí)需尋找出現(xiàn)異樣成本的原因.利用估計(jì)值判斷上述非原料成本數(shù)據(jù)是否需要尋找出現(xiàn)異樣成本的原因？
參考數(shù)據(jù)（其中）：
參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，，相關(guān)系數(shù).
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 線性回歸
1．為實(shí)施鄉(xiāng)村振興，科技興農(nóng)，某村建起了田園綜合體，并從省城請(qǐng)來專家進(jìn)行技術(shù)指導(dǎo)．根據(jù)統(tǒng)計(jì)，該田園綜合體西紅柿畝產(chǎn)量的增加量（千克）與某種液體肥料每畝使用量（千克）之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下.
（1）由上表數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)并加以說明（若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）；
（2）求關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測(cè)當(dāng)液體肥料每畝使用量為15千克時(shí)，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為多少千克?
附：相關(guān)系數(shù)公式，參考數(shù)據(jù)：．
回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．
2．下表是某公司從2014年至2020年某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)用的近似值（單位：千元）
以x為解釋變量，y為預(yù)報(bào)變量，若以為回歸方程，則相關(guān)指數(shù)；若以為回歸方程，則相關(guān)指數(shù)．
（1）判斷與，哪一個(gè)更適合作為該種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)用的近似值y關(guān)于年份代號(hào)x的回歸方程，并說明理由；
（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于年份代號(hào)x的回歸方程（系數(shù)精確到0.1）．
參考數(shù)據(jù)：．參考公式：．
3．某服裝企業(yè)采用服裝個(gè)性化設(shè)計(jì)為客戶提供服務(wù)，即由客戶提供身材的基本數(shù)據(jù)用于個(gè)人服裝設(shè)計(jì)．該企業(yè)為了設(shè)計(jì)所用的數(shù)據(jù)更精準(zhǔn)，隨機(jī)地抽取了10位男子的身高和臂長的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)如下表所示：
（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求男子的身高預(yù)報(bào)臂長的線性回歸方程，并預(yù)報(bào)身高為170cm的男子的臂長（男子臂長計(jì)算結(jié)果精確到0.01）；
（2）統(tǒng)計(jì)學(xué)認(rèn)為，兩個(gè)變量、的相關(guān)系數(shù)r的大小可表明兩變量間的相關(guān)性強(qiáng)弱．一般地，如果|r|[0.75，1]，那么相關(guān)性很強(qiáng)；如果|r|[0.30，0.75)，那么相關(guān)性一般；如果|r|[0，0.30)，那么沒有相關(guān)性．求出r的值，并判斷變量x?y的相關(guān)性強(qiáng)弱（結(jié)果精確到0.01）．
附：線性回歸方程其中，，，，，，，
4．某汽車公司擬對(duì)“東方紅”款高端汽車發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行科技改造，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，得到科技改造投入x（億元）與科技改造直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：
當(dāng)時(shí)，建立了y與x的兩個(gè)回歸模型：模型①：；模型②：；當(dāng)時(shí)，確定y與x滿足的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為：．
（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)時(shí)模型①、②的相關(guān)指數(shù)，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測(cè)對(duì)“東方紅”款汽車發(fā)動(dòng)機(jī)科技改造的投入為16億元時(shí)的直接收益．
（附：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)）
（2）為鼓勵(lì)科技創(chuàng)新，當(dāng)科技改造的投入不少于20億元時(shí)，國家給予公司補(bǔ)貼收益10億元，以回歸方程為預(yù)測(cè)依據(jù)，比較科技改造投入16億元與20億元時(shí)公司實(shí)際收益的大小．
（附：用最小二乘法求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的系數(shù)公式）
練習(xí)二 非線性回歸
5．如圖是某市2011年至2020年當(dāng)年在售二手房均價(jià)（單位：千元/平方米）的散點(diǎn)圖（圖中年份代碼1~10分別對(duì)應(yīng)2011年~2020年）.現(xiàn)根據(jù)散點(diǎn)圖選擇用和兩個(gè)模型對(duì)年份代碼和房價(jià)的關(guān)系進(jìn)行擬合，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理得到兩個(gè)模型對(duì)應(yīng)回歸方程的相關(guān)指數(shù)和一些統(tǒng)計(jì)量的值，如下表：
表中，.
(1)請(qǐng)利用相關(guān)指數(shù)判斷：哪個(gè)模型的擬合效果更好；并求出該模型對(duì)應(yīng)的回歸方程（參數(shù)估計(jì)值精確到0.01）；
(2)根據(jù)（1）得到的方程預(yù)計(jì)；到哪一年，該市的當(dāng)年在售二手房均價(jià)能超過10.5千元/平方米.
參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，.參考數(shù)據(jù)：，.
6．某投資公司2012年至2021年每年的投資金額（單位：萬元）與年利潤增量（單位：萬元）的散點(diǎn)圖如圖：該投資公司為了預(yù)測(cè)2022年投資金額為20萬元時(shí)的年利潤增量，建立了關(guān)于的兩個(gè)回歸模型；模型①：由最小二乘公式可求得與的線性回歸方程：；模型②：由圖中樣本點(diǎn)的分布，可以認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在由線：的附近，對(duì)投資金額做換元，令，則，且有，
(1)根據(jù)所給的統(tǒng)計(jì)量，求模型②中關(guān)于的回歸方程；
(2)分別利用這兩個(gè)回歸模型，預(yù)測(cè)投資金額為20萬元時(shí)的年利潤增量（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；
附：樣本的最小乘估計(jì)公式為；參考數(shù)據(jù)：.
7．近年來，由于耕地面積的緊張，化肥的施用量呈增加趨勢(shì)．一方面，化肥的施用對(duì)糧食增產(chǎn)增收起到了關(guān)鍵作用，另一方面，也成為環(huán)境污染、空氣污染、土壤污染的重要來源之一如何合理地施用化肥，使其最大程度地促進(jìn)糧食增產(chǎn)，減少對(duì)周圍環(huán)境的污染成為需要解決的重要問題研究糧食產(chǎn)量與化肥施用量的關(guān)系，成為解決上述問題的前提某研究團(tuán)隊(duì)收集了10組化肥施用量和糧食畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)并對(duì)這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值化肥施用量為（單位：公斤），糧食畝產(chǎn)量為（單位：百公斤）．
參考數(shù)據(jù)：
表中．
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與，哪一個(gè)適宜作為糧食畝產(chǎn)量關(guān)于化肥施用量的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；
(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；
(3)根據(jù)（2）的回歸方程，并預(yù)測(cè)化肥施用量為27公斤時(shí)，糧食畝產(chǎn)量的值；
附：①對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為；②?。?br>8．某保險(xiǎn)公司根據(jù)官方公布的歷年?duì)I業(yè)收入，制成表格如下：
表1
由表1，得到下面的散點(diǎn)圖：
根據(jù)已有的函數(shù)知識(shí)，某同學(xué)選用二次函數(shù)模型（b和a是待定參數(shù)）來擬合y和x的關(guān)系.這時(shí)，可以對(duì)年份序號(hào)做變換，即令，得，由表1可得變換后的數(shù)據(jù)見表2.
表2
（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到個(gè)位數(shù)）；
（2）根據(jù)（1）中得到的回歸方程估計(jì)2021年的營業(yè)收入，以及營業(yè)收入首次超過4000億元的年份.
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.
參考數(shù)據(jù)：
推銷員編號(hào)
1
2
3
4
5
工作年限x/年
3
5
6
7
9
推銷金額y/萬元
2
3
3
4
5
月份
1
2
3
4
5
6
銷售單價(jià)
銷售量
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
物流成本x
83
83.5
80
86.5
89
84.5
79
86.5
利潤y
114
116
106
122
132
114
m
132
殘差
0.2
0.6
1.8
－3
－1
－4.6
－1
天數(shù)
1
2
3
4
5
6
抗體含量水平
5
10
26
50
96
195
3.50
63.67
3.49
17.50
9.49
12.95
519.01
4023.87
年份
2015
2016
2017
2018
2019
編號(hào)x
1
2
3
4
5
企業(yè)總數(shù)量y（單位：千個(gè)）
2.156
3.727
8.305
24.279
36.224
x
1
2
3
4
5
6
7
8
y
56.5
31
22.75
17.8
15.95
14.5
13
12.5
0.34
0.115
1.53
184
5777.555
93.06
30.705
13.9
（千克）
2
4
5
6
8
（千克）
300
400
400
400
500
年份
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
年份代號(hào)x
1
2
3
4
5
6
7
該種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)用y
59.3
64.1
68.8
74.0
82.1
90.0
99.1
身高
164
165
168
172
173
176
178
181
182
191
臂長
160
164
161
170
175
181
170
182
180
187
x
2
3
4
6
8
10
13
21
22
23
24
25
y
12
22
31
42
50
56
58
68.5
68
67.5
66
68
回歸模型
模型①
模型②
回歸方程
182.4
79.2
模型
相關(guān)指數(shù)
0.8821
0.9046
6.81
1.89
82.5
44.55
6.6
650
91.5
52.5
1478.6
30.5
15
15
46.5
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
年份序號(hào)x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
營業(yè)收入y（億元）
0.52
9.36
33.6
132
352
571
912
1207
1682
2135
T
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
Y
0.52
9.36
33.6
132
352
571
912
1207
1682
2135
第四篇 概率與統(tǒng)計(jì)
專題07 回歸分析
常見考點(diǎn)
考點(diǎn)一 線性回歸
典例1．某電腦公司有6名產(chǎn)品推銷員，其工作年限與年推銷金額數(shù)據(jù)如下表：
（1）求年推銷金額y關(guān)于工作年限x的線性回歸方程；
（2）若第6名推銷員的工作年限為11年，試估計(jì)他的年推銷金額．
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為．
【答案】（1）；（2）5.9萬元．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)求出，，再利用公式可求出，，從而可求出推銷金額y關(guān)于工作年限x的線性回歸方程；
（2）將化入回歸方程中求解即可
【詳解】
解（1）設(shè)所求的線性回歸方程為，
，，
所以，
．
所以年推銷金額y關(guān)于工作年限x的線性回歸方程為．
（2）當(dāng)時(shí)，（萬元）．
所以可以估計(jì)第6名推銷員的年推銷金額為5.9萬元
變式1-1．某科技公司研發(fā)了一項(xiàng)新產(chǎn)品，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研，對(duì)公司1月份至6月份銷售量及銷售單價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，銷售單價(jià)（千元）和銷售量（千件）之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：
（1）試根據(jù)1至5月份的數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸直線方程；
（2）若由回歸直線方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與剩下的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差不超過千件，則認(rèn)為所得到的回歸直線方程是理想的，試問（1）中所得到的回歸直線方程是否理想？
參考公式：回歸直線方程，其中.
參考數(shù)據(jù)：，.
【答案】（1）；（2）是.
【解析】
【分析】
（1）先由表中的數(shù)據(jù)求出，再利用已知的數(shù)據(jù)和公式求出，從而可求出關(guān)于的回歸直線方程；
（2）當(dāng)時(shí)，求出的值，再與15比較即可得結(jié)論
【詳解】
（1）因?yàn)椋?br>所以，
得，
于是關(guān)于的回歸直線方程為；
（2）當(dāng)時(shí)，，
則，
故可以認(rèn)為所得到的回歸直線方程是理想的.
變式1-2．如圖是某地2014年至2020年生活垃圾無害化處理量（單位：萬噸）的折線圖.
注：年份代碼1～7分別對(duì)應(yīng)年份2014～2020.
(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以證明；
(2)建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預(yù)測(cè)2022年某地生活垃圾無害化處理量.
附注：
參考數(shù)據(jù)：，，，.
參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為，.
【答案】(1)存在較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系，理由見解析
(2)，1.82萬噸
【解析】
【分析】
（1）、結(jié)合參考數(shù)據(jù)及參考公式求出相關(guān)系數(shù)，進(jìn)而可以得出結(jié)論；
（2）、根據(jù)參考公式求出回歸直線方程，進(jìn)而可以根據(jù)回歸直線方程進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì).
(1)
由折線圖看出，與之間存在較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系，理由如下：
，，，，
.
，故與之間存在較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系.
(2)
由（1）結(jié)合題中數(shù)據(jù)可得，
，
關(guān)于的回歸方程，2022年對(duì)應(yīng)的值為9，故，
預(yù)測(cè)2022年該地生活垃圾無害化處理量為1.82萬噸.
變式1-3．現(xiàn)代物流成為繼勞動(dòng)力、自然資源外影響企業(yè)生產(chǎn)成本及利潤的重要因素.某企業(yè)去年前八個(gè)月的物流成本(單位：萬元)和企業(yè)利潤的數(shù)據(jù)(單位：萬元)如下表所示：
根據(jù)最小二乘法公式求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.
(1)求m的值，并利用已知的經(jīng)驗(yàn)回歸方程求出8月份對(duì)應(yīng)的殘差值；
(2)請(qǐng)先求出線性回歸模型的決定系數(shù)(精確到0.0001)，若根據(jù)非線性模型求得解釋變量(物流成本)對(duì)于響應(yīng)變量(利潤)的決定系數(shù)，請(qǐng)說明以上兩種模型哪種模型擬合效果更好.
參考公式及數(shù)據(jù)：，，.
【答案】(1)，；
(2)，擬合程度更好.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)線性回歸方程橫過定點(diǎn)()可求m，由求得；
（2）根據(jù)的計(jì)算公式計(jì)算的值，再與比較大小即可得解.
(1)
∵，，
∴.
則，解得；
8月份對(duì)應(yīng)的殘差值.
(2)
，
則，
∴線性回歸模型擬合程度更好.
考點(diǎn)二 非線性回歸
典例2．新冠肺炎疫情發(fā)生以來，我國某科研機(jī)構(gòu)開展應(yīng)急科研攻關(guān)，研制了一種新型冠狀病毒疫苗，并已進(jìn)入二期臨床試驗(yàn).根據(jù)普遍規(guī)律，志愿者接種疫苗后體內(nèi)會(huì)產(chǎn)生抗體，人體中檢測(cè)到抗體，說明有抵御病毒的能力.通過檢測(cè)，用表示注射疫苗后的天數(shù)，表示人體中抗體含量水平（單位：，即：百萬國際單位/毫升），現(xiàn)測(cè)得某志愿者的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點(diǎn)圖.
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與（a，b，c，d均為大于0的實(shí)數(shù)）哪一個(gè)更適宜作為描述y與x關(guān)系的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果求出y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值；
(3)從這位志愿者的前6天的檢測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取4天的數(shù)據(jù)作進(jìn)一步的分析，求其中的y值大于50的天數(shù)為1的概率.
參考數(shù)據(jù)：其中.
參考公式：用最小二乘法求經(jīng)過點(diǎn)，，，，的線性回歸方程的系數(shù)公式，；.
【答案】(1)更適合
(2)，4023.87miu/mL
(3)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)散點(diǎn)圖這些點(diǎn)的分布情況結(jié)合所學(xué)函數(shù)圖象特點(diǎn)即可求解；
（2）由（1）知該問題為變量之間的關(guān)系為非線性，先將非線性轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系，結(jié)合題目給出數(shù)據(jù)求出回歸直線的相關(guān)系數(shù)，進(jìn)而求出回歸直線方程，在代入換
為y關(guān)于x的回歸方程，將代入方程中即可求出預(yù)報(bào)值.
（3）根據(jù)古典概型的計(jì)算公式即可求解.
(1)
根據(jù)散點(diǎn)圖可知這些點(diǎn)分布在一條曲線的附近，所以更適合作為描述y與x關(guān)系的回歸方程類型.
(2)
設(shè)，變換后可得，設(shè)，建立關(guān)于x的回歸方程，
，所以
所以ω關(guān)于x的回歸方程為，所以，
當(dāng)時(shí)，，
即該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值約為4023.87miu/mL.
(3)
由表格數(shù)據(jù)可知，第5，6天的y值大于50，天數(shù)為1的概率
變式2-1．區(qū)塊鏈技術(shù)被認(rèn)為是繼蒸汽機(jī)、電力、互聯(lián)網(wǎng)之后，下一代顛覆性的核心技術(shù)區(qū)塊鏈作為構(gòu)造信任的機(jī)器，將可能徹底改變整個(gè)人類社會(huì)價(jià)值傳遞的方式，2015年至2019年五年期間，中國的區(qū)塊鏈企業(yè)數(shù)量逐年增長，居世界前列現(xiàn)收集我國近5年區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量相關(guān)數(shù)據(jù)，如表
注：參考數(shù)據(jù)，，，（其中）.
附：樣本的最小二乘法估計(jì)公式為，
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷，與（其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），哪一個(gè)回歸方程類型適宜預(yù)測(cè)未來幾年我國區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量？（給出結(jié)果即可，不必說明理由）
(2)根據(jù)（1）的結(jié)果，求y關(guān)于x的回歸方程；
(3)為了促進(jìn)公司間的合作與發(fā)展，區(qū)塊鏈聯(lián)合總部決定進(jìn)行一次信息化技術(shù)比賽，邀請(qǐng)甲、乙、丙三家區(qū)塊鏈公司參賽比賽規(guī)則如下：①每場(chǎng)比賽有兩個(gè)公司參加，并決出勝負(fù)；②每場(chǎng)比賽獲勝的公司與未參加此場(chǎng)比賽的公司進(jìn)行下一場(chǎng)的比賽；③在比賽中，若有一個(gè)公司首先獲勝兩場(chǎng)，則本次比賽結(jié)束，該公司就獲得此次信息化比賽的“優(yōu)勝公司”，已知在每場(chǎng)比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為，若首場(chǎng)由甲乙比賽，則求甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷y關(guān)于x的回歸方程為非線性方程；
（2）令，將y關(guān)于x的非線性關(guān)系，轉(zhuǎn)化為z關(guān)于x的線性關(guān)系，利用最小二乘法求解；
（3）利用相互獨(dú)立事件的概率相乘求求解；
(1)
根據(jù)表中數(shù)據(jù)適宜預(yù)測(cè)未來幾年我國區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量.
(2)
，，
令，則，
，
由公式計(jì)算可知
，即
，即
所以y關(guān)于x的回歸方程為
(3)
設(shè)甲公司獲得“優(yōu)勝公司”為事件.
則
所以甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率為.
變式2-2．年月日，第四屆中國國際進(jìn)口博覽會(huì)在上海開幕，共計(jì)多家參展商參展，多項(xiàng)新產(chǎn)品，新技術(shù)，新服務(wù)在本屆進(jìn)博會(huì)上亮相．某投資公司現(xiàn)從中選出種新產(chǎn)品進(jìn)行投資．為給下一年度投資提供決策依據(jù)，需了解年研發(fā)經(jīng)費(fèi)對(duì)年銷售額的影響，該公司甲、乙兩部門分別從這種新產(chǎn)品中隨機(jī)地選取種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品被甲、乙兩部門是否選中相互獨(dú)立．
(1)求種新產(chǎn)品中產(chǎn)品被甲部門或乙部門選中的概率；
(2)甲部門對(duì)選取的種產(chǎn)品的年研發(fā)經(jīng)費(fèi)（單位：萬元）和年銷售額（單位：十萬元）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．根據(jù)散點(diǎn)圖現(xiàn)擬定關(guān)于的回歸方程為.求、的值（結(jié)果精確到）；
(3)甲、乙兩部門同時(shí)選中了新產(chǎn)品，現(xiàn)用擲骰子的方式確定投資金額．若每次擲骰子點(diǎn)數(shù)大于，則甲部門增加投資萬元，乙部門不增加投資；若點(diǎn)數(shù)小于，則乙部門增加投資萬元，甲部門不增加投資，求兩部門投資資金總和恰好為萬元的概率．
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)、、、，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，，，.
【答案】(1)；
(2)，；
(3).
【解析】
【分析】
（1）利用組合計(jì)數(shù)原理、古典概型的概率公式以及對(duì)立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）令，計(jì)算出、的值，利用最小二乘法公式結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)可求得、的值；
（3）設(shè)投資資金總和恰好為萬元的概率為，則投資資金總和恰好為萬元的概率為，推導(dǎo)出數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，利用累加法可求得的值.,
(1)
解：種新產(chǎn)品中產(chǎn)品沒有被甲部門和乙部門同時(shí)選中的概率，
所以產(chǎn)品被甲部門或乙部門選中的概率為．
(2)
解：令，由題中數(shù)據(jù)得，，
，，
，．
(3)
解：由題意知，擲骰子時(shí)甲部門增加投資萬元發(fā)生的概率為，乙部門增加投資萬元發(fā)生的概率為．
設(shè)投資資金總和恰好為萬元的概率為，則投資資金總和恰好為萬元的概率為．
所以，
因?yàn)椋?，?br>所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，
所以
，
所以投資資金總和恰好為萬元的概率是．
變式2-3．某企業(yè)新研發(fā)了一種產(chǎn)品，產(chǎn)品的成本由原料成本及非原料成本組成.每件產(chǎn)品的非原料成本（元）與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量（千件）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：
根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制了散點(diǎn)圖觀察散點(diǎn)圖，兩個(gè)變量間關(guān)系考慮用反比例函數(shù)模型和指數(shù)函數(shù)模型分別對(duì)兩個(gè)變量的關(guān)系進(jìn)行擬合.已求得用指數(shù)函數(shù)模型擬合的回歸方程為，與x的相關(guān)系數(shù).
(1)用反比例函數(shù)模型求y關(guān)于x的回歸方程；
(2)用相關(guān)系數(shù)判斷上述兩個(gè)模型哪一個(gè)擬合效果更好（精確到0.001），并用其估計(jì)產(chǎn)量為10千件時(shí)每件產(chǎn)品的非原料成本；
(3)根據(jù)企業(yè)長期研究表明，非原料成本y服從正態(tài)分布，用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值，若非原料成本y在之外，說明該成本異常，并稱落在之外的成本為異樣成本，此時(shí)需尋找出現(xiàn)異樣成本的原因.利用估計(jì)值判斷上述非原料成本數(shù)據(jù)是否需要尋找出現(xiàn)異樣成本的原因？
參考數(shù)據(jù)（其中）：
參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，，相關(guān)系數(shù).
【答案】(1)
(2)反比例函數(shù)模型擬合效果更好，產(chǎn)量為10千件時(shí)每件產(chǎn)品的非原料成本約為11元，
(3)見解析
【解析】
【分析】
（1）令，則可轉(zhuǎn)化為，求出樣本中心，回歸方程的斜率，轉(zhuǎn)化求回歸方程即可，
（2）求出與的相關(guān)系數(shù)，通過比較，可得用反比例函數(shù)模型擬合效果更好，然后將代入回歸方程中可求結(jié)果
（3）利用已知數(shù)據(jù)求出樣本標(biāo)準(zhǔn)差s，從而可得非原料成本y服從正態(tài)分布，再計(jì)算，然后各個(gè)數(shù)據(jù)是否在此范圍內(nèi)，從而可得結(jié)論
(1)
令，則可轉(zhuǎn)化為，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，所以，
所以y關(guān)于x的回歸方程為
(2)
與的相關(guān)系數(shù)為
因?yàn)?，所以用反比例函?shù)模型擬合效果更好，
把代入回歸方程得（元），
所以產(chǎn)量為10千件時(shí)每件產(chǎn)品的非原料成本約為11元
(3)
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)闃颖緲?biāo)準(zhǔn)差為，
所以，
所以非原料成本y服從正態(tài)分布，
所以
因?yàn)樵谥?，所以需要此非原料成本?shù)據(jù)尋找出現(xiàn)異樣成本的原因
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 線性回歸
1．為實(shí)施鄉(xiāng)村振興，科技興農(nóng)，某村建起了田園綜合體，并從省城請(qǐng)來專家進(jìn)行技術(shù)指導(dǎo)．根據(jù)統(tǒng)計(jì)，該田園綜合體西紅柿畝產(chǎn)量的增加量（千克）與某種液體肥料每畝使用量（千克）之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下.
（1）由上表數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)并加以說明（若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）；
（2）求關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測(cè)當(dāng)液體肥料每畝使用量為15千克時(shí)，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為多少千克?
附：相關(guān)系數(shù)公式，參考數(shù)據(jù)：．
回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．
【答案】（1）0.95，答案見解析；（2）700千克．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)先求出，再求，，，然后利用公式求出相關(guān)系，再作判斷即可，
（2）根據(jù)線性回歸方程公式求出回歸方程，然后將代入回歸方程中可求得西紅柿畝產(chǎn)量的增加量
【詳解】
解：（1）由已知數(shù)據(jù)可得，
，
所以，
，
，
所以相關(guān)系數(shù)．
因?yàn)?，所以可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．
（2），，
所以回歸方程為．
當(dāng)時(shí)，，
即當(dāng)液體肥料每畝使用量為15千克時(shí)，西紅柿由產(chǎn)量的增加量約為700千克．
2．下表是某公司從2014年至2020年某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)用的近似值（單位：千元）
以x為解釋變量，y為預(yù)報(bào)變量，若以為回歸方程，則相關(guān)指數(shù)；若以為回歸方程，則相關(guān)指數(shù)．
（1）判斷與，哪一個(gè)更適合作為該種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)用的近似值y關(guān)于年份代號(hào)x的回歸方程，并說明理由；
（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于年份代號(hào)x的回歸方程（系數(shù)精確到0.1）．
參考數(shù)據(jù)：．參考公式：．
【答案】（1）更適合，理由見解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近，擬合效果越好即可得出答案.
（2）利用最小二乘法即可求解.
【詳解】
（1）更適合作為該種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)用的近似值
y關(guān)于年份代號(hào)x的回歸方程．
因?yàn)樵酱?，說明模型的擬合效果越好．
（2）由表格中數(shù)據(jù)有，
，
則．
3．某服裝企業(yè)采用服裝個(gè)性化設(shè)計(jì)為客戶提供服務(wù)，即由客戶提供身材的基本數(shù)據(jù)用于個(gè)人服裝設(shè)計(jì)．該企業(yè)為了設(shè)計(jì)所用的數(shù)據(jù)更精準(zhǔn)，隨機(jī)地抽取了10位男子的身高和臂長的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)如下表所示：
（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求男子的身高預(yù)報(bào)臂長的線性回歸方程，并預(yù)報(bào)身高為170cm的男子的臂長（男子臂長計(jì)算結(jié)果精確到0.01）；
（2）統(tǒng)計(jì)學(xué)認(rèn)為，兩個(gè)變量、的相關(guān)系數(shù)r的大小可表明兩變量間的相關(guān)性強(qiáng)弱．一般地，如果|r|[0.75，1]，那么相關(guān)性很強(qiáng)；如果|r|[0.30，0.75)，那么相關(guān)性一般；如果|r|[0，0.30)，那么沒有相關(guān)性．求出r的值，并判斷變量x?y的相關(guān)性強(qiáng)弱（結(jié)果精確到0.01）．
附：線性回歸方程其中，，，，，，，
【答案】（1）；；（2）；變量間的相關(guān)性很強(qiáng)．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)求出，從而利用可求出，進(jìn)而可得回歸方程，然后當(dāng)時(shí)，代入回歸方程可求出身高為170cm的男子的臂長；
（2）直接利用公式和已知的數(shù)據(jù)求解相關(guān)系數(shù)，再根據(jù)所給數(shù)據(jù)判斷強(qiáng)弱
【詳解】
（1）解：，
由，得
所以所求線性回歸方程為
當(dāng)時(shí)，
所以身高為170cm的男性臂長約為
（2），
因?yàn)閞[0.75，1]，所以變量間的相關(guān)性很強(qiáng)．
4．某汽車公司擬對(duì)“東方紅”款高端汽車發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行科技改造，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，得到科技改造投入x（億元）與科技改造直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：
當(dāng)時(shí)，建立了y與x的兩個(gè)回歸模型：模型①：；模型②：；當(dāng)時(shí)，確定y與x滿足的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為：．
（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)時(shí)模型①、②的相關(guān)指數(shù)，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測(cè)對(duì)“東方紅”款汽車發(fā)動(dòng)機(jī)科技改造的投入為16億元時(shí)的直接收益．
（附：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)）
（2）為鼓勵(lì)科技創(chuàng)新，當(dāng)科技改造的投入不少于20億元時(shí)，國家給予公司補(bǔ)貼收益10億元，以回歸方程為預(yù)測(cè)依據(jù)，比較科技改造投入16億元與20億元時(shí)公司實(shí)際收益的大小．
（附：用最小二乘法求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的系數(shù)公式）
【答案】（1）回歸模型②刻畫的擬合效果更好，70.8（億元）；（2）科技改造投入20億元時(shí)，公司的實(shí)際收益更大.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)比較和可判斷擬合效果，進(jìn)而求出預(yù)測(cè)值；
（2）求出，進(jìn)而求出，得出回歸方程,然后比較投入16億元和20億元時(shí)的收益即可求出結(jié)果.
【詳解】
由表格中的數(shù)據(jù)，有，
即，
可見模型①的相關(guān)指數(shù)小于模型②的相關(guān)指數(shù).
說明回歸模型②刻畫的擬合效果更好．
所以當(dāng)億元時(shí)，科技改造直接收益的預(yù)測(cè)值為：
（億元）．
由已知可得：，
，
當(dāng)億元時(shí)，y與x滿足的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為：
，
當(dāng)億元時(shí)，科技改造直接收益的預(yù)測(cè)值，
當(dāng)億元時(shí)，實(shí)際收益的預(yù)測(cè)值為億元億元，
科技改造投入20億元時(shí)，公司的實(shí)際收益更大．
練習(xí)二 非線性回歸
5．如圖是某市2011年至2020年當(dāng)年在售二手房均價(jià)（單位：千元/平方米）的散點(diǎn)圖（圖中年份代碼1~10分別對(duì)應(yīng)2011年~2020年）.現(xiàn)根據(jù)散點(diǎn)圖選擇用和兩個(gè)模型對(duì)年份代碼和房價(jià)的關(guān)系進(jìn)行擬合，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理得到兩個(gè)模型對(duì)應(yīng)回歸方程的相關(guān)指數(shù)和一些統(tǒng)計(jì)量的值，如下表：
表中，.
(1)請(qǐng)利用相關(guān)指數(shù)判斷：哪個(gè)模型的擬合效果更好；并求出該模型對(duì)應(yīng)的回歸方程（參數(shù)估計(jì)值精確到0.01）；
(2)根據(jù)（1）得到的方程預(yù)計(jì)；到哪一年，該市的當(dāng)年在售二手房均價(jià)能超過10.5千元/平方米.
參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，.參考數(shù)據(jù)：，.
【答案】(1)模型的擬合效果更好，
(2)到2022年，該市的當(dāng)年在售二手房均價(jià)能超過10.5千元/平方米
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)相關(guān)指數(shù)的數(shù)值可知模型的擬合效果更好，從而可得，利用最小二乘法即可求解.
（2）由（1）將代入即可求解.
(1)
由相關(guān)指數(shù)：，知模型的擬合效果更好.
∵，∴，令，
可知與滿足線性模型回歸方程，
，
則，
，
所以回歸方程為，即.
(2)
將代入，可得，
將代入，可得，
所以，根據(jù)方程預(yù)計(jì)：到2022年，該市的當(dāng)年在售二手房均價(jià)能超過10.5千元/平方米.
6．某投資公司2012年至2021年每年的投資金額（單位：萬元）與年利潤增量（單位：萬元）的散點(diǎn)圖如圖：該投資公司為了預(yù)測(cè)2022年投資金額為20萬元時(shí)的年利潤增量，建立了關(guān)于的兩個(gè)回歸模型；模型①：由最小二乘公式可求得與的線性回歸方程：；模型②：由圖中樣本點(diǎn)的分布，可以認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在由線：的附近，對(duì)投資金額做換元，令，則，且有，
(1)根據(jù)所給的統(tǒng)計(jì)量，求模型②中關(guān)于的回歸方程；
(2)分別利用這兩個(gè)回歸模型，預(yù)測(cè)投資金額為20萬元時(shí)的年利潤增量（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；
附：樣本的最小乘估計(jì)公式為；參考數(shù)據(jù)：.
【答案】(1)
(2)模型①的年利潤增量的預(yù)測(cè)值為（萬元），模型②的年利潤增量的預(yù)測(cè)值為（萬元）
【解析】
【分析】
（1）結(jié)合已知數(shù)據(jù)和公式求出這兩個(gè)系數(shù)即可得回歸方程；
（2）把代入模型①、②的回歸方程，算出即可．
(1)
由題意，知，可得，
又由，
則
所以，模型②中關(guān)于的回歸方程.
(2)
當(dāng)時(shí)，模型①的年利潤增量的預(yù)測(cè)值為（萬元），
當(dāng)時(shí)，模型②的年利潤增量的預(yù)測(cè)值為
萬元
7．近年來，由于耕地面積的緊張，化肥的施用量呈增加趨勢(shì)．一方面，化肥的施用對(duì)糧食增產(chǎn)增收起到了關(guān)鍵作用，另一方面，也成為環(huán)境污染、空氣污染、土壤污染的重要來源之一如何合理地施用化肥，使其最大程度地促進(jìn)糧食增產(chǎn)，減少對(duì)周圍環(huán)境的污染成為需要解決的重要問題研究糧食產(chǎn)量與化肥施用量的關(guān)系，成為解決上述問題的前提某研究團(tuán)隊(duì)收集了10組化肥施用量和糧食畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)并對(duì)這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值化肥施用量為（單位：公斤），糧食畝產(chǎn)量為（單位：百公斤）．
參考數(shù)據(jù)：
表中．
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與，哪一個(gè)適宜作為糧食畝產(chǎn)量關(guān)于化肥施用量的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；
(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；
(3)根據(jù)（2）的回歸方程，并預(yù)測(cè)化肥施用量為27公斤時(shí)，糧食畝產(chǎn)量的值；
附：①對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為；②?。?br>【答案】(1)更適合作為關(guān)于的回歸方程類型；
(2)；
(3)810公斤.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)散點(diǎn)圖即可判斷，更適合作為關(guān)于的回歸方程類型；
（2）對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，得，即，根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出，再根據(jù)最小二乘法求出和的值，從而得出關(guān)于的回歸方程；
（3）由（2）得，當(dāng)時(shí)，即可預(yù)測(cè)糧食畝產(chǎn)量的值.
(1)
解：根據(jù)散點(diǎn)圖可判斷，更適合作為關(guān)于的回歸方程類型.
(2)
解：對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，得，即，
由表中數(shù)據(jù)得：，，
，
，所以，
所以關(guān)于的回歸方程為.
(3)
解：由（2）得，
當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)化肥施用量為27公斤時(shí)，糧食畝產(chǎn)量約為810公斤.
8．某保險(xiǎn)公司根據(jù)官方公布的歷年?duì)I業(yè)收入，制成表格如下：
表1
由表1，得到下面的散點(diǎn)圖：
根據(jù)已有的函數(shù)知識(shí)，某同學(xué)選用二次函數(shù)模型（b和a是待定參數(shù)）來擬合y和x的關(guān)系.這時(shí)，可以對(duì)年份序號(hào)做變換，即令，得，由表1可得變換后的數(shù)據(jù)見表2.
表2
（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到個(gè)位數(shù)）；
（2）根據(jù)（1）中得到的回歸方程估計(jì)2021年的營業(yè)收入，以及營業(yè)收入首次超過4000億元的年份.
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.
參考數(shù)據(jù)：.
【答案】（1）；（2）估計(jì)2021年的營業(yè)收入約為2518億元，估計(jì)營業(yè)收入首次超過4000億元的年份為2024年.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)的公式，將題干中的數(shù)據(jù)代入，即得解；
（2）代入，可估計(jì)2021年的營業(yè)收入；令，可求解的范圍，繼而得到的范圍，即得解
【詳解】
（1），
，
故回歸方程為.
（2）2021年對(duì)應(yīng)的t的值為121，營業(yè)收入，
所以估計(jì)2021年的營業(yè)收入約為2518億元.
依題意有，解得，故.
因?yàn)椋?br>所以估計(jì)營業(yè)收入首次超過4000億元的年份序號(hào)為14，即2024年.
推銷員編號(hào)
1
2
3
4
5
工作年限x/年
3
5
6
7
9
推銷金額y/萬元
2
3
3
4
5
月份
1
2
3
4
5
6
銷售單價(jià)
銷售量
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
物流成本x
83
83.5
80
86.5
89
84.5
79
86.5
利潤y
114
116
106
122
132
114
m
132
殘差
0.2
0.6
1.8
－3
－1
－4.6
－1
天數(shù)
1
2
3
4
5
6
抗體含量水平
5
10
26
50
96
195
3.50
63.67
3.49
17.50
9.49
12.95
519.01
4023.87
年份
2015
2016
2017
2018
2019
編號(hào)x
1
2
3
4
5
企業(yè)總數(shù)量y（單位：千個(gè)）
2.156
3.727
8.305
24.279
36.224
x
1
2
3
4
5
6
7
8
y
56.5
31
22.75
17.8
15.95
14.5
13
12.5
0.34
0.115
1.53
184
5777.555
93.06
30.705
13.9
（千克）
2
4
5
6
8
（千克）
300
400
400
400
500
年份
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
年份代號(hào)x
1
2
3
4
5
6
7
該種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)用y
59.3
64.1
68.8
74.0
82.1
90.0
99.1
身高
164
165
168
172
173
176
178
181
182
191
臂長
160
164
161
170
175
181
170
182
180
187
x
2
3
4
6
8
10
13
21
22
23
24
25
y
12
22
31
42
50
56
58
68.5
68
67.5
66
68
回歸模型
模型①
模型②
回歸方程
182.4
79.2
模型
相關(guān)指數(shù)
0.8821
0.9046
6.81
1.89
82.5
44.55
6.6
650
91.5
52.5
1478.6
30.5
15
15
46.5
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
年份序號(hào)x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
營業(yè)收入y（億元）
0.52
9.36
33.6
132
352
571
912
1207
1682
2135
T
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
Y
0.52
9.36
33.6
132
352
571
912
1207
1682
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