考試要求 1.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理.2.會用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的實際問題．
知識梳理
兩個計數(shù)原理
(1)分類加法計數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝________種不同的方法．
(2)分步乘法計數(shù)原理：完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝________種不同的方法.
常用結論
1．分類加法計數(shù)原理的推廣：完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，……，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝ m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．
2．分步乘法計數(shù)原理的推廣：完成一件事需要n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．
思考辨析
判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)在分類加法計數(shù)原理中，某兩類不同方案中的方法可以相同．( )
(2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事．( )
(3)在分步乘法計數(shù)原理中，只有各步驟都完成后，這件事情才算完成．( )
(4)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．( )
教材改編題
1．已知某公園有4個門，從一個門進，另一個門出，則不同的走法的種數(shù)為( )
A．16 B．13 C．12 D．10
2．有4位教師在同一年級的4個班中各教一個班的數(shù)學，在數(shù)學檢測時要求每位教師不能在本班監(jiān)考，則不同的監(jiān)考方法有( )
A．8種 B．9種 C．10種 D．11種
3.由于用具簡單、趣味性強，象棋成為流行極為廣泛的棋藝活動．某棋局的一部分如圖所示，若不考慮這部分以外棋子的影響，且“馬”和“炮”不動，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，從“兵”吃掉“馬”的最短路線中隨機選擇一條路線，其中也能把“炮”吃掉的可能路線有( )
A．10條 B．8條
C．6條 D．4條
題型一 分類加法計數(shù)原理
例1 (1)某同學有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友一本，則不同的贈送方法共有( )
A．4種 B．10種 C．18種 D．20種
聽課記錄：_______________________________________________________________________
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(2)如果一個三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275等)，那么所有凸數(shù)的個數(shù)為________．
聽課記錄：_______________________________________________________________________
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思維升華 使用分類加法計數(shù)原理的兩個注意點
(1)根據(jù)問題的特點確定一個合適的分類標準，分類標準要統(tǒng)一，不能遺漏．
(2)分類時，注意完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復．
跟蹤訓練1 (1)(2023·太原模擬)現(xiàn)有拾圓、貳拾圓、伍拾圓的人民幣各一張，一共可以組成的幣值有( )
A．3種 B．6種 C．7種 D．8種
(2)設I＝{1,2,3,4}，A與B是I的子集，若A∩B＝{1,2}，則稱(A，B)為一個“理想配集”．若將(A，B)與(B，A)看成不同的“理想配集”，則符合此條件的“理想配集”有________個．
題型二 分步乘法計數(shù)原理
例2 (1)數(shù)獨是源自18世紀瑞士的一種數(shù)學游戲．如圖是數(shù)獨的一個簡化版，由3行3列9個單元格構成．玩該游戲時，需要將數(shù)字1,2,3(各3個)全部填入單元格，每個單元格填一個數(shù)字，要求每一行、每一列均有1,2,3這三個數(shù)字，則不同的填法有( )
A．12種 B．24種
C．72種 D．216種
聽課記錄：_______________________________________________________________________
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(2)(2022·武漢模擬)現(xiàn)安排高二年級A，B，C三名同學到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，每名同學只能選擇一個工廠，且允許多人選擇同一個工廠，則下列說法不正確的是( )
A．共有43種不同的安排方法
B．若甲工廠必須有同學去，則不同的安排方法有37種
C．若A同學必須去甲工廠，則不同的安排方法有12種
D．若三名同學所選工廠各不相同，則不同的安排方法有24種
聽課記錄：_______________________________________________________________________
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思維升華 利用分步乘法計數(shù)原理解題的策略
(1)明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個步驟，且每步都是獨立的．
(2)將這件事劃分成幾個步驟來完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當所有步驟都完成了，整個事件才算完成．
跟蹤訓練2 (1)教學大樓共有五層，每層均有兩個樓梯，則由一層到五層不同的走法有( )
A．10種 B．25種
C．52種 D．24種
(2)有4位同學報名參加三個不同的社團，則下列說法中正確的是( )
①每位同學限報其中一個社團，則不同的報名方法共有34種；
②每位同學限報其中一個社團，則不同的報名方法共有43種；
③每個社團限報一個人，則不同的報名方法共有24種；
④每個社團限報一個人，則不同的報名方法共有43種．
A．①③ B．②④
C．①④ D．②③
題型三 兩個計數(shù)原理的綜合應用
例3 (1)有5個不同的棱柱、3個不同的棱錐、4個不同的圓臺、2個不同的球，若從中取出2個幾何體，使多面體和旋轉體各一個，則不同的取法種數(shù)是( )
A．14 B．23 C．48 D．120
(2)(2023·南平質檢)甲與其他四位同事各有一輛私家車，車牌尾數(shù)分別是9,0,2,1,5，為遵守當?shù)啬吃?日至9日5天的限行規(guī)定(奇數(shù)日車牌尾數(shù)為奇數(shù)的車通行，偶數(shù)日車牌尾數(shù)為偶數(shù)的車通行)，五人商議拼車出行，每天任選一輛符合規(guī)定的車，但甲的車最多只能用一天，則不同的用車方案種數(shù)為________．
思維升華 利用兩個計數(shù)原理解題時的三個注意點
(1)當題目無從下手時，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事．
(2)分類時，標準要明確，做到不重不漏，有時要恰當畫出示意圖或樹狀圖．
(3)對于復雜問題，一般是先分類再分步．
跟蹤訓練3 (1)有4件不同顏色的襯衣，3件不同花樣的裙子，另有2套不同樣式的連衣裙．需選擇一套服裝參加“五一”節(jié)歌舞演出，則不同的選擇方式種數(shù)為( )
A．24 B．14 C．10 D．9
(2)如圖，a省分別與b，c，d，e四省交界，且b，c，d互不交界，在地圖上分別給各省地域涂色，要求相鄰省涂不同色，現(xiàn)有5種不同顏色可供選用，則不同的涂色方案種數(shù)為( )
A．480 B．600
C．720 D．840

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