§5.5　復(fù)　數(shù)考試要求　1.通過(guò)方程的解，認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù).2.理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義.3.掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義．知識(shí)梳理1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中______是復(fù)數(shù)z的實(shí)部，________是復(fù)數(shù)z的虛部，i為虛數(shù)單位．(2)復(fù)數(shù)的分類：復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)(3)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?____________(a，b，c，d∈R)．(4)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di互為共軛復(fù)數(shù)?__________(a，b，c，d∈R)．(5)復(fù)數(shù)的模：向量的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的?；蚪^對(duì)值，記作____________或________，即|z|＝|a＋bi|＝________________(a，b∈R)．2．復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R) 復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)．(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.3．復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝________________________；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝________________________；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝________________________；④除法：＝＝＝________________________(c＋di≠0)．(2)幾何意義：復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行．如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，即＝__________，＝________________.常用結(jié)論1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．5．復(fù)數(shù)z的方程在復(fù)平面上表示的圖形(1)a≤|z|≤b表示以原點(diǎn)O為圓心，以a和b為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)為圓心，r為半徑的圓．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)復(fù)數(shù)z＝a－bi(a，b∈R)中，虛部為b.(　　)(2)復(fù)數(shù)可以比較大小．(　　)(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，當(dāng)a＝0時(shí)，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)．(　　)(4)復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的模．(　　)教材改編題1．已知復(fù)數(shù)z滿足z(1＋i)＝2＋3i，則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(　　)A．第一象限   B．第二象限C．第三象限   D．第四象限2．若z＝(m2＋m－6)＋(m－2)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為________．3．已知復(fù)數(shù)z滿足(3＋4i)·z＝5(1－i)，則z的虛部是________．題型一　復(fù)數(shù)的概念例1 (1)(2023·合肥模擬)復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)的虛部為(　　)A．1  B．－1  C．i  D．－i聽(tīng)課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2022·北京)若復(fù)數(shù)z滿足i·z＝3－4i，則|z|等于(　　)A．1  B．5  C．7  D．25聽(tīng)課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________(3)(2022·泰安模擬)已知復(fù)數(shù)z滿足＝i，則＝________.聽(tīng)課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 解決復(fù)數(shù)概念問(wèn)題的方法及注意事項(xiàng)(1)復(fù)數(shù)的分類及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問(wèn)題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．(2)解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實(shí)部和虛部．跟蹤訓(xùn)練1 (1)(2022·全國(guó)甲卷)若z＝1＋i，則|iz＋3|等于(　　)A．4   B．4C．2   D．2(2)(2022·新高考全國(guó)Ⅰ)若i(1－z)＝1，則z＋等于(　　)A．－2  B．－1  C．1  D．2題型二　復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算例2 (1)(2022·全國(guó)甲卷)若z＝－1＋i，則等于(　　)A．－1＋i   B．－1－iC．－＋i   D．－－i聽(tīng)課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2022·福州模擬)設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2，z3滿足z3≠0，且|z1|＝|z2|，則下列結(jié)論正確的是(　　)A．z1＝±z2   B．z＝zC．z1·z3＝z2·z3   D．|z1·z3|＝|z2·z3|聽(tīng)課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 (1)復(fù)數(shù)的乘法：復(fù)數(shù)乘法類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算．(2)復(fù)數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)．跟蹤訓(xùn)練2 (1)(2022·新高考全國(guó)Ⅱ)(2＋2i)(1－2i)等于(　　)A．－2＋4i   B．－2－4iC．6＋2i   D．6－2i(2)(2023·濟(jì)寧模擬)已知復(fù)數(shù)z滿足z·i3＝1－2i，則的虛部為(　　)A．1  B．－1  C．2  D．－2題型三　復(fù)數(shù)的幾何意義例3 (1)(2022·桂林模擬)若復(fù)數(shù)z滿足z(1－3i)＝1－7i，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(　　)A．第一象限   B．第二象限C．第三象限   D．第四象限聽(tīng)課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________(2)已知z1，z2為復(fù)數(shù)，|z1＋z2|＝2，|z1|＝2，|z2|＝2，則|z1－z2|等于(　　)A．1  B.  C．2  D．2聽(tīng)課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________(3)若復(fù)數(shù)z滿足|z－1＋i|＝3，則|z|的最大值為(　　)A．1  B．2  C．5  D．6聽(tīng)課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問(wèn)題的解決更加直觀．跟蹤訓(xùn)練3 (1)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z－1|＝2，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x，y)，則(　　)A．(x－1)2＋y2＝4   B．(x＋1)2＋y2＝4C．x2＋(y－1)2＝4   D．x2＋(y＋1)2＝4(2)已知復(fù)數(shù)z滿足1≤|z－(1－i)|≤2，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z所在區(qū)域的面積為(　　)A．π  B．2π  C．3π  D．4π

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