1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
我們把不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一個基底．
2．平面向量的正交分解
把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐標運算
(1)向量加法、減法、數(shù)乘運算及向量的模
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，
|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).
(2)向量坐標的求法
①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標．
②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2).
4．平面向量共線的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.
微思考
1．若兩個向量存在夾角，則向量的夾角與直線的夾角一樣嗎？為什么？
提示 不一樣．因為向量有方向，而直線不考慮方向．當向量的夾角為直角或銳角時，與直線的夾角相同．當向量的夾角為鈍角或平角時，與直線的夾角不一樣．
2．平面內的任一向量可以用任意兩個非零向量表示嗎？
提示 不一定．兩個向量只有不共線時，才能作為一組基底表示平面內的任一向量．
題組一 思考辨析
1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)平面內的任意兩個向量都可以作為一組基底．( × )
(2)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2).( × )
(4)平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換之后其坐標不變．( √ )
題組二 教材改編
2．(多選)如圖所示，C，D是線段AB上的兩個三等分點，則下列關系式正確的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＝3eq \(AC,\s\up6(→)) B.eq \(DA,\s\up6(→))＝－2eq \(CD,\s\up6(→))
C.eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝0 D.eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))
答案 ABC
3．已知?ABCD的頂點A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，則頂點D的坐標為________．
答案 (1,5)
解析 設D(x，y)，則由eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，得(4,1)＝(5－x,6－y)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4＝5－x，,1＝6－y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝5.))
4.如圖，eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))不共線，且eq \(AP,\s\up6(→))＝teq \(AB,\s\up6(→))(t∈R)，用eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))表示eq \(OP,\s\up6(→))＝__________________.
答案 (1－t)eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(OB,\s\up6(→))
解析 ∵eq \(AP,\s\up6(→))＝teq \(AB,\s\up6(→))，
∴eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AP,\s\up6(→))
＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(AB,\s\up6(→))
＝eq \(OA,\s\up6(→))＋t(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))
＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(OB,\s\up6(→))－teq \(OA,\s\up6(→))
＝(1－t)eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(OB,\s\up6(→)).
題組三 易錯自糾
5．(多選)設O是平行四邊形ABCD的兩條對角線AC，BD的交點，其中可作為這一個平行四邊形所在平面的一個基底的是( )
A.eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→)) B.eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))
C.eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→)) D.eq \(OD,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))
答案 AC
解析 平面內任意兩個不共線的向量都可以作為基底，如圖，
對于A，eq \(AD,\s\up6(→))與eq \(AB,\s\up6(→))不共線，可作為基底；
對于B，eq \(DA,\s\up6(→))與eq \(BC,\s\up6(→))為共線向量，不可作為基底；
對于C，eq \(CA,\s\up6(→))與eq \(DC,\s\up6(→))是兩個不共線的向量，可作為基底；
對于D，eq \(OD,\s\up6(→))與eq \(OB,\s\up6(→))在同一條直線上，是共線向量，不可作為基底．
6．(多選)已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，則b可能是( )
A．(4,8) B．(4，－8)
C．(－4，－8) D．(－4,8)
答案 BD
解析 設b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y))，依題意有
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(x2＋y2)＝4\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2))2)，,y＋2x＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－8))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－4，,y＝8.))
題型一 平面向量基本定理的應用
例1 (1)在△ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且eq \(BD,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(CE,\s\up6(→))＝3eq \(EA,\s\up6(→))，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，則eq \(DE,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,3)a＋eq \f(5,12)b B.eq \f(1,3)a－eq \f(13,12)b
C．－eq \f(1,3)a－eq \f(5,12)b D．－eq \f(1,3)a＋eq \f(13,12)b
答案 C
解析 eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))
＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(CA,\s\up6(→))
＝eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(5,12)eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)a－eq \f(5,12)b.
(2)(2021·鄭州質檢)如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，BC的中點，連接CE，DF，交于點G.若eq \(CG,\s\up6(→))＝λeq \(CD,\s\up6(→))＋μeq \(CB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則eq \f(λ,μ)＝________.
答案 eq \f(1,2)
解析 由題圖可設eq \(CG,\s\up6(→))＝xeq \(CE,\s\up6(→))(0

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