§4.8　正弦定理、余弦定理考試要求　1.掌握正弦定理、余弦定理及其變形.2.理解三角形的面積公式并能應(yīng)用.3.能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題．知識梳理1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容＝______＝______＝2Ra2＝______________；b2＝________________；c2＝________________變形(1)a＝2Rsin A，b＝________，c＝________；(2)sin A＝，sin B＝________，sin C＝________；(3)a∶b∶c＝______________cos A＝____________；cos B＝____________；cos C＝____________ 2.三角形解的判斷 A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsin Absin A<a<ba≥ba>b解的個數(shù)一解兩解一解一解 3.三角形中常用的面積公式(1)S＝aha(ha表示邊a上的高)；(2)S＝________________＝______________＝________________；(3)S＝________________________(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)．常用結(jié)論在△ABC中，常有以下結(jié)論：(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．(3)a>b?A>B?sin A>sin B，cos A<cos B.(4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin .(5)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.(6)三角形中的面積S＝.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個內(nèi)角之比．(　　)(2)在△ABC中，若sin A>sin B，則A>B.(　　)(3)在△ABC的六個元素中，已知任意三個元素可求其他元素．(　　)(4)當b2＋c2－a2>0時，△ABC為銳角三角形．(　　)教材改編題1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，則∠BAC等于(　　)A.  B.  C.  D.2．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為4，a＝2，B＝30°，則c等于(　　)A．8  B．4  C.  D.3．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知B＝30°，b＝，c＝2，則C＝________. 題型一　利用正弦定理解三角形例1 (1)在△ABC中，若AB＝，B＝，C＝，則AC等于(　　)A.   B．3  C．2   D．3(2)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，a＝1，c＝，A＝45°，則C等于(　　)A．30°   B．60°  C．120°   D．60°或120°聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________延伸探究 若將本例(2)條件變?yōu)?/span>“a＝，A＝60°，c＝2”，求C.    思維升華 利用正弦定理可解決兩類三角形問題：一是已知兩角和一角的對邊，求其他邊或角；二是已知兩邊和一邊的對角，求其他邊或角. 跟蹤訓練1 (1)已知在△ABC中，a＝，b＝，A＝30°，則c等于(　　)A．2   B.C．2或   D．均不正確(2)(2023·蘭州模擬)在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，b＝2，c＝，且asin B＋bcos A＝b，則△ABC的面積為________． 題型二　利用余弦定理解三角形例2 (1)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，則A＋B的大小為(　　)A.  B.  C.  D.(2)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若cos(B＋C)＝，a＝4，b＝2則c等于(　　)A．3  B．2  C.  D．4聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 利用余弦定理可解決兩類三角形問題：一是已知兩邊和它們的夾角，求其他邊或角；二是已知三邊求角．由于這兩種情形下的三角形是唯一確定的，所以其解也是唯一的．跟蹤訓練2 (1)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知A＝，a＝3，b＝，則c等于(　　)A.  B．3－  C．3  D．2(2)(2022·攀枝花模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S，若2S＝(a＋c)2－b2，則cos B的值是(　　)A．－  B．－  C.  D. 題型三　三角形的形狀判斷例3 (1)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若c＝2acos B，則△ABC的形狀一定是(　　)A．銳角三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰三角形(2)在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，＝sin2，則△ABC的形狀為(　　)A．直角三角形B．等邊三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________延伸探究 將本例(2)中的條件“＝sin2”改為“＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc”，試判斷△ABC的形狀．     思維升華 判斷三角形形狀的兩種思路(1)化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．(2)化角：通過三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．此時要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個結(jié)論．跟蹤訓練3 (1)(2023·拉薩模擬)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列四個命題中正確的是(　　)A．若acos A＝bcos B，則△ABC一定是等腰三角形B．若bcos C＋ccos B＝b，則△ABC是等邊三角形C．若＝＝，則△ABC一定是等邊三角形D．若B＝60°，b2＝ac，則△ABC是直角三角形(2)在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C，則該三角形的形狀是(　　)A．直角三角形   B．等腰三角形C．等邊三角形   D．鈍角三角形

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