1.掌握正弦定理、余弦定理及其變形.2.理解三角形的面積公式并能應用.3.能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題.
第一部分 落實主干知識
第二部分 探究核心題型
1.正弦定理、余弦定理在△ABC中,若角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,R為△ABC外接圓半徑,則
b2+c2-2bccs A
c2+a2-2cacs B
a2+b2-2abcs C
sin A∶sin B∶sin C
(2)S= = = ;
(3)S= (r為三角形的內切圓半徑).
在△ABC中,常有以下結論:(1)∠A+∠B+∠C=π.(2)任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊.(3)a>b?A>B?sin A>sin B,cs Asin B,則a>b.(  )(3)在△ABC的六個元素中,已知任意三個元素可求其他元素.(  )(4)當b2+c2-a2>0時,△ABC為銳角三角形.(  )
2.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,則∠BAC等于
在△ABC中,設AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7,由余弦定理得
因為∠BAC為△ABC的內角,
3.在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對的邊,已知b=40,c=20,C=60°,則此三角形的解的情況是A.有一解B.有兩解C.無解D.有解但解的個數(shù)不確定
∴角B不存在,即此三角形無解.
4.記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為 ,B=60°,a2+c2=3ac,則b= .
則ac=4,所以a2+c2=3ac=3×4=12,
題型一 利用正弦、余弦定理解三角形
例1 (1)(2023·榆林模擬)△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若asin A+(b+λa)sin B=csin C,則λ的取值范圍為A.(-2,2) B.(0,2)C.[-2,2] D.[0,2]
因為asin A+(b+λa)sin B=csin C,由正弦定理得c2=a2+b2+λab,由余弦定理知c2=a2+b2-2abcs C,所以λ=-2cs C,因為C∈(0,π),所以cs C∈(-1,1),故λ∈(-2,2).
(2)(2024·蘭州模擬)用長度為1,4,8,9的4根細木棒圍成一個三角形(允許連接,不允許折斷),則其中某個三角形外接圓的直徑可以是_________________(寫出一個答案即可).
4根細木棒圍成的三角形的三邊長可以為5,8,9,設邊長為9的邊所對的角為θ,該三角形外接圓的半徑為R,
解三角形時,如果式子中含有角的余弦或邊的二次式,要考慮用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或邊的一次式,則考慮用正弦定理,以上特征都不明顯時,則要考慮兩個定理都有可能用到.
又因為0°0,在△ABC中,由余弦定理,得AC2=36+x2-2×6xcs B=28,即x2+8=12xcs B,①又在△ACD中,由余弦定理,得AC2=4+x2-2×2xcs D=28,即x2-24=4xcs D,②因為B+D=π,
則cs D=cs(π-B)=-cs B,
設△ABC中,角A,B,C的對邊為a,b,c,∵cs2A+sin2B+sin2C+sin Bsin C=1,即sin2B+sin2C+sin Bsin C=sin2A,∴b2+c2+bc=a2,
即b=3,∴a2=b2+c2+bc=32+22+3×2=19,
根據(jù)余弦定理可知a2+c2-b2=2accs B,
8.已知△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,下列四個命題中正確的是A.若acs A=bcs B,則△ABC是等腰三角形B.若bcs C+ccs B=b,則△ABC是等腰三角形
對于A,若acs A=bcs B,則由正弦定理得sin Acs A=sin Bcs B,∴sin 2A=sin 2B,則2A=2B或2A+2B=180°,即A=B或A+B=90°,則△ABC為等腰三角形或直角三角形,故A錯誤;對于B,若bcs C+ccs B=b,則由正弦定理得sin Bcs C+sin Ccs B=sin(B+C)=sin A=sin B,即A=B,則△ABC是等腰三角形,故B正確;
對于D,由于B=60°,b2=ac,由余弦定理可得b2=ac=a2+c2-ac,可得(a-c)2=0,解得a=c,故△ABC是等邊三角形,故D錯誤.
所以2a·cs A=c·cs B+b·cs C,由正弦定理得2sin Acs A=sin Ccs B+sin Bcs C,即2sin Acs A=sin(B+C)=sin A,因為sin A>0,
10.我國南宋著名數(shù)學家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》卷五的“田域類”中寫道:問有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步.欲知為田幾何.意思是已知三角形沙田的三邊長分別為13里、14里、15里,求三角形沙田的面積.則該沙田的面積為 平方里.
由題意畫出△ABC(圖略),且AB=13里,BC=14里,AC=15里,
由于0

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