§4.6　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象與性質(zhì)考試要求　1.結(jié)合具體實例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的實際意義；能借助圖象理解參數(shù)ω，φ，A的意義，了解參數(shù)的變化對函數(shù)圖象的影響.2.會用三角函數(shù)解決簡單的實際問題，體會可以利用三角函數(shù)構(gòu)建刻畫事物周期變化的數(shù)學模型．知識梳理1．簡諧運動的有關概念已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)，其中A>0，ω>0振幅周期頻率相位初相AT＝____f＝＝ωx＋φφ 2.用“五點(畫圖)法”畫y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一個周期內(nèi)的簡圖時，要找五個特征點ωx＋φ0π2πx     y＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0 3.函數(shù)y＝sin x的圖象經(jīng)變換得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的兩種途徑常用結(jié)論1．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k圖象平移的規(guī)律：“左加右減，上加下減”．2．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象的對稱軸由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z確定；對稱中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z確定其橫坐標．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值為A，最小值為－A.(　　)(2)函數(shù)f(x)＝sin 2x向右平移個單位長度后對應的函數(shù)g(x)＝sin.(　　)(3)把y＝sin x的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的，所得函數(shù)解析式為y＝sin x.(　　)(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為T，那么函數(shù)圖象的相鄰兩個對稱中心之間的距離為.(　　)教材改編題1．函數(shù)y＝2sin的振幅、頻率和初相分別為(　　)A．2，，   B．2，，C．2，，   D．2，，－2．(2022·浙江)為了得到函數(shù)y＝2sin 3x的圖象，只要把函數(shù)y＝2sin圖象上所有的點(　　)A．向左平移個單位長度B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度D．向右平移個單位長度3．某港口在一天24小時內(nèi)的潮水的高度近似滿足關系式f(t)＝2sin，其中f(t)的單位為m，t的單位是h，則12點時潮水的高度是________m.題型一　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及變換例1 (1)(2021·全國乙卷)把函數(shù)y＝f(x)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)y＝sin的圖象，則f(x)等于(　　)A．sin   B．sinC．sin   D．sin聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2022·全國甲卷)將函數(shù)f(x)＝sin(ω＞0)的圖象向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關于y軸對稱，則ω的最小值是(　　)A.  B.  C.  D.聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 (1)由y＝sin ωx的圖象到y＝sin(ωx＋φ)的圖象的變換：向左平移(ω>0，φ>0)個單位長度而非φ個單位長度．(2)如果平移前后兩個圖象對應的函數(shù)的名稱不一致，那么應先利用誘導公式化為同名函數(shù)，ω為負時應先變成正值．跟蹤訓練1 (1)(2023·金華模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin，若將f(x)的圖象向右平移個單位長度后，再把所得曲線上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，得到函數(shù)g(x)的圖象，則(　　)A．g(x)＝sin   B．g(x)＝sin 4xC．g(x)＝sin x   D．g(x)＝sin(2)(2023·寧夏模擬)將函數(shù)y＝tan(ω>0)的圖象分別向左、向右各平移個單位長度后，所得的兩個圖象對稱中心重合，則ω的最小值為(　　)A.  B．2  C．3  D．6題型二　由圖象確定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式例2 (1)(2023·包頭調(diào)研)函數(shù)f(x)＝2sin(2x＋φ)的圖象如圖所示，現(xiàn)將y＝f(x)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)解析式為(　　)A．y＝2sin   B．y＝2sinC．y＝2cos 2x   D．y＝2sin 2x聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2021·全國甲卷)已知函數(shù)f(x)＝2cos (ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則f ＝______.聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 確定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步驟和方法(1)求A，b.確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A＝，b＝.(2)求ω.確定函數(shù)的最小正周期T，則ω＝.(3)求φ.常用方法如下：把圖象上的一個已知點代入(此時要注意該點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把圖象的最高點或最低點代入．跟蹤訓練2 (1)(2020·全國Ⅰ改編)設函數(shù)f(x)＝cos在[－π，π]上的圖象大致如圖，則f(x)的解析式為(　　)A．f(x)＝cosB．f(x)＝cosC．f(x)＝cosD．f(x)＝cos(2)(2023·濰坊模擬)已知函數(shù)g(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)g(x)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)f(x)的圖象，則f ＝________.題型三　三角函數(shù)圖象、性質(zhì)的綜合應用命題點1　圖象與性質(zhì)的綜合應用例3 若函數(shù)f(x)＝2sin的圖象向右平移個單位長度后，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，則下列關于函數(shù)g(x)的說法中，正確的是(　　)A．函數(shù)g(x)的圖象關于直線x＝對稱B．函數(shù)g(x)的圖象關于點對稱C．函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈ZD．函數(shù)g是偶函數(shù)聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________命題點2　函數(shù)零點(方程根)問題例4 已知關于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有兩個不同的實數(shù)根，則m的取值范圍是____________．聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________延伸探究 本例中，若將“有兩個不同的實數(shù)根”改成“有實根”，則m的取值范圍是________．命題點3　三角函數(shù)模型例5 (2023·樂山模擬)摩天輪常被當作一個城市的地標性建筑，如圖所示，某摩天輪最高點離地面高度128米，轉(zhuǎn)盤直徑為120米，設置若干個座艙，游客從離地面最近的位置進艙，開啟后按逆時針勻速旋轉(zhuǎn)t分鐘，當t＝15時，游客隨艙旋轉(zhuǎn)至距離地面最遠處．以下關于摩天輪的說法中，正確的為(　　)A．摩天輪離地面最近的距離為4米B．若旋轉(zhuǎn)t分鐘后，游客距離地面的高度為h米，則h＝－60cos t＋68C．若在t1，t2時刻，游客距離地面的高度相等，則t1＋t2的最小值為15D．?t1，t2∈[0,20]，使得游客在該時刻距離地面的高度均為90米聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 (1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)時可將ωx＋φ視為一個整體，利用換元法和數(shù)形結(jié)合思想進行解題．(2)方程根的個數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)．(3)三角函數(shù)模型的應用體現(xiàn)在兩方面：一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學問題；二是把實際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，利用三角函數(shù)的有關知識解決問題．跟蹤訓練3 (1)(2022·長沙模擬)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，把函數(shù)f(x)圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的倍，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，則下列說法正確的是(　　)A．g為偶函數(shù)B．g(x)的最小正周期是πC．g(x)的圖象關于直線x＝對稱D．g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減(2)(2023·六安模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin πωx－cos πωx(ω>0)在(0,1)內(nèi)恰有3個極值點和4個零點，則實數(shù)ω的取值范圍是(　　)A.   B.C.   D.(3)(2023·青海模擬)時鐘花是原產(chǎn)于南美熱帶雨林的藤蔓植物，其開放與閉合與體內(nèi)的一種時鐘酶有關．研究表明，當氣溫上升到20 ℃時，時鐘酶活躍起來，花朵開始開放；當氣溫上升到28 ℃時，時鐘酶的活性減弱，花朵開始閉合，且每天開閉一次．已知某景區(qū)一天內(nèi)5～17時的氣溫T(單位： ℃)與時間t(單位：h)近似滿足關系式T＝20－10sin，則該景區(qū)這天時鐘花從開始開放到開始閉合約經(jīng)歷(　　)A．1.4 h  B．2.4 h  C．3.2 h  D．5.6 h

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