知識點一 分層隨機抽樣的定義
一般地，按一個或多個變量把總體劃分成eq \(□,\s\up3(01))若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進行eq \(□,\s\up3(02))簡單隨機抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為eq \(□,\s\up3(03))總樣本，這樣的抽樣方法稱為eq \(□,\s\up3(04))分層隨機抽樣．
(1)層：每一個eq \(□,\s\up3(05))子總體稱為層．
(2)比例分配：在分層隨機抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成eq \(□,\s\up3(06))比例，那么稱這種樣本量的分配方式為eq \(□,\s\up3(07))比例分配．
知識點二 分層隨機抽樣的步驟
(1)分層：按某種特征將總體分成若干部分，分層需遵循eq \(□,\s\up3(01))不重復、不遺漏的原則．
(2)按比例確定每層抽取個體的個數(shù)，抽取比例由每層個體占eq \(□,\s\up3(02))總體的比例確定．
(3)各層分別按eq \(□,\s\up3(03))簡單隨機抽樣的方法抽取．
(4)綜合每層抽樣，組成樣本．
知識點三 樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)
1．在分層隨機抽樣中，如果層數(shù)分為2層，第1層和第2層包含的個體數(shù)分別為M和N，抽取的樣本量分別為m和n.我們用X1，X2，…，XM表示第1層各個個體的變量值，用x1，x2，…，xm表示第1層樣本的各個個體的變量值；用Y1，Y2，…，YN表示第2層各個個體的變量值，用y1，y2，…，yn表示第2層樣本的各個個體的變量值，則各層個體及樣本特征可由下表表示出來：
3．總體平均數(shù)eq \(W,\s\up6(－))可由樣本平均數(shù)eq \(w,\s\up6(－))來估計．
eq \(W,\s\up6(－))＝eq \(□,\s\up3(05))eq \f(M,M＋N)eq \(x,\s\up6(－))＋eq \f(N,M＋N)eq \(y,\s\up6(－))＝eq \(□,\s\up3(06))eq \f(m,m＋n)eq \(x,\s\up6(－))＋eq \f(n,m＋n)eq \(y,\s\up6(－))＝eq \(w,\s\up6(－)).
知識點四 獲取數(shù)據(jù)的途徑
統(tǒng)計學是通過eq \(□,\s\up3(01))收集數(shù)據(jù)和eq \(□,\s\up3(02))分析數(shù)據(jù)來認識未知現(xiàn)象的．獲取數(shù)據(jù)的一些基本途徑有：eq \(□,\s\up3(03))通過調查獲取數(shù)據(jù)、eq \(□,\s\up3(04))通過試驗獲取數(shù)據(jù)、eq \(□,\s\up3(05))通過觀察獲取數(shù)據(jù)、eq \(□,\s\up3(06))通過查詢獲取數(shù)據(jù)．
1．分層隨機抽樣的特點
由于層與層之間有明顯的區(qū)別，而層內個體間的差異不明顯，在抽取樣本時，一般在每層抽樣時隨機抽樣，以保證公平、公正，在實際操作時，應先計算抽樣比k＝eq \f(樣本量,總體個數(shù))，然后再計算每層需要抽取的個數(shù)：抽樣比×該層個體數(shù)目＝eq \f(樣本量,總體個數(shù))×該層個體數(shù)目．
2．分層隨機抽樣的適用條件
分層隨機抽樣盡量利用事先所掌握的各種信息，并充分考慮保持樣本結構與總體結構的一致性，這對提高樣本的代表性非常重要．當總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層隨機抽樣的方法．
1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)在分層隨機抽樣中，每層被抽到的個體數(shù)是一樣的．( )
(2)分層隨機抽樣中每個個體被抽到的可能性不一樣．( )
(3)樣本平均數(shù)一定大于總體平均數(shù)．( )
答案 (1)× (2)× (3)×
2．做一做

(1)為調查某班學生的平均身高，從50名學生中抽取5名，因為男生的身高和女生的身高有顯著不同，所以獲取樣本時宜采用________抽樣．
(2)一個班共有54人，其中男女人數(shù)比為5∶4，若抽取9人參加教改調查會，則應抽取男同學________人．
(3)已知數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4的平均數(shù)為2，則數(shù)據(jù)3x1,3x2,3x3,3x4的平均數(shù)是________．
答案 (1)分層隨機 (2)5 (3)6
題型一 分層隨機抽樣的概念
例1 (1)某政府機關在編人員共100人，其中副處級以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上級部門為了了解該機關對政府機構改革的意見，要從中抽取20人，用下列哪種方法最合適( )
A．抽簽法B．簡單隨機抽樣法
C．分層隨機抽樣法D．隨機數(shù)法
(2)分層隨機抽樣又稱類型隨機抽樣，即將相似的個體歸入一類(層)，然后每類抽取若干個個體構成樣本，若分層隨機抽樣要保證每個個體等可能抽樣，必須進行( )
A．每層等可能抽樣
B．每層可以不等可能抽樣
C．所有層按同一抽樣比等可能抽樣
D．所有層抽取個體數(shù)量相同
[解析] (1)總體由差異明顯的三部分構成，應選用分層隨機抽樣法．
(2)保證每個個體等可能的被抽取是簡單隨機抽樣和比例分配的分層隨機抽樣的共同特征，為了保證這一點，分層隨機抽樣時必須在所有層都按同一抽樣比等可能抽取．
[答案] (1)C (2)C
使用分層隨機抽樣的原則
(1)將相似的個體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個個體互不交叉，即遵循不重復、不遺漏的原則．
(2)比例分配的分層隨機抽樣為保證每個個體等可能入樣，需遵循在各層中進行簡單隨機抽樣，使每層樣本數(shù)量與每層個體數(shù)量的比等于抽樣比．
下列問題中，最適合用分層隨機抽樣方法抽樣的是( )
A．某電影院有32排座位，每排有40個座位，座位號是1～40.有一次報告會坐滿了聽眾，報告會結束以后為聽取意見，要留下32名聽眾進行座談
B．從10臺冰箱中抽出3臺進行質量檢查
C．某鄉(xiāng)農田有山地8000畝，丘陵12000畝，平地24000畝，洼地4000畝，現(xiàn)抽取農田480畝估計全鄉(xiāng)農田平均產量
D．從50個零件中抽取5個做質量檢驗
答案 C
解析 A的個體沒有呈現(xiàn)出較大差異，不適合用分層隨機抽樣法；B的總體容量較小，用簡單隨機抽樣法比較方便；C總體容量較大，且各類田地的產量差別很大，宜采用分層隨機抽樣方法；D與B類似.
題型二 分層隨機抽樣的應用
例2 一個單位有職工500人，其中不到35歲的有125人，35歲至49歲的有280人，50歲及50歲以上的有95人，為了了解這個單位職工與身體狀態(tài)有關的某項指標，要從中抽取100名職工作為樣本，若職工年齡與這項指標有關，應該怎樣抽?。?br>[解] 用比例分配的分層隨機抽樣來抽取樣本，步驟如下：
(1)分層．按年齡將500名職工分成三層：不到35歲的職工；35歲至49歲的職工；50歲及50歲以上的職工．
(2)確定每層抽取個體的個數(shù)．抽樣比為eq \f(100,500)＝eq \f(1,5)，則在不到35歲的職工中抽取125×eq \f(1,5)＝25(人)；
在35歲至49歲的職工中抽取280×eq \f(1,5)＝56(人)；
在50歲及50歲以上的職工中抽取95×eq \f(1,5)＝19(人)．
(3)在各層分別按隨機數(shù)法抽取樣本．
(4)匯總每層抽樣，組成樣本．
利用比例分配的分層隨機抽樣抽取樣本的操作步驟
某電視臺在因特網(wǎng)上就觀眾對某一節(jié)目的喜愛程度進行調查，參加調查的總人數(shù)為12000人，其中持各種態(tài)度的人數(shù)如下表所示：
電視臺為了進一步了解觀眾的具體想法和意見，打算從中再抽取60人進行更為詳細的調查，應怎樣進行抽樣？
解 采用比例分配的分層隨機抽樣的方法，抽樣比為eq \f(60,12000)＝eq \f(1,200).
“很喜愛”的有2435人，應抽取2435×eq \f(1,200)≈12(人)；
“喜愛”的有4567人，應抽取4567×eq \f(1,200)≈23(人)；
“一般”的有3926人，應抽取3926×eq \f(1,200)≈20(人)；
“不喜愛”的有1072人，應抽取1072×eq \f(1,200)≈5(人)．
因此，采用分層隨機抽樣的方法在“很喜愛”“喜愛”“一般”“不喜愛”的人中應分別抽取12人、23人、20人、5人.
題型三 分層隨機抽樣的綜合應用
例3 某校高一年級有24個班，共1000名學生，他們參加了一次數(shù)學測試．學校統(tǒng)計了所有學生的成績，得到下列統(tǒng)計圖．
(1)求該校高一年級學生本次測試成績的平均數(shù)．
(2)假設要抽取300名學生，按照比例分配的分層隨機抽樣的方法，應抽取男生多少名？女生多少名？
[解] (1)由題意并結合扇形統(tǒng)計圖，可知男生共有1000×60%＝600(名)，女生共有1000×40%＝400(名)．由成績的平均數(shù)條形圖可得，該校高一年級學生本次測試成績的平均數(shù)eq \(x,\s\up6(－))＝(80×600＋82.5×400)÷1000＝81(分)．
(2)抽取300名學生，采用比例分配的分層隨機抽樣的方法，則男生應抽取600×eq \f(300,1000)＝180(名)，女生應抽取400×eq \f(300,1000)＝120(名)．
(1)解決統(tǒng)計問題要做好數(shù)據(jù)的處理和數(shù)據(jù)的分析．
(2)條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)，扇形統(tǒng)計圖直接反映部分在總體的百分比大?。?br>有4萬個不小于70的兩位數(shù)，從中隨機抽取了3000個數(shù)，統(tǒng)計如下表：
請根據(jù)表格中的信息，估計這4萬個數(shù)的平均數(shù)約為( )
A．92.16B．85.23
C．84.73D．77.97
答案 B
解析 這3000個數(shù)的平均數(shù)為：
eq \f(78.1×800＋85×1300＋91.9×900,3000)＝85.23，
于是用樣本的平均數(shù)去估計總體的平均數(shù)，則這4萬個數(shù)的平均數(shù)約為85.23.
題型四 獲取數(shù)據(jù)的途徑
例4 簡單設計一份問卷，調查學生對高一各學科的態(tài)度．
[解] 請按自己的感受把下面這些學科的序號填在空格里．
①語文 ②數(shù)學 ③外語 ④物理 ⑤化學 ⑥生物 ⑦歷史 ⑧地理 ⑨政治 ⑩體育 ?藝術(音樂、美術) ?技術
調查問卷中問題設計的要求
(1)問卷中的問題必須設計詳細，以便被調查者順利回答．
(2)把比較容易的，不涉及個人的問題排在比較靠前的位置，較難的、涉及個人的問題放在后面．
為調查小區(qū)平均每戶居民的月用水量，下面是三名同學設計的方案：
學生甲：我把這個用水量調查表放在互聯(lián)網(wǎng)上，只要登陸網(wǎng)站的人就可以看到這張表，他們填的表可以很快地反饋到我的電腦中，這樣就可以很快估算出小區(qū)平均每戶居民的月用水量；
學生乙：我給我們居民小區(qū)的每一個住戶發(fā)一張用水調查表，只要一兩天就可以統(tǒng)計出小區(qū)平均每戶居民的月用水量；
學生丙：我在小區(qū)的電話號碼本上隨機地選出一定數(shù)量的電話號碼，然后逐個給這些住戶打電話，問一下他們的月用水量，然后就可以估算出小區(qū)平均每戶居民的月用水量．
請問：這三位同學設計的方案中哪一個較合理？你有何建議？
解 學生甲的方法得到的樣本只能夠反映上網(wǎng)居民的用水情況，它是一種方便樣本，所得到的樣本代表性差，不能很準確地獲得平均每戶居民的月用水量．
學生乙的方法實際上是普查，花費的人力、物力更多一些，但是如果統(tǒng)計過程不出錯，就可以準確地得到平均每戶居民的月用水量．
學生丙的方法是一種隨機抽樣的方法，所在小區(qū)的每戶居民都裝有電話的情況下，建議用隨機抽樣方法獲得數(shù)據(jù)，用學生丙的方法，既節(jié)省人力、物力，又可以得到比較精確的結果．
1．某校高三年級有男生500人，女生400人，為了解該年級學生的健康狀況，從男生中任意抽取25人，從女生中任意抽取20人進行調查．這種抽樣方法是( )
A．簡單隨機抽樣B．抽簽法
C．隨機數(shù)法D．分層隨機抽樣
答案 D
解析 從男生500人中抽取25人，從女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此用的是分層隨機抽樣，且樣本量的分配方式為比例分配．
2．對一個容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當選取簡單隨機抽樣和比例分配的分層隨機抽樣兩種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為P1，P2，則( )
A．P1>P2B．P1

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9.1 隨機抽樣

版本： 人教A版 (2019)

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