2．“雙星問題”的隱含條件是兩者受到的向心力相等、周期相等、角速度相同；雙星軌道半徑與質(zhì)量成反比．
3．多星問題中，每顆星做圓周運動所需的向心力由它們之間的萬有引力的合力提供，即F合＝meq \f(v2,r)，以此列向心力方程進行求解．
1．(多選)(2023·廣東揭陽市下學(xué)期第二次模擬)2018年6月14日，探月工程嫦娥四號任務(wù)“鵲橋”中繼星成功實施軌道捕獲控制，進入環(huán)繞距月球約6.5萬公里的地月拉格朗日L2點的Hal使命軌道，為嫦娥四號“照亮”“駕臨”月球背面之路．當(dāng)“鵲橋”位于如圖1所示的拉格朗日點L2上時，會在月球與地球的共同引力作用下，幾乎不消耗燃料而保持與月球同步繞地球做圓周運動．下列說法正確的是( )
圖1
A．“鵲橋”中繼星繞地球轉(zhuǎn)動的向心加速度比月球繞地球轉(zhuǎn)動的向心加速度小
B．“鵲橋”中繼星繞地球轉(zhuǎn)動的線速度比月球繞地球轉(zhuǎn)動的線速度大
C．“鵲橋”中繼星繞地球轉(zhuǎn)動的周期比地球同步衛(wèi)星的周期長
D．“鵲橋”中繼星繞地球轉(zhuǎn)動的角速度比月球繞地球轉(zhuǎn)動的角速度小
2.(多選)如圖2所示，兩顆星球組成的雙星，在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上的O點做周期相同的勻速圓周運動．現(xiàn)測得兩顆星之間的距離為L，質(zhì)量之比為m1∶m2＝3∶2，下列說法中正確的是( )
圖2
A．m1、m2做圓周運動的線速度之比為2∶3
B．m1、m2做圓周運動的角速度之比為3∶2
C．m1做圓周運動的半徑為eq \f(2,5)L
D．m2做圓周運動的半徑為eq \f(2,5)L
3．(多選)(2023·云南大姚縣一中模擬)引力波探測于2017年獲得諾貝爾物理學(xué)獎．雙星的運動是產(chǎn)生引力波的來源之一，假設(shè)宇宙中有一雙星系統(tǒng)由P、Q兩顆星體組成，這兩顆星繞它們連線的某一點在二者萬有引力作用下做勻速圓周運動，測得P星的周期為T，P、Q兩顆星的距離為l，P、Q兩顆星的軌道半徑之差為Δr(P星的軌道半徑大于Q星的軌道半徑)，引力常量為G，則( )
A．Q、P兩顆星的質(zhì)量差為eq \f(4π2l2Δr,GT2)
B．P、Q兩顆星的線速度大小之差為eq \f(2πΔr,T)
C．P、Q兩顆星的運動半徑之比為eq \f(l,l－Δr)
D．P、Q兩顆星的質(zhì)量之比為eq \f(l－Δr,l＋Δr)
4．(多選)(2023·湖北宜昌市元月調(diào)考)宇宙中有許多雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點做周期相同的勻速圓周運動．研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過程中，兩星的總質(zhì)量、距離和周期均可能發(fā)生變化．如圖3所示，若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運動的周期為T，m1星線速度大小為v1，m2星線速度大小為v2，經(jīng)過一段時間演化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膃q \f(1,k)(k>1)倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎(n>1)倍，則此時雙星系統(tǒng)圓周運動的周期T′和線速度之和v1′＋v2′是( )
圖3
A．T′＝eq \r(n3k)T
B．T′＝eq \r(\f(n3,k))T
C．v1′＋v2′＝eq \f(1,\r(nk))(v1＋v2)
D．v1′＋v2′＝eq \r(nk)(v1＋v2)
5．(多選)太空中存在一些離其他恒星很遠(yuǎn)的、由三顆星體組成的三星系統(tǒng)，可忽略其他星體對它們的引力作用．已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是直線三星系統(tǒng)——三顆星體始終在一條直線上；另一種是三角形三星系統(tǒng)——三顆星體位于等邊三角形的三個頂點上．已知某直線三星系統(tǒng)A每顆星體的質(zhì)量均為m，相鄰兩顆星中心間的距離都為R；某三角形三星系統(tǒng)B的每顆星體的質(zhì)量恰好也均為m，且三星系統(tǒng)A外側(cè)的兩顆星體做勻速圓周運動的周期和三星系統(tǒng)B每顆星體做勻速圓周運動的周期相等．引力常量為G，則( )
A．三星系統(tǒng)A外側(cè)兩顆星體運動的線速度大小為v＝eq \r(\f(Gm,R))
B．三星系統(tǒng)A外側(cè)兩顆星體運動的角速度大小為ω＝eq \f(1,2R)eq \r(\f(5Gm,R))
C．三星系統(tǒng)B的運動周期為T＝4πReq \r(\f(R,5Gm))
D．三星系統(tǒng)B任意兩顆星體中心間的距離為L＝eq \r(3,\f(12,5)R)
答案精析
1．BC [根據(jù)題意知“鵲橋”中繼星繞地球轉(zhuǎn)動的周期與月球繞地球轉(zhuǎn)動的周期相同，根據(jù)ω＝eq \f(2π,T)知“鵲橋”中繼星繞地球轉(zhuǎn)動的角速度與月球繞地球轉(zhuǎn)動的角速度相等，根據(jù)a＝ω2r知“鵲橋”中繼星繞地球轉(zhuǎn)動的向心加速度比月球繞地球轉(zhuǎn)動的向心加速度大，故A、D錯誤；“鵲橋”中繼星的軌道半徑比月球繞地球的軌道半徑大，根據(jù)v＝ωr知“鵲橋”中繼星繞地球轉(zhuǎn)動的線速度比月球繞地球轉(zhuǎn)動的線速度大，故B正確；根據(jù)萬有引力提供向心力Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得T＝eq \r(\f(4π2r3,GM))，因為“鵲橋”中繼星的軌道半徑大于地球同步衛(wèi)星的軌道半徑，所以“鵲橋”中繼星繞地球轉(zhuǎn)動的周期比地球同步衛(wèi)星的周期長，故C正確．]
2．AC [設(shè)雙星m1、m2距轉(zhuǎn)動中心O的距離分別為r1、r2，雙星繞O點轉(zhuǎn)動的角速度均為ω，據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律得
Geq \f(m1m2,L2)＝m1r1ω2＝m2r2ω2，又r1＋r2＝L，m1∶m2＝3∶2
所以可解得r1＝eq \f(2,5)L，r2＝eq \f(3,5)L
m1、m2運動的線速度分別為v1＝r1ω，v2＝r2ω，
故v1∶v2＝r1∶r2＝2∶3.
綜上所述，選項A、C正確．]
3．ABD [雙星系統(tǒng)靠相互間的萬有引力提供向心力，角速度大小相等，向心力大小相等，則有：Geq \f(mPmQ,l2)＝mPrPω2＝mQrQω2，解得mP＝eq \f(l2rQω2,G)，mQ＝eq \f(l2rPω2,G)，則Q、P兩顆星的質(zhì)量差為Δm＝mQ－mP＝eq \f(l2Δrω2,G)＝eq \f(4π2l2Δr,GT2)，故A正確．P、Q兩顆星的線速度大小之差為Δv＝vP－vQ＝eq \f(2πrP,T)－eq \f(2πrQ,T)＝eq \f(2πΔr,T)，故B正確．雙星系統(tǒng)靠相互間的萬有引力提供向心力，角速度大小相等，則周期相等，所以Q星的周期為T.根據(jù)題意可知，rP＋rQ＝l，rP－rQ＝Δr，解得：rP＝eq \f(l＋Δr,2)，rQ＝eq \f(l－Δr,2)，則P、Q兩顆星的運動半徑之比為eq \f(l＋Δr,l－Δr)，C錯誤；P、Q兩顆星的質(zhì)量之比為eq \f(mP,mQ)＝eq \f(rQ,rP)＝eq \f(l－Δr,l＋Δr)，故D正確．]
4．AC [對恒星m1：Geq \f(m1m2,L2)＝m1eq \f(4π2,T2)r1，對恒星m2：Geq \f(m1m2,L2)＝m2eq \f(4π2,T2)r22，距離關(guān)系有：L＝r1＋r2，由以上三式得：T＝eq \r(\f(4π2L3,GM總))；經(jīng)過一段時間演化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膃q \f(1,k)倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時圓周運動的周期為：T′＝eq \r(n3k)T，故A正確，B錯誤．根據(jù)圓周運動知識知v1＝eq \f(2πr1,T)，v2＝eq \f(2πr2,T)，則v1＋v2＝eq \f(2π?r1＋r2?,T)＝eq \f(2πL,T)，所以v1′＋v2′＝eq \f(2πnL,T′)＝eq \f(2πnL,T\r(n3k))＝eq \f(1,\r(nk))(v1＋v2)，故C正確，D錯誤．]
5．BCD [三星系統(tǒng)A中，三顆星體位于同一直線上，兩顆星體圍繞中央星體在同一半徑為R的圓軌道上運行．其中外側(cè)的一顆星體由中央星體和另一顆外側(cè)星體的合萬有引力提供向心力，有：Geq \f(m2,R2)＋Geq \f(m2,?2R?2)＝meq \f(v2,R)，解得v＝eq \r(\f(5Gm,4R))，A錯誤；
三星系統(tǒng)A中，周期T＝eq \f(2πR,v)＝4πReq \r(\f(R,5Gm))，則其角速度為ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(1,2R)eq \r(\f(5Gm,R))，B正確；由于兩種系統(tǒng)周期相等，則三星系統(tǒng)B的運行周期為T＝4πReq \r(\f(R,5Gm))，C正確；三星系統(tǒng)B中，三顆星體位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行，如圖所示，對某顆星體，由萬有引力定律和牛頓第二定律得：2eq \f(Gm2,L2)cs30°＝meq \f(L,2cs30°)·eq \f(4π2,T2)，解得L＝eq \r(3,\f(12,5))R，D正確．]

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