2024年高考一輪復(fù)習(xí)100考點(diǎn)100講第6章   萬有引力與航天第6.3 講  雙星與多星系統(tǒng)【知識(shí)點(diǎn)精講】1．雙星模型雙星運(yùn)動(dòng)模型是指在天體運(yùn)行中，兩顆彼此相距較近，且在相互之間萬有引力作用下繞兩者連線上的某點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的行星。雙星模型是天體運(yùn)動(dòng)的一種，在宇宙中普遍存在。雙星模型特點(diǎn)：（1）兩顆星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力：由它們之間的萬有引力提供，等大反向，屬一對(duì)作用力和反作用力。（2）兩顆星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期、角速度相等，線速度與繞行半徑成正比。（3）兩顆星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與該星的質(zhì)量成反比。2．多星模型(1)定義：所研究星體的萬有引力的合力提供做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，除中央星體外，各星體的角速度或周期相同．(2)三星模型：①三顆星體位于同一直線上，兩顆質(zhì)量相等的環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運(yùn)行(如圖10甲所示)．②三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上(如圖乙所示)． (3)四星模型：①其中一種是四顆質(zhì)量相等的星體位于正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(如圖丙所示)．②另一種是三顆質(zhì)量相等的星體始終位于正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，另一顆位于中心O，外圍三顆星繞O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(如圖丁所示)．【方法歸納】.對(duì)如圖所示的雙星系統(tǒng)雙星各自所需的向心力由彼此間的萬有引力提供，即＝m1ω12r1，＝m2ω22r2兩顆星的周期及角速度都相同，即，T1＝T2，ω1＝ω2兩顆星的半徑與它們之間的距離關(guān)系為：r1＋r2＝L聯(lián)立解得兩顆星到圓心的距離r1、r2與星體質(zhì)量成反比，即＝.雙星的運(yùn)動(dòng)周期T＝2π雙星的總質(zhì)量m1＋m2＝【最新高考題精練】1. (2018·全國卷Ⅰ·20)2017年，人類第一次直接探測到來自雙中子星合并的引力波．根據(jù)科學(xué)家們復(fù)原的過程，在兩顆中子星合并前約100 s時(shí)，它們相距約400 km，繞二者連線上的某點(diǎn)每秒轉(zhuǎn)動(dòng)12圈．將兩顆中子星都看做是質(zhì)量均勻分布的球體，由這些數(shù)據(jù)、萬有引力常量并利用牛頓力學(xué)知識(shí)，可以估算出這一時(shí)刻兩顆中子星(　　)A．質(zhì)量之積   B．質(zhì)量之和C．速率之和   D．各自的自轉(zhuǎn)角速度【參考答案】　BC【名師解析】　兩顆中子星運(yùn)動(dòng)到某位置的示意圖如圖所示每秒轉(zhuǎn)動(dòng)12圈，角速度已知中子星運(yùn)動(dòng)時(shí)，由萬有引力提供向心力得＝m1ω2r1①＝m2ω2r2②l＝r1＋r2③由①②③式得＝ω2l，所以m1＋m2＝，質(zhì)量之和可以估算．由線速度與角速度的關(guān)系v＝ωr得v1＝ωr1④v2＝ωr2⑤由③④⑤式得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算．質(zhì)量之積和各自自轉(zhuǎn)的角速度無法求解．2．（2015·安徽）由三顆星體構(gòu)成的系統(tǒng)，忽略其它星體對(duì)它們的作用，存在著一種運(yùn)動(dòng)形式：三顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內(nèi)做相同角速度的圓周運(yùn)動(dòng)（圖6示為A、B、C三顆星體質(zhì)量不相同時(shí)的一般情況）。若A星體質(zhì)量為2m，B、C兩星體的質(zhì)量均為m，三角形的邊長為a，求：（1）A星體所受合力大小FA；（2）B星體所受合力大小FB；（3）C星體的軌道半徑RC；（4）三星體做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T。【名師解析】 （1）由萬有引力定律，A星體所受B、C星體的引力大小為：FBA=G = G= FCA。方向如圖4J。則合力的大小為：FA=2FBA cos30°=2 G。（2）同上，B星體所受A、C星體的引力大小分別為：FAB=G = G， FCB= G = G。方向如圖。FBx= FAB cos60°+FCB=2 G。FBy= FAB sin60°=G。則合力的大小為：FB= = G。（3）通過分析可知，圓心O在中垂線AD的中點(diǎn)，RC= =a。（4）三星體運(yùn)動(dòng)周期相同，對(duì)C星體，由FC= FB= G=mRC 解得：T=π 。 【最新模擬題精練】1. （2023福建廈門四模）我國天文學(xué)家通過“天眼”在武仙座球狀星團(tuán)中發(fā)現(xiàn)一個(gè)由白矮星P、脈沖星Q組成的雙星系統(tǒng)．如圖所示，P、Q繞兩者連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，忽略其他天體對(duì)P、Q的影響．已知P的軌道半徑大于Q的軌道半徑，P、Q的總質(zhì)量為M，距離為L，運(yùn)動(dòng)周期均為T，則（    ）．A. P的質(zhì)量小于Q的質(zhì)量 B. P的線速度小于Q的線速度C. P受到的引力小于Q受到的引力 D. 若總質(zhì)量M恒定，則L越大，T越大【參考答案】AD【名師解析】．P受到的引力與Q受到的引力為相互作用力，大小相等；設(shè)P的質(zhì)量為，Q的質(zhì)量為，由萬有引力提供向心力可得 ，可得由于P的軌道半徑大于Q的軌道半徑，可知P的質(zhì)量小于Q的質(zhì)量，故A正確，C錯(cuò)誤；根據(jù)由于P的軌道半徑大于Q的軌道半徑，可知P的線速度大于Q的線速度，故B錯(cuò)誤；根據(jù)由萬有引力提供向心力可得 ，可得若總質(zhì)量M恒定，則L越大，T越大，故D正確。2、（2023北京魯迅中學(xué)質(zhì)檢） “雙星系統(tǒng)”由相距較近的星球組成，每個(gè)星球的半徑均遠(yuǎn)小于兩者之間的距離，而且雙星系統(tǒng)一般遠(yuǎn)離其他天體，它們?cè)诒舜说娜f有引力作用下，繞某一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。如圖所示，某一雙星系統(tǒng)中A星球的質(zhì)量為m1，B星球的質(zhì)量為m2，它們球心之間的距離為L，引力常量為G，則下列說法正確的是（　　）A．B星球的軌道半徑為B．A星球運(yùn)行的周期為C．A星球和B星球的線速度大小之比為m1：m2D．若在O點(diǎn)放一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，則它受到兩星球的引力之和一定為零【參考答案】、B【名師解析】
由于兩星球的周期相同，則它們的角速度也相同，設(shè)兩星球運(yùn)行的角速度為，根據(jù)牛頓第二定律，對(duì)A星球有：對(duì)B星球有得又，得，，故A錯(cuò)誤；根據(jù) ，解得周期，B正確；A星球和B星球的線速度大小之比，C錯(cuò)誤；O點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)受到B星球的萬有引力受到A星球的萬有引力，故質(zhì)點(diǎn)受到兩星球的引力之和不為零，故D錯(cuò)誤。3.  （2023福建漳州三模）廈門大學(xué)天文學(xué)系顧為民教授團(tuán)隊(duì)利用我國郭守敬望遠(yuǎn)鏡積累的海量恒星光譜，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)處于寧靜態(tài)的中子星與紅矮星組成的雙星系統(tǒng)，質(zhì)量比約為2:1，同時(shí)繞它們連線上某點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，研究成果于2022年9月22日發(fā)表在《自然·天文》期刊上。則此中子星繞O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的（　?。?/span>A. 角速度大于紅矮星的角速度B. 軌道半徑小于紅矮星的軌道半徑C. 向心力大小約為紅矮星的2倍D. 線速度小于紅矮星的線速度【參考答案】BD【名師解析】雙星系統(tǒng)中，由于兩星在相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度相等，則雙星系統(tǒng)的角速度相等，即中子星繞O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的角速度等于紅矮星的角速度，A錯(cuò)誤；根據(jù)，解得即星體質(zhì)量越大，軌道半徑越小，根據(jù)題意中子星質(zhì)量大，可知，中子星繞O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道半徑小于紅矮星的軌道半徑，B正確；雙星系統(tǒng)中，有星體之間的萬有引力提供向心力，可知，中子星繞O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的向心力大小等于紅矮星的向心力大小，C錯(cuò)誤；根據(jù)，根據(jù)上述，雙星系統(tǒng)角速度相等，中子星的軌道半徑小一些，則中子星繞O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的線速度小于紅矮星的線速度，D正確。4. （2023河南洛陽等4市三模）在地月系統(tǒng)中，若忽略其它星球的影響，質(zhì)量為M的地球和質(zhì)量為m的月球運(yùn)動(dòng)情況如圖所示。地球和月球在相互引力的作用下都繞某一定點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且兩者的中心和O三點(diǎn)始終共線，兩者始終分別在O點(diǎn)的兩側(cè)，測得月球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T1。但我們?cè)谄匠＝铺幚韱栴}時(shí)，常常認(rèn)為月球是繞地球中心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的；這種情況下得到月球繞地球中心做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T2。則下列關(guān)系正確的是（　?。?/span>A.  B.  C.  D. 【參考答案】D【名師解析】設(shè)月球到O點(diǎn)的距離為，地球到O點(diǎn)的距離為；月球繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，有地球繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，有聯(lián)立可得若認(rèn)為月球是繞地球中心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則有可得聯(lián)立可得，故選D。5. （2023河北九師聯(lián)盟質(zhì)檢）“雙星”是宇宙中普遍存在的一種天體系統(tǒng)，這種系統(tǒng)之所以穩(wěn)定的原因之一是系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒且總動(dòng)量為0，如圖所示，A、B兩顆恒星構(gòu)成雙星系統(tǒng)，繞共同的圓心O互相環(huán)繞做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，距離不變，角速度相等，已知A的動(dòng)量大小為p，A、B的總質(zhì)量為M，A、B軌道半徑之比為k，則B的動(dòng)能為（    ）A.  B.  C.  D. 【參考答案】B【名師解析】設(shè)A、B的質(zhì)量分別為、，軌道半徑分別為、，相互間的萬有引力充當(dāng)向心力，則有根據(jù)題意綜合解得A、B組成系統(tǒng)總動(dòng)量守恒且總動(dòng)量為0，則B的動(dòng)量大小與A的動(dòng)量大小相等，即A的動(dòng)量大小為p，則B的動(dòng)能為，故選B。6. （2023重慶信息聯(lián)考卷3）如圖所示是宇宙中存在的某三星系統(tǒng)，忽略其他星體的萬有引力，三個(gè)星體A、B、C在邊長為d的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上繞同一圓心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。已知A、B、C的質(zhì)量分別為2m、3m、3m，引力常量為G，則下列說法正確的是（    ）A. 三個(gè)星體組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒B. A的周期小于B、C的周期C. A所受萬有引力的大小為D. 若B的角速度為，則A與圓心O的距離為【參考答案】AD【名師解析】該系統(tǒng)屬于穩(wěn)定的三星系統(tǒng)，三個(gè)星體的角速度、周期相同。動(dòng)量大小不變，運(yùn)動(dòng)過程中總動(dòng)量不變，A正確，B錯(cuò)誤；A所受萬有引力的大小為，C錯(cuò)誤；若B的角速度為，則也A的角速度為，則根據(jù)則A與圓心O的距離為則A與圓心O的距離為，D正確。7. (2023云南部分重點(diǎn)高中期中) 宇宙間存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的“三星系統(tǒng)”，如圖所示，三顆質(zhì)量均為M的恒星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，任意兩顆恒星的距離均為L，三顆星繞其中心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。忽略其他星體對(duì)它們的引力作用，引力常量為G，三顆恒星均可視為質(zhì)點(diǎn)。求：（1）每一顆恒星所受的萬有引力的大小；（2）每一顆恒星轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小。【參考答案】（1）；（2）【名師解析】（1）任意兩顆恒星之間的萬有引力大小則任意一顆恒星所受合力大小解得（2）每顆恒星運(yùn)動(dòng)的軌道半徑根據(jù)萬有引力提供向心力有解得8. 宇宙空間有一種由三顆星體A、B、C組成的三星體系，它們分別位于等邊三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)上，繞一個(gè)固定且共同的圓心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道如圖中實(shí)線所示，其軌道半徑rA<rB<rC.忽略其他星體對(duì)它們的作用，可知這三顆星體 (　　)A．線速度大小關(guān)系是vA>vB>vCB．加速度大小關(guān)系是aA>aB>aCC．質(zhì)量大小關(guān)系是mA>mB>mCD．所受萬有引力合力的大小關(guān)系是FA＝FB＝FC【參考答案】C【名師解析】：三星體系中三顆星的角速度ω相同，軌道半徑rA<rB<rC，由v＝rω可知vA<vB<vC，由a＝rω2可知aA<aB<aC，故A、B錯(cuò)誤；設(shè)等邊三角形ABC的邊長為a，由題意可知三顆星受到萬有引力的合力指向圓心O，有G>G，mA>mB，同理可知mB>mC，所以mA>mB>mC，故C正確；根據(jù)兩個(gè)分力的角度一定時(shí)，兩個(gè)力的大小越大，合力越大可知，FA>FB>FC，D錯(cuò)誤． 9　[2021·河南南陽市聯(lián)考](多選)為探測引力波，由中山大學(xué)領(lǐng)銜的“天琴計(jì)劃”，將向太空發(fā)射三顆完全相同的衛(wèi)星(SC1、SC2、SC3)，這三顆衛(wèi)星構(gòu)成一個(gè)等邊三角形陣列，地球恰好處于該三角形的正中心，衛(wèi)星將在以地球?yàn)橹行摹⒏叨燃s為10萬公里的軌道上運(yùn)行，針對(duì)確定的引力波源進(jìn)行引力波探測．如圖所示，這三顆衛(wèi)星在太空中的分列圖類似樂器豎琴，故命名為“天琴計(jì)劃”．已知地球同步衛(wèi)星距離地面的高度約為36萬公里．以下說法正確的是(　　)A．三顆衛(wèi)星具有相同大小的加速度B．從每顆衛(wèi)星上可以觀察到地球上大于的表面C．三顆衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的周期一定小于地球的自轉(zhuǎn)周期D．若知道引力常量G及三顆衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)周期T，則可估算出地球的密度【參考答案】：ABC【名師解析】根據(jù)G＝ma，可解得加速度a＝，由于三顆衛(wèi)星到地球的距離相等，故繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r相等，則它們的加速度大小相等，選項(xiàng)A正確；由題圖可知三顆衛(wèi)星所組成的三角形的內(nèi)角均為60°，則每顆衛(wèi)星關(guān)于地球的張角小于60°，所覆蓋地球的圓心角大于120°，故從每顆衛(wèi)星上可以觀察到地球上大于的表面，選項(xiàng)B正確；衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)由萬有引力提供向心力有G＝mr，解得周期T＝2π ，由于三顆衛(wèi)星的軌道半徑小于地球同步衛(wèi)星的軌道半徑，故三顆衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的周期小于地球同步衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的周期，即小于地球的自轉(zhuǎn)周期，選項(xiàng)C正確；若知道引力常量G及三顆衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)周期T，根據(jù)G＝mr，解得M＝，由于地球的半徑未知，不能計(jì)算地球的質(zhì)量，也不能計(jì)算出地球的體積，故不能估算出地球的密度，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．10  如圖，天文觀測中觀測到有三顆星位于邊長為l的等邊三角形三個(gè)頂點(diǎn)上，并沿等邊三角形的外接圓做周期為T的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．已知引力常量為G，不計(jì)其他星體對(duì)它們的影響，關(guān)于這個(gè)三星系統(tǒng)，下列說法正確的是(　　)A．三顆星的質(zhì)量可能不相等B．某顆星的質(zhì)量為C．它們的線速度大小均為D．它們兩兩之間的萬有引力大小為【參考答案】　BD【名師解析】　軌道半徑等于等邊三角形外接圓的半徑，r＝＝l.根據(jù)題意可知其中任意兩顆星對(duì)第三顆星的合力指向圓心，所以這兩顆星對(duì)第三顆星的萬有引力等大，由于這兩顆星到第三顆星的距離相同，故這兩顆星的質(zhì)量相同，所以三顆星的質(zhì)量一定相同，設(shè)為m，則2Gcos 30°＝m··l，解得m＝，它們兩兩之間的萬有引力F＝G＝G＝，A錯(cuò)誤，B、D正確；線速度大小為v＝＝·＝，C錯(cuò)誤．11．如圖為某雙星系統(tǒng)A、B繞其連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的示意圖，若A星的軌道半徑大于B星的軌道半徑，雙星的總質(zhì)量M，雙星間的距離為L，其運(yùn)動(dòng)周期為T，則(　　)A．A的質(zhì)量一定大于B的質(zhì)量 B．A的線速度一定大于B的線速度C．L一定，M越大，T越大 D．M一定，L越大，T越大【參考答案】　BD【名師解析】　設(shè)雙星質(zhì)量分別為mA、mB，軌道半徑分別為RA、RB，角速度相等，均為ω，根據(jù)萬有引力定律可知：G＝mAω2RA，G＝mBω2RB，距離關(guān)系為：RA＋RB＝L，聯(lián)立解得：＝，因?yàn)?/span>RA>RB，所以A的質(zhì)量一定小于B的質(zhì)量，故A錯(cuò)誤；根據(jù)線速度與角速度的關(guān)系有：vA＝ωRA、vB＝ωRB，因?yàn)榻撬俣认嗟龋霃?/span>RA>RB，所以A的線速度大于B的線速度，故B正確；又因?yàn)?/span>T＝，聯(lián)立可得周期為：T＝2π，所以總質(zhì)量M一定，兩星間距離L越大，周期T越大，故C錯(cuò)誤，D正確．12．宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠(yuǎn)的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對(duì)它們的引力作用．設(shè)四星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量均為m，半徑均為R，四顆星穩(wěn)定分布在邊長為L的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，其中L遠(yuǎn)大于R.已知萬有引力常量為G，忽略星體的自轉(zhuǎn)，則關(guān)于四星系統(tǒng)，下列說法正確的是(　　)A．四顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為B．四顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度均為 C．四顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期均為2πD．四顆星表面的重力加速度均為G【參考答案】　CD【名師解析】　如圖所示，四顆星均圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑r＝L.取任一頂點(diǎn)上的星體為研究對(duì)象，它受到其他三個(gè)星體的萬有引力的合力為F合＝G＋G.由F合＝F向＝m＝m，解得v＝，T＝2π，故A、B項(xiàng)錯(cuò)誤，C項(xiàng)正確；對(duì)于在星體表面質(zhì)量為m0的物體，受到的重力等于萬有引力，則有m0g＝G，故g＝G，D項(xiàng)正確．13. （2023北京育才中學(xué)三模）引力波探測于2017年獲得諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。雙星的運(yùn)動(dòng)是產(chǎn)生引力波的來源之一，假設(shè)宇宙中有一雙星系統(tǒng)由P、Q兩顆星體組成，這兩顆星繞它們連線的某一點(diǎn)在二者萬有引力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，測得P星的周期為T，P、Q兩顆星的距離為l，P、Q兩顆星的軌道半徑之差為△r（P星的軌道半徑大于Q星的軌道半徑），引力常量為G，求：(1)Q、P兩顆星的線速度之差△v；(2)Q、P兩顆星的質(zhì)量之差△m。【參考答案】(1)；(2)【名師解析】 (1)星的線速度大小星的線速度大小則、兩顆星的線速度大小之差為(2)雙星系統(tǒng)靠相互間的萬有引力提供向心力，角速度大小相等，向心力大小相等，則有解得則、兩顆星的質(zhì)量差為14.宇宙中存在由質(zhì)量相等的四顆星組成的四星系統(tǒng)，四星系統(tǒng)離其他恒星較遠(yuǎn)，通?？珊雎云渌求w對(duì)四星系統(tǒng)的引力作用．已觀測到穩(wěn)定的四星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是四顆星穩(wěn)定地分布在邊長為L的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，均圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)周期為T1；另一種形式是有三顆星位于邊長為L的等邊三角形的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行，其運(yùn)動(dòng)周期為T2，而第四顆星剛好位于三角形的中心不動(dòng)．試求兩種形式下，星體運(yùn)動(dòng)的周期之比T1/ T2．【名師解析】第一種形式：四顆星穩(wěn)定地分布在邊長為L的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，均圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為L/2，每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力為其它三顆星對(duì)它萬有引力的合力，即為F=G+2Gcos45°=，由=m·L/2·,解得：T1=2πL。第二種形式：有三顆星位于邊長為L的等邊三角形的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行，第四顆星剛好位于三角形的中心不動(dòng)．軌道半徑為r=L/3。每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力為其它三顆星對(duì)它萬有引力的合力，即為F=G+2Gcos30°=，由= m·L/3·,解得：T2=2πL。星體運(yùn)動(dòng)的周期之比T1/ T2=。
 

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