2．“雙星問題”的隱含條件是兩者受到的向心力相等、周期相等、角速度相同；雙星軌道半徑與質(zhì)量成反比．
3．多星問題中，每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力由它們之間的萬有引力的合力提供，即F合＝meq \f(v2,r)，以此列向心力方程進(jìn)行求解．
1．(多選)(2019·廣東揭陽(yáng)市下學(xué)期第二次模擬)2018年6月14日，探月工程嫦娥四號(hào)任務(wù)“鵲橋”中繼星成功實(shí)施軌道捕獲控制，進(jìn)入環(huán)繞距月球約6.5萬公里的地月拉格朗日L2點(diǎn)的Hal使命軌道，為嫦娥四號(hào)“照亮”“駕臨”月球背面之路．當(dāng)“鵲橋”位于如圖1所示的拉格朗日點(diǎn)L2上時(shí)，會(huì)在月球與地球的共同引力作用下，幾乎不消耗燃料而保持與月球同步繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)．下列說法正確的是( )
圖1
A．“鵲橋”中繼星繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的向心加速度比月球繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的向心加速度小
B．“鵲橋”中繼星繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度比月球繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度大
C．“鵲橋”中繼星繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的周期比地球同步衛(wèi)星的周期長(zhǎng)
D．“鵲橋”中繼星繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度比月球繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度小
2.(多選)如圖2所示，兩顆星球組成的雙星，在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上的O點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)測(cè)得兩顆星之間的距離為L(zhǎng)，質(zhì)量之比為m1∶m2＝3∶2，下列說法中正確的是( )
圖2
A．m1、m2做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度之比為2∶3
B．m1、m2做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度之比為3∶2
C．m1做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為eq \f(2,5)L
D．m2做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為eq \f(2,5)L
3．(多選)(2020·云南大姚縣一中模擬)引力波探測(cè)于2017年獲得諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)．雙星的運(yùn)動(dòng)是產(chǎn)生引力波的來源之一，假設(shè)宇宙中有一雙星系統(tǒng)由P、Q兩顆星體組成，這兩顆星繞它們連線的某一點(diǎn)在二者萬有引力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，測(cè)得P星的周期為T，P、Q兩顆星的距離為l，P、Q兩顆星的軌道半徑之差為Δr(P星的軌道半徑大于Q星的軌道半徑)，引力常量為G，則( )
A．Q、P兩顆星的質(zhì)量差為eq \f(4π2l2Δr,GT2)
B．P、Q兩顆星的線速度大小之差為eq \f(2πΔr,T)
C．P、Q兩顆星的運(yùn)動(dòng)半徑之比為eq \f(l,l－Δr)
D．P、Q兩顆星的質(zhì)量之比為eq \f(l－Δr,l＋Δr)
4．(多選)(2019·湖北宜昌市元月調(diào)考)宇宙中有許多雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過程中，兩星的總質(zhì)量、距離和周期均可能發(fā)生變化．如圖3所示，若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，m1星線速度大小為v1，m2星線速度大小為v2，經(jīng)過一段時(shí)間演化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膃q \f(1,k)(k>1)倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎(n>1)倍，則此時(shí)雙星系統(tǒng)圓周運(yùn)動(dòng)的周期T′和線速度之和v1′＋v2′是( )
圖3
A．T′＝eq \r(n3k)T
B．T′＝eq \r(\f(n3,k))T
C．v1′＋v2′＝eq \f(1,\r(nk))(v1＋v2)
D．v1′＋v2′＝eq \r(nk)(v1＋v2)
5．(多選)太空中存在一些離其他恒星很遠(yuǎn)的、由三顆星體組成的三星系統(tǒng)，可忽略其他星體對(duì)它們的引力作用．已觀測(cè)到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是直線三星系統(tǒng)——三顆星體始終在一條直線上；另一種是三角形三星系統(tǒng)——三顆星體位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上．已知某直線三星系統(tǒng)A每顆星體的質(zhì)量均為m，相鄰兩顆星中心間的距離都為R；某三角形三星系統(tǒng)B的每顆星體的質(zhì)量恰好也均為m，且三星系統(tǒng)A外側(cè)的兩顆星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期和三星系統(tǒng)B每顆星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期相等．引力常量為G，則( )
A．三星系統(tǒng)A外側(cè)兩顆星體運(yùn)動(dòng)的線速度大小為v＝eq \r(\f(Gm,R))
B．三星系統(tǒng)A外側(cè)兩顆星體運(yùn)動(dòng)的角速度大小為ω＝eq \f(1,2R) eq \r(\f(5Gm,R))
C．三星系統(tǒng)B的運(yùn)動(dòng)周期為T＝4πReq \r(\f(R,5Gm))
D．三星系統(tǒng)B任意兩顆星體中心間的距離為L(zhǎng)＝ eq \r(3,\f(12,5)R)
答案精析
1．BC [根據(jù)題意知“鵲橋”中繼星繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的周期與月球繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的周期相同，根據(jù)ω＝eq \f(2π,T)知“鵲橋”中繼星繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度與月球繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相等，根據(jù)a＝ω2r知“鵲橋”中繼星繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的向心加速度比月球繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的向心加速度大，故A、D錯(cuò)誤；“鵲橋”中繼星的軌道半徑比月球繞地球的軌道半徑大，根據(jù)v＝ωr知“鵲橋”中繼星繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度比月球繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度大，故B正確；根據(jù)萬有引力提供向心力Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得T＝ eq \r(\f(4π2r3,GM))，因?yàn)椤谤o橋”中繼星的軌道半徑大于地球同步衛(wèi)星的軌道半徑，所以“鵲橋”中繼星繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的周期比地球同步衛(wèi)星的周期長(zhǎng)，故C正確．]
2．AC [設(shè)雙星m1、m2距轉(zhuǎn)動(dòng)中心O的距離分別為r1、r2，雙星繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度均為ω，據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律得
Geq \f(m1m2,L2)＝m1r1ω2＝m2r2ω2，又r1＋r2＝L，m1∶m2＝3∶2
所以可解得r1＝eq \f(2,5)L，r2＝eq \f(3,5)L
m1、m2運(yùn)動(dòng)的線速度分別為v1＝r1ω，v2＝r2ω，
故v1∶v2＝r1∶r2＝2∶3.
綜上所述，選項(xiàng)A、C正確．]
3．ABD [雙星系統(tǒng)靠相互間的萬有引力提供向心力，角速度大小相等，向心力大小相等，則有：Geq \f(mPmQ,l2)＝mPrPω2＝mQrQω2，解得mP＝eq \f(l2rQω2,G)，mQ＝eq \f(l2rPω2,G)，則Q、P兩顆星的質(zhì)量差為Δm＝mQ－mP＝eq \f(l2Δrω2,G)＝eq \f(4π2l2Δr,GT2)，故A正確．P、Q兩顆星的線速度大小之差為Δv＝vP－vQ＝eq \f(2πrP,T)－eq \f(2πrQ,T)＝eq \f(2πΔr,T)，故B正確．雙星系統(tǒng)靠相互間的萬有引力提供向心力，角速度大小相等，則周期相等，所以Q星的周期為T.根據(jù)題意可知，rP＋rQ＝l，rP－rQ＝Δr，解得：rP＝eq \f(l＋Δr,2)，rQ＝eq \f(l－Δr,2)，則P、Q兩顆星的運(yùn)動(dòng)半徑之比為eq \f(l＋Δr,l－Δr)，C錯(cuò)誤；P、Q兩顆星的質(zhì)量之比為eq \f(mP,mQ)＝eq \f(rQ,rP)＝eq \f(l－Δr,l＋Δr)，故D正確．]
4．AC [對(duì)恒星m1：Geq \f(m1m2,L2)＝m1eq \f(4π2,T2)r1，對(duì)恒星m2：Geq \f(m1m2,L2)＝m2eq \f(4π2,T2)r22，距離關(guān)系有：L＝r1＋r2，由以上三式得：T＝eq \r(\f(4π2L3,GM總))；經(jīng)過一段時(shí)間演化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膃q \f(1,k)倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)的周期為：T′＝eq \r(n3k)T，故A正確，B錯(cuò)誤．根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)知v1＝eq \f(2πr1,T)，v2＝eq \f(2πr2,T)，則v1＋v2＝eq \f(2π?r1＋r2?,T)＝eq \f(2πL,T)，所以v1′＋v2′＝eq \f(2πnL,T′)＝eq \f(2πnL,T\r(n3k))＝eq \f(1,\r(nk))(v1＋v2)，故C正確，D錯(cuò)誤．]
5．BCD [三星系統(tǒng)A中，三顆星體位于同一直線上，兩顆星體圍繞中央星體在同一半徑為R的圓軌道上運(yùn)行．其中外側(cè)的一顆星體由中央星體和另一顆外側(cè)星體的合萬有引力提供向心力，有：Geq \f(m2,R2)＋Geq \f(m2,?2R?2)＝meq \f(v2,R)，解得v＝ eq \r(\f(5Gm,4R))，A錯(cuò)誤；
三星系統(tǒng)A中，周期T＝eq \f(2πR,v)＝4πReq \r(\f(R,5Gm))，則其角速度為ω＝eq \f(2π,T)＝ eq \f(1,2R) eq \r(\f(5Gm,R))，B正確；由于兩種系統(tǒng)周期相等，則三星系統(tǒng)B的運(yùn)行周期為T＝4πReq \r(\f(R,5Gm))，C正確；三星系統(tǒng)B中，三顆星體位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行，如圖所示，對(duì)某顆星體，由萬有引力定律和牛頓第二定律得：2eq \f(Gm2,L2)cs 30°＝meq \f(L,2cs 30°)·eq \f(4π2,T2)，解得L＝eq \r(3,\f(12,5))R，D正確．]

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