?第21章一元二次方程培優(yōu)卷
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、單選題
1．2023年12月29日，貴陽軌道交通2號線實現(xiàn)試運行，從白云區(qū)到觀山湖區(qū)軌道公司共設計了132種往返車票，則這段線路有多少個站點？設這段線路有x個站點，根據(jù)題意，下面列出的方程正確的是（???）
A． B．
C． D．
2．三角形的兩邊長分別為4和5，第三邊長是方程的解，則這個三角形的周長是（?????）
A．10 B．12 C．13 D．10或13
3．已知方程x2-x+2m=0有兩個實數(shù)根，則的化簡結果是（??）
A．m-1 B．m+1 C．1-m D．±（m-1）
4．一件商品的原價是100元，經(jīng)過兩次提價后的價格為121元，如果每次提價的百分率都是x，根據(jù)題意，下面列出的方程正確的是（?????）
A．100(1+x)=121 B．100(1-x)=121 C．100(1+x)2=121 D．100(1-x)2=121
5．下列方程中，沒有實數(shù)根的是（???）
A．x2-x-1=0 B．x2+1=0 C．-x2+x+2=0 D．x2=-3x
6．方程x2-9x+18=0的兩個根是等腰三角形的底和腰，則這個三角形的周長為（ ）
A．12 B．15 C．12或15 D．17或11
7．已知關于的方程 有且僅有兩個不相等的實根，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C．或a>0 D．或a>0
8．設α、β是方程 的兩個實數(shù)根，則 的值為（ ）
A．－2014 B．2014 C．2013 D．－2013
9．如圖，在平行四邊形中，于且是一元二次方程的根，則平行四邊形的周長為（??）

A． B． C． D．或
10．設x1，x2是方程x2+3x-3=0的兩個實數(shù)根，則x12+x22的值為（　　）
A．3 B．9 C． D．15

二、填空題
11．一元二次方程x2+3x+1＝0的兩根分別為x1、x2，則x1+x2+x1x2＝ ．
12．若一個三角形的兩邊長分別為2和3，第三邊長是方程的一個根，則這個三角形的周長是 .
13．關于x的方程有實數(shù)根，則a的取值范圍為 ．
14．已知a，b，c是△ABC的三邊長，若方程有兩個相等的實數(shù)根，則△ABC是 三角形．
15．若關于x的方程x2-x+sinα=0有兩個相等的實數(shù)根，則銳角α的度數(shù)為 ．
16．若關于x的一元二次方程（m+3）x2+5x+m2+2m-3=0有一個根為0，則m= ，另一根為 ．
17．對于一切不小于2的自然數(shù)n，關于x的一元二次方程x2﹣（n+2）x﹣2n2=0的兩個根記作an，bn（n≥2），= ．
18．二次函數(shù)圖象軸上方的部分沿軸翻折到軸下方，圖象的其余部分保持不變，翻折后的圖象與原圖象軸下方的部分組成一個“”形狀的新圖象，若直線與該新圖象有兩個公共點，則的取值范圍為 ．

三、解答題
19．選用適當?shù)姆椒?，解下列方程?br /> (1)
(2)(2x+3) 2=4 (2x+3) ．
20．x2﹣2x﹣15=0．（公式法）
21．解關于y的方程：by2﹣1＝y(tǒng)2+2．
22．定義新運算，對干任意實數(shù)．都有．例如：．若的值小于．請判斷方程：的根的情況．
23．已知關于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋2＝0有兩個不相等的實數(shù)根．
(1)求實數(shù)k的取值范圍．
(2)設方程的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，是否存在這樣的實數(shù)k，使得|x1|－|x2|＝成立？若存在，求出這樣的k值；若不存在，請說明理由．
24．關于x的方程（m2-8m+19）x2-2mx-13=0是否一定是一元二次方程？請證明你的結論．
25．如圖1，在△ABC的外接圓⊙O中，AB=5是⊙O的直徑，CD⊥AB， 垂足為D，且CD=2，E為弧AB 的中點．連接CE交AB于點P ，其中AD>BD ．

（1）連接OE ，求證：OE⊥AB；
（2）若線段AD與BD的長分別是關于x的方程x2－（m+2）x+n－1=0的兩個根，求m，n的值；
（3）如圖2，過P點作直線l分別交射線CA，CB（點C除外）于點M，N， 則 的值是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

參考答案：
1．B
【分析】利用列方程解應用題，仔細閱讀試題，找出等量關系為：站點數(shù)×每站票數(shù)（比站點數(shù)少1）=總票數(shù)，列方程即可．
【詳解】設這段線路有x個站點，每個站點售其它各站一張往返車票，共有(x-1)張票，
根據(jù)題意，列方程得．
故選擇：B．
【點睛】本題考查列方程解應用題，掌握列方程解應用題的方法，抓住等量關系站點數(shù)×每站票數(shù)（比站點數(shù)少1）=總票數(shù)是解決問題的關鍵．
2．C
【詳解】由方程，
可得x-4=0，x-1=0，
解得x1=4，x2=1，
然后根據(jù)三角形的三邊關系定理得，第三邊是4，
因此三角形的周長為4+4+5=13．
3．C
【分析】關于x的方程x2-x+2m=0有兩個實數(shù)根，即判別式△=b2-4ac≥0．即可得到關于m的不等式，從而求得m的范圍，代入即可得到結果．
【詳解】解：∵x2-x+2m=0有兩個實數(shù)根，
∴△=b2-4ac=8－8m≥0
∴m≤1，
∴=|m-1|=1-m，
故選：C．
【點睛】本題考查了二次根式的化簡，一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．
4．C
【詳解】由題意，可列方程為：100(1+x)2=121，
故答案為：C
5．B
【分析】分別計算每個方程根的判別式的值，從而得出答案．
【詳解】A、因為△=（-1)2-4×1×（-1)=5＞0，則此方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以A選項不符合題意；
B、因為△=02-4×1×1=-4＜0，則此方程沒有實數(shù)根，所以B選項符合題意；
C、因為△=12-4×（-1)×2=9＞0，則此方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以C選項不符合題意；
D、方程變形為x2+3x=0，因為△=32-4×1×0=9＞0，則此方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以D選項不符合題意．
故選：B．
【點睛】本題主要考查根的判別式，一元二次方程的根與△有如下關系：①當△時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當△時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當△時，方程無實數(shù)根．上面的結論反過來也成立．
6．B
【分析】先利用因式分解的方程求出一元二次方程的兩個根，然后分別討論兩個根為底邊時能否構成三角形，最后求解即可.
【詳解】解：∵x2-9x+18=0，
∴（x-3）（x-6）=0
解得：x1=6，x2=3
∵當?shù)诪?，腰為3時，由于3+3=6，不符合三角形三邊關系
∴等腰三角形的腰為6，底為3
∴周長為6+6+3=15
故選B．
【點睛】本題主要考查了解一元二次方程和構成三角形的條件，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解.
7．C
【詳解】解：原方程變形為，這是一個以為未知數(shù)的一元二次方程．
當|x-3|0．
綜合上面兩種情況，a的取值范圍是a>0或者a=-2．
8．D
【分析】先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到x2+x+2012=0，即α2+α=-2012，則α2+2α+可化為α2+α+α+β=-2012+α+β，然后利用根與系數(shù)的關系得到α+β=-1，再利用整體代入的方法計算即可．
【詳解】∵α是方程x2+x+2012=0的根，
∴α2+α+2012=0，即α2+α=-2012，
∴α2+2α+β=α2+α+α+β=-2012+α+β，
∵α，β是方程x2+x+2012=0的兩個實數(shù)根，
∴α+β=-1，
∴α2+2α+β=-2012-1=-2013．
故選D．
【點睛】考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x1+x2=，x1x2=．
9．A
【分析】先解一元二次方程求出a的值，從而可得，再利用勾股定理可得，然后根據(jù)平行四邊形的周長公式即可得．
【詳解】，
，
解得或，
是一元二次方程的根，且，
，
，
，
，
，
則平行四邊形的周長為，
故選：A．
【點睛】本題考查了解一元二次方程、勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)等知識點，正確解方程是解題關鍵．
10．D
【分析】利用根與系數(shù)的關系求出兩根之積與兩根之和，將所求式子利用完全平方公式變形后，代入即可求出值．
【詳解】∵x1，x2是一元二次方程x2+3x-3=0的兩個實數(shù)根，
∴x1+x2=-3，x1x2=-3，
則x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=9+6=15．
故答案為D．
【點睛】本題考查的知識點是一元二次方程根與系數(shù)的關系，解題關鍵是熟記一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），當b2-4ac≥0時，方程有解，設兩根分別為x1，x2，則有．
11．-2
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系： 代入計算即可．
【詳解】解：根據(jù)根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系代入：
∴
故答案為：-2．
【點睛】本題考查根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，掌握相關公式是解題關鍵．
12．
【分析】解方程，求出第三邊的長度，即可求出三角形的周長.
【詳解】,

或
解得：（舍去），
第三邊的長為：，
三角形的周長為：
故答案為
【點睛】考查一元二次方程的解法-因式分解法，三角形的周長，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關鍵.
13．
【分析】由于方程有實數(shù)根，則根的判別式△，由此建立關于a的不等式，解不等式即可求出a的取值范圍．
【詳解】∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∴△=b2?4ac=
=，
∴.
故填空答案：.
【點睛】本題考查根的判別式，解題的關鍵是掌握根的判別式.
14．直角
【分析】根據(jù)方程有兩個相等實數(shù)根，即可得到Δ=b2－4ac=0即（2b）2－4（a－c）（a+c）=0，然后利用勾股定理的逆定理判定即可.
【詳解】解：∵方程有兩個相等的實數(shù)根，
∴Δ=b2－4ac=0，
∴（2b）2－4（a－c）（a+c）=0，整理可得a2=b2+c2，
所以△ABC是直角三角形.
故答案為：直角
【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式和勾股定理的逆定理，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解.
15．30°/30度
【詳解】解：∵關于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，
∴
解得：??
∴銳角α的度數(shù)為30°．
故答案為∶30°
16． 1
【分析】先把代入方程求出的值，再把的值代入方程求解即可．
【詳解】把代入方程得：，
解得：或-3
∵，
∴
當時，原方程為：，
解得：，，
方程的另一根為．
故m的值是1，方程的另一根是．
故答案為：1，．
【點睛】本題考查了一元二次方程的根和因式分解法解一元二次方程，注意．
17．
【分析】由根與系數(shù)的關系得an+bn=n+2，an?bn=-2n2，所以（an-2）（bn-2）=anbn-2（an+bn）+4=-2n2-2（n+2）+4=-2n（n+1），則，然后代入即可求解．
【詳解】解：由根與系數(shù)的關系得an+bn=n+2，an?bn=-2n2，
所以（an-2）（bn-2）=anbn-2（an+bn）+4=-2n2-2（n+2）+4=-2n（n+1），
則

=
=
=
故答案為：
【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關系，難度較大，關鍵是根據(jù)根與系數(shù)的關系求出一般形式再進行代入求值．
18．或
【分析】畫出圖象求出直線經(jīng)過點A和原點時的b的值，結合圖象可以確定b的范圍，再求出直線與翻折后的拋物線只有一個交點時的b的值，可以利用方程組只有一組解△=0解決問題，由此再確定b的取值范圍．
【詳解】解：如圖，

當直線經(jīng)過點A(?2，0)時，b=1，
當直線經(jīng)過點O(0，0)時，b=0，
∴0

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21.1 一元二次方程

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