專題33.條件概率與統(tǒng)計(jì)初步（備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)-大一輪36個(gè)核心專題）-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

專題33.條件概率與全概率公式條件概率在新教材的地位當(dāng)然是大大提升，一方面是其重要的應(yīng)用價(jià)值，畢竟，現(xiàn)實(shí)生活中很多事件都是相互影響的，另一方面則是它為引出全概率公式做了鋪墊. 所以，在新教材與新高考中，我們務(wù)必重視條件概率的研究與應(yīng)用，2022新高考卷中均考察了條件概率，本節(jié)將對(duì)其常見(jiàn)應(yīng)用做全面的介紹，并進(jìn)一步引出全概率公式做鋪墊.一．基本原理1.條件概率定義一般地，設(shè)為兩個(gè)隨機(jī)事件，且，我們稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱條件概率．可以看到，的計(jì)算，亦可理解為在樣本空間中，計(jì)算的概率. 于是就得到計(jì)算條件概率的第二種途，即特別地，當(dāng)時(shí)，即相互獨(dú)立，則.2．條件概率的性質(zhì)設(shè)，全樣本空間定義為，則（1）；（2）如果與是兩個(gè)互斥事件，則；（3）設(shè)事件和互為對(duì)立事件，則．3.全概率公式3.完備事件組：如果樣本空間中一組事件組符合下列兩個(gè)條件：（1）；（2）.則稱是的一個(gè)完備事件組，也稱是的一個(gè)分割.4.全概率公式：設(shè)是一個(gè)完備事件組，則有.二．典例分析第一個(gè)例子是條件概率的經(jīng)典應(yīng)用，它說(shuō)明了不放回式抽簽的公平性，更重要的是，它蘊(yùn)含了全概率公式的思想.例1.從有個(gè)紅球和個(gè)藍(lán)球的袋子里，每次隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸出后不放回，試證明：第一次摸出紅球后，第二次摸出紅球的概率與第一次相同.證明：顯然，第一次摸出紅球的概率為.用表示事件“第次摸到紅球”，用表示事件“第次摸到藍(lán)球”，.那么，，且與互斥，故可得：.綜上，表明不放回抽簽與先后順序無(wú)關(guān).點(diǎn)評(píng)：上述結(jié)論的證明過(guò)程不是顯然的，通過(guò)條件概率，我們很好地給出了證明，再次說(shuō)明條件概率的應(yīng)用價(jià)值，畢竟，我們現(xiàn)實(shí)情境中很多事件之間是相互影響的.例2.銀行儲(chǔ)存卡的密碼由6位數(shù)字組成.某人在銀行自助取款機(jī)上取錢(qián)時(shí)，忘記了密碼的最后1位數(shù)字，求：（1）任意按最后1位數(shù)字，不超過(guò)2次就按對(duì)的概率；（2）如果記得密碼的最后1位是偶數(shù)，不超過(guò)2次就按對(duì)的概率.解析：（1）設(shè)“第次按對(duì)密碼”（）,那么滿足題意的情形有，故：（2）設(shè)“最后1位密碼是偶數(shù)”，則例3.（2022新高考1卷）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)査了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組60對(duì)照組1090（1）能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？（2）從該地的人群中任選一人，表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，表示事件“選到的人患有該疾病”，與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為．（i）證明：；（ii）利用該調(diào)査數(shù)據(jù)，給出的估計(jì)值，并利用（i）的結(jié)果給出的估計(jì)值．附：，解析：（1）假設(shè)患該疾病群體與未患疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣沒(méi)有差異，則，所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異；（2）（i），得證.（ii）由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，，則，，所以．注：此題第二問(wèn)的證明和計(jì)算純粹考察條件概率公式及其性質(zhì)，第三問(wèn)的計(jì)算則考察條件概率的計(jì)算，找到條件的相應(yīng)事件的樣本空間即可輕松計(jì)算.例4.甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為Xn，恰有2個(gè)黑球的概率為pn，恰有1個(gè)黑球的概率為qn．（1）求p1·q1和p2·q2；（2）求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關(guān)系式和Xn的數(shù)學(xué)期望E(Xn)(用n表示) ．分析：假設(shè)表示次取球后甲口袋有個(gè)黑球，表示次取球后甲口袋有個(gè)黑球，表示一次操作甲乙都取的是白球，表示一次操作甲取的是白球同時(shí)乙取的是黑球，表示一次操作甲取的是黑球同時(shí)乙取的是白球）.先分析事件的概率，分如下三種情況：當(dāng)?shù)?/span>次操作后，甲口袋有個(gè)黑球，只需要來(lái)個(gè)白球同時(shí)取一個(gè)白球就完成，概率公式；當(dāng)?shù)?/span>次操作后，甲口袋有個(gè)黑球，只需要來(lái)個(gè)黑球取個(gè)白球就完成，概率公式；當(dāng)?shù)?/span>次操作后，甲口袋有個(gè)黑球，不可能取一次球得到兩個(gè)球，這種情況不滿足，類似可以計(jì)算事件的概率，這樣的話，，類似可得.解：（1），，（2），，因此，從而，即.又的分布列為 012 故.例5.（2022新高考2卷）在某地區(qū)進(jìn)行流行病調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100名某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖．（1）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）（2）估計(jì)該地區(qū)一人患這種疾病年齡在區(qū)間的概率．（3）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)的年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?/span>，從該地區(qū)任選一人，若此人年齡位于區(qū)間，求此人患該種疾病的概率．（樣本數(shù)據(jù)中的患者年齡位于各地區(qū)的頻率作為患者年齡位于該區(qū)間的概率，精確到）解析：（1）平均年齡（歲）（2）設(shè)，則（3）設(shè)，，則由條件概率公式，得

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