專題14. 數(shù)量積計(jì)算拔高拓展（備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)-大一輪36個(gè)核心專題）-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

專題14.數(shù)量積計(jì)算中的兩個(gè)重要的二級(jí)結(jié)論一．基本結(jié)論結(jié)論1：如圖1，，特別地，若點(diǎn)在線段的中垂線上時(shí)，. 如圖1 如圖2進(jìn)一步，外心性質(zhì)：如圖，為的外心，證明：1.；，同理可得等.2.，同理可得等.3.，同理可得等.結(jié)論2.如圖2，人教版必修二第22頁練習(xí)3設(shè)置了這樣的問題：求證：.若我們將這個(gè)結(jié)論進(jìn)一步幾何化，就可以得到一把處理數(shù)量積范圍問題的利器：極化恒等式.下面我先給出這道習(xí)題的證明，再推出該恒等式.證明：由于，兩式相減可得： . 特別，在中，設(shè)，點(diǎn)為中點(diǎn)，再由三角形中線向量公式可得：(極化恒等式). 二．典例分析例1.如圖，,是圓上的兩點(diǎn)，若，則弦長(zhǎng)為______.例2.已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則的取值范用是（）A. B. C. D. 解析：的模為2，根據(jù)正六邊形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范圍是，結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，可知等于的模與在方向上的投影的乘積，所以的取值范圍是，故選：A.例3.已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，為原點(diǎn)，則的最大值為_______.解析：根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，是指與在方向上的投影的乘積.當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，最大為，此時(shí).例4．已知是長(zhǎng)為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是( )A． B． C． D．解析：（方法1.幾何法）設(shè)點(diǎn)為中點(diǎn)，可得，再設(shè)中點(diǎn)為，這樣用極化恒等式可知：，在等邊三角形中，，故取最小值當(dāng)且僅當(dāng)取最小，即，故.（方法2.坐標(biāo)法）以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，由于，，．設(shè)，，，，故，則其最小值為，此時(shí)，．例5.在中，，，．為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是　　A．， B．， C．， D．，解析：取中點(diǎn)，由向量的加法知，，從而.所以求的最值轉(zhuǎn)化為求線段中點(diǎn)到單位圓上動(dòng)點(diǎn)的距離的最值.在中，.設(shè)直線與單位圓相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)，處時(shí)，分別取得最小值和最大值，從而的取值范圍是.一般地，當(dāng)是定點(diǎn)且是定值時(shí)，滿足向量方程的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以線段的中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，這是向量方程的幾何意義. 例6．已知中，∠C＝90°，BC＝2，D為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則______．解析：.故答案為：例7．在邊長(zhǎng)為4的菱形中，，為中點(diǎn)，為平面內(nèi)一點(diǎn)，若，A．16 B．14 C．12 D．8解析：由可得：，故在中垂線上，由投影的定義可得：.再根據(jù)余弦定理可得：，故可得選B. 例8.如圖，為的外心，為鈍角，是邊的中點(diǎn)，則的值為（）A.　4　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. 思路：外心在上的投影恰好為它們的中點(diǎn)，分別設(shè)為，所以在上的投影為，而恰好為中點(diǎn)，故考慮，所以答案：B 例9.已知A、B是圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，，若M是線段的中點(diǎn)，則的值為（）A.3 B. C.2 D.解析：如下圖2所示，由知A、B、C三點(diǎn)共線，所以，因?yàn)?/span>是中點(diǎn)，所以，故，易求得，從而.例10．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，點(diǎn)O是的外心，．（1）求角A；（2）若外接圓的周長(zhǎng)為，求周長(zhǎng)的取值范圍，解析：（1）過點(diǎn)O作AB的垂線，垂足為D，因?yàn)?/span>O是的外心，所以D為AB的中點(diǎn)，所以，同理，所以，由正弦定理邊化角得：所以整理得：因?yàn)?/span>，所以所以，即又，所以，得（2）記外接圓的半徑為R，因?yàn)?/span>外接圓的周長(zhǎng)為，所以，得所以周長(zhǎng)由（1）知，所以因?yàn)?/span>，所以所以所以，即所以周長(zhǎng)的取值范圍為

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