專題7.拐點(diǎn)切線與拐點(diǎn)偏移的應(yīng)用一．基本原理拐點(diǎn)是函數(shù)凸凹性發(fā)生轉(zhuǎn)換的點(diǎn)，即由凸轉(zhuǎn)凹，或者由凹轉(zhuǎn)凸，即，當(dāng)時，或，當(dāng)時，或.1.拐點(diǎn)切線如圖，點(diǎn)為函數(shù)的拐點(diǎn)，做點(diǎn)處的切線，可以看到，具有單個拐點(diǎn)的函數(shù)可以看作是個凸函數(shù)和個凹函數(shù)通過拐點(diǎn)進(jìn)行縫合，它們在縫合點(diǎn)處具有相同的切線，這條切線將平面分別兩個半平面，一半包含一個凸函數(shù)，另一半包含一個凹函數(shù)2.拐點(diǎn)偏移近兩年，雙變量拐點(diǎn)偏移的問題陸續(xù)出現(xiàn)，不同于極值點(diǎn)偏移，拐點(diǎn)偏移的處理手法相對單一，主要集中于構(gòu)造偏差函數(shù).本節(jié)，我們來介紹以拐點(diǎn)偏移為背景的命題.無偏移                                         偏移之后                                                                              所以，拐點(diǎn)偏移類的題目的命制特點(diǎn)便是：已知函數(shù)滿足，證明：或者，讀者應(yīng)該注意其與極值點(diǎn)偏移在命題表述上的區(qū)別. 下面我們通過幾個例題來展示拐點(diǎn)偏移類問題的解法，其依然是構(gòu)造偏差函數(shù)來證明偏移.二．典例分析例1.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)各有一個極值點(diǎn).（1）求的最大值； （2）當(dāng)時，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，若在點(diǎn)A處穿過的圖象（即動點(diǎn)在點(diǎn)A附近沿曲線運(yùn)動，經(jīng)過點(diǎn)A時，從的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)），求函數(shù)的表達(dá)式.解析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)分別有一個極值點(diǎn)，所以在區(qū)間內(nèi)分別有一個實(shí)根，設(shè)兩實(shí)根為，（<），則，且，于是，，且當(dāng)，，即，時等號成立，故的最大值是16（2）由知在點(diǎn)處的切線的方程是，即，因?yàn)榍芯€在點(diǎn)A處穿過的圖象所以在兩邊附近的函數(shù)值異號，則不是的極值點(diǎn)，而，且，若，則和都是的極值點(diǎn)，所以，即，又由得，故.例2.已知函數(shù)，則過點(diǎn)恰能作曲線的兩條切線的充分條件可以是（    ）A． B．C． D．解析：（方法1）由，得，設(shè)切點(diǎn)為，則切線的斜率為，所以有，整理得，由題意可知此方程有且恰有兩個解，令，，，令，則，所以在上遞增，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，①當(dāng)，即時，當(dāng)時，，則遞增，當(dāng)時，，則遞減，當(dāng)時，，則遞增，所以只要或，即或；②當(dāng)，即時，當(dāng)時，，則遞減，當(dāng)時，，則遞增，所以只要，即，而；③當(dāng)，即時，當(dāng)時，，則遞增，當(dāng)時，，則遞減，當(dāng)時，，則遞增，當(dāng)時，，所以只要或，由，得，由得；④當(dāng)時，，所以在上遞增，所以函數(shù)至多有一個零點(diǎn)，不合題意；綜上：時，；時，或；時，或，故A正確，B錯誤，C錯誤，D正確.故選：AD.（方法2）注意到表示點(diǎn)在直線上，表示點(diǎn)在直線的下方，表示點(diǎn)在直線的上方.由于的圖像以及在拐點(diǎn)處的切線，得到當(dāng)時，過點(diǎn)恰能作曲線的兩條切線，其中一條切線是，另一條切線橫坐標(biāo)大于.當(dāng)時，比如，過點(diǎn)只能作曲線的一條切線.當(dāng)時，過點(diǎn)能作曲線的三條切線，其中一條切線的切點(diǎn)橫坐標(biāo)大于且小于，另外兩條切線的切點(diǎn)橫坐標(biāo)大于.當(dāng)時，過點(diǎn)能作曲線的兩條切線，其中一條切線的切點(diǎn)橫坐標(biāo)且小于，另外一條切線的切點(diǎn)橫坐標(biāo)大于.綜上，過點(diǎn)恰能作曲線的兩條切線的充分條件可以是和.選. 例3. 已知函數(shù)．（1）若在處導(dǎo)數(shù)相等，證明：；（2）若，證明：對于任意，直線與曲線有唯一公共點(diǎn)．解析：（1）．令，即關(guān)于的二次方程的兩個相異根分別為，則，解得．所以．令，則在區(qū)間上恒成立．所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，因此，得證．（2）由（1）知，交點(diǎn)必存在，只證唯一性．，得的拐點(diǎn)為．而的圖象在拐點(diǎn)處的切線l方程為，即．此時切線l穿過的圖象，與的圖象只有一個交點(diǎn)，所以當(dāng)時，直線與的圖象只有一個交點(diǎn)．   例4．已知函數(shù)，其定義域?yàn)?/span>.（其中常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)）（1）求函數(shù)的遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)為定義域上的增函數(shù)，且，證明: .解析：（2）∵函數(shù)為上的增函數(shù)，∴，即，注意到，故，∴不妨設(shè)，欲證，只需證，只需證，即證，即證，令，，只需證，∴ ，下證，即證，由熟知的不等式可知，當(dāng)時，即，∴ ，易知當(dāng)時，，∴，∴，∴，即單調(diào)遞增，即，從而得證.     

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