專題31.二項(xiàng)分布中的兩類最值問題研究一．基本原理1．重伯努利試驗(yàn)的概念只包含兩個可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)，將一個伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為重伯努利試驗(yàn)．2．重伯努利試驗(yàn)具有如下共同特征（1）同一個伯努利試驗(yàn)重復(fù)做次；（2）各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立．3．二項(xiàng)分布一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，則的分布列為：，如果隨機(jī)變量的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記作4．一般地，可以證明：如果，那么.5. 二項(xiàng)分布的兩類最值（1）當(dāng)給定時，可得到函數(shù)，這個是數(shù)列的最值問題..分析：當(dāng)時，，隨值的增加而增加；當(dāng)時，，隨值的增加而減少.如果為正整數(shù)，當(dāng)時，，此時這兩項(xiàng)概率均為最大值.如果為非整數(shù)，而取的整數(shù)部分，則是唯一的最大值.注：在二項(xiàng)分布中，若數(shù)學(xué)期望為整數(shù)，則當(dāng)隨機(jī)變量等于期望時，概率最大. （2）當(dāng)給定時，可得到函數(shù)，這個是函數(shù)的最值問題，這可以用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值與最值點(diǎn).分析：當(dāng)時，由于當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時，取得最大值，.又當(dāng)，當(dāng)時，，從而無最小值.二．典例分析例1.某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時，先從這箱產(chǎn)品中任取件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立．（1）記件產(chǎn)品中恰有件不合格品的概率為,求的最大值點(diǎn)；（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了件，結(jié)果恰有件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付元的賠償費(fèi)用．（i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為，求;（ii）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？解析：（1）件產(chǎn)品中恰有件不合格品的概率為.因此.令，得.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以的最大值點(diǎn)為；（2）略.例2．某綜藝節(jié)目中，有一個盲擰魔方游戲，就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進(jìn)行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原魔方．為了解某市盲擰魔方愛好者的水平狀況，某興趣小組在全市范圍內(nèi)隨機(jī)抽取了100名盲擰魔方愛好者進(jìn)行調(diào)查，得到的情況如表所示：用時/秒[5,10]（10,15]（15,20]（10,15]男性人數(shù)1522149女性人數(shù)511177以這100名盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的頻率，代替全市所有盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的概率，每位盲擰魔方愛好者用時是否超過10秒相互獨(dú)立．若該興趣小組在全市范圍內(nèi)再隨機(jī)抽取20名盲擰魔方愛好者進(jìn)行測試，其中用時不超過10秒的人數(shù)最有可能（即概率最大）是（       ）A．2 B．3 C．4 D．5解析：根據(jù)題意得，1名盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的概率為，設(shè)隨機(jī)抽取的20名盲擰魔方愛好者中用時不超過10秒的人數(shù)為，則，其中，，當(dāng)時，由，得，化簡得，解得，又，所以，所以這20名盲擰魔方愛好者中用時不超過10秒的人數(shù)最有可能是4．故選：C．注：此題亦可用上述結(jié)論，由于數(shù)學(xué)期望為整數(shù)，則當(dāng)隨機(jī)變量等于期望時，概率最大，故.例3.學(xué)習(xí)強(qiáng)國中有兩項(xiàng)競賽答題活動，一項(xiàng)為“雙人對戰(zhàn)”，另一項(xiàng)為“四人賽”．活動規(guī)則如下：一天內(nèi)參與“雙人對戰(zhàn)”活動，僅首局比賽可獲得積分，獲勝得2分，失敗得1分；一天內(nèi)參與“四人賽”活動，僅前兩局比賽可獲得積分，首局獲勝得3分，次局獲勝得2分，失敗均得1分．已知李明參加“雙人對戰(zhàn)”活動時，每局比賽獲勝的概率為；參加“四人賽”活動（每天兩局）時，第一局和第二局比賽獲勝的概率分別為p，．李明周一到周五每天都參加了“雙人對戰(zhàn)”活動和“四人賽”活動（每天兩局），各局比賽互不影響．（1）求李明這5天參加“雙人對戰(zhàn)”活動的總得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)李明在這5天的“四人賽”活動（每天兩局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概率為．求p為何值時，取得最大值．解析：（1）分布列如下：5678910所以（分）；（2）解：設(shè)一天得分不低于3分為事件，則，則恰有3天每天得分不低于3分的概率，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以當(dāng)時，取得最大值.例5．通過歷次考試，學(xué)生容易在多選題中由于多選和錯選致誤，因此決定為自己所帶的兩個班級的學(xué)生命制一套滿分為100分的多項(xiàng)選擇題專題卷，已知這兩個班共有學(xué)生100名，陳老師根據(jù)兩個班學(xué)生的考試成績制作了如下表所示的頻率分布表：分值頻率（1）若每個分組取中間值作代表，試求兩個班學(xué)生的成績的平均值；（2）為了更好地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)政治的熱情，陳老師決定組建政治興趣小組，若采取分層抽樣的方法從兩個班中成績?yōu)?/span>和的學(xué)生中抽取5人，再從中確定3人為小組組長，如果用表示小組組長來自成績?yōu)?/span>的學(xué)生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）為了更好地了解學(xué)生多項(xiàng)選擇題失分的原因，陳老師從兩個班中隨機(jī)抽取20名學(xué)生進(jìn)行深入交流，若這20名學(xué)生中有名學(xué)生本次考試成績在之間的概率為（，），求取得最大值時的值（將頻率視為概率）.解析：（1）兩個班學(xué)生的成績的平均值為.（2）由頻率分布表可知，若采取分層抽樣的方法從兩個班中成績?yōu)?/span>和的學(xué)生中抽取5人，則應(yīng)從成績?yōu)?/span>和的學(xué)生中各抽取3人和2人，所以的可能取值為1，2，3.，，，所以的分布列為123所以的數(shù)學(xué)期望為.（3）設(shè)在抽取的20名學(xué)生中，成績在的人數(shù)為，則，所以.設(shè).當(dāng)時，，，當(dāng)時，，.所以當(dāng)時，最大.    

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