專題32.復(fù)雜事件的概率計(jì)算與常見(jiàn)賽制復(fù)雜事件的概率計(jì)算主要是依賴于互斥事件的加法公式與獨(dú)立事件的乘法公式展開(kāi)的，處理相關(guān)問(wèn)題時(shí)，主要將所求事件分步與分類列舉，找清楚目標(biāo)事件與各個(gè)子事件之間的關(guān)系，特別地，體現(xiàn)在本文所梳理的一些主要賽制（游戲規(guī)則）上，請(qǐng)學(xué)生多加留意.一．基本原理（1）善于引入變量表示事件：可用“字母+變量角標(biāo)”的形式表示事件“第幾局勝利”，例如：表示“第局比賽勝利”，則表示“第局比賽失敗”.（2）理解事件中常見(jiàn)詞語(yǔ)的含義：A,B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件為A∪B；A,B都發(fā)生的事件為AB；A,B都不發(fā)生的事件為；A,B恰有一個(gè)發(fā)生的事件為A∪B；A,B至多一個(gè)發(fā)生的事件為A∪B∪.（3）善于“正難則反”求概率：若所求事件含情況較多，可以考慮求對(duì)立事件的概率，再用解出所求事件概率.二．典例分析1.基本概念的考察例1. 有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（    ）A. 甲與丙相互獨(dú)立 B. 甲與丁相互獨(dú)立C. 乙與丙相互獨(dú)立 D. 丙與丁相互獨(dú)立解析： 故選：B例2. 某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立。已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，，且.記該棋手連勝兩盤的概率為p，則A．p與該棋手和甲，乙，丙的比賽次序無(wú)關(guān)  B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大      D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大解析：設(shè)棋手在第二盤與甲比賽連贏兩盤的概率為，在第二盤與乙比賽連贏兩盤的概率為，在第二盤與丙比賽連贏兩盤的概率為，由題意，所以，，所以最大，故選D.二．一些常見(jiàn)的賽制（游戲規(guī)則）賽制1.局勝制.這種規(guī)則的特點(diǎn)為一旦某方獲得次勝利即終止比賽，所以若比賽提前結(jié)束，則一定在最后一次比賽中某方達(dá)到勝.例3．甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）．根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是____________．解析：前四場(chǎng)中有一場(chǎng)客場(chǎng)輸，第五場(chǎng)贏時(shí)，甲隊(duì)以獲勝的概率是前四場(chǎng)中有一場(chǎng)主場(chǎng)輸，第五場(chǎng)贏時(shí)，甲隊(duì)以獲勝的概率是綜上所述，甲隊(duì)以獲勝的概率是2.連勝制.規(guī)定某方連勝場(chǎng)即終止比賽，所以若提前結(jié)束比賽，則最后場(chǎng)連勝且之前沒(méi)有達(dá)到場(chǎng)連勝.例4．甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽，假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的概率；（2）記為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）．解：用A表示“甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽”，表示“第局甲獲勝”， 表示“第局乙獲勝”，則（1）（2）的可能取值為2，3，4，5，故的分布列為2345.賽制3.比分差距制規(guī)定某方比對(duì)方多分即終止比賽，此時(shí)首先根據(jù)比賽局?jǐn)?shù)確定比分，在得分過(guò)程中要注意使兩方的分差小于.例5.11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束.（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲獲勝”的概率.解析：（1）由題意可知，所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”所以（2）由題意可知，包含的事件為“前兩球甲乙各得分，后兩球均為甲得分”所以賽制4.“通關(guān)制”（淘汰賽制）在比賽的過(guò)程中，如果在某一場(chǎng)失敗，則被淘汰，此類問(wèn)題要注意若達(dá)到第階段，則意味著前個(gè)階段均能通關(guān).這種類似于足球比賽中的淘汰賽.例6.甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為，（1）求甲連勝四場(chǎng)的概率；（2）求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率；（3）求丙最終獲勝的概率.解析：（1）記事件甲連勝四場(chǎng)，則；（2）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，則四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率為，所以，需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率為.（3）①四場(chǎng)比賽丙獲勝，丙在前四場(chǎng)獲勝的概率為②由下表可知：五場(chǎng)比賽丙獲勝，，，，丙五場(chǎng)比賽丙獲勝的概率為由于①②互斥，丙最終獲勝的概率為.丙的參賽情況12345事件輪空勝勝敗勝B輪空勝敗輪空勝C輪空敗輪空勝勝D注：第二問(wèn)在處理時(shí)直接列舉情況較復(fù)雜，此時(shí)可以采取正難則反的技巧.第三問(wèn)則可直接枚舉出各種可能結(jié)果，這是我們?cè)谟?jì)算復(fù)雜事件時(shí)一個(gè)重要的技巧.例7.（2021新高考1卷）. 某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問(wèn)題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束：若回答正確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分：B類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分，己知小明能正確回答A類問(wèn)題的概率為0.8，能正確回答B類問(wèn)題的概率為0.6，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).（1）若小明先回答A類問(wèn)題，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由.解析：（1）由題可知，的所有可能取值為，，．；；．所以的分布列為（2）由（1）知，．若小明先回答問(wèn)題，記為小明的累計(jì)得分，則的所有可能取值為，，．；；．所以．因?yàn)?/span>，所以小明應(yīng)選擇先回答類問(wèn)題．賽制5.聯(lián)賽制一共有局比賽，每位選手都參加局比賽，每局比賽相互獨(dú)立，最終計(jì)算全部比賽的得分分布列，這種就類似與足球比賽中的聯(lián)賽制，必須要打滿一定的場(chǎng)次. 例8.（2022全國(guó)甲卷）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒(méi)有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；（2）用表示乙學(xué)校的總得分，求的分布列與期望.解析：（1）記甲學(xué)校獲得冠軍為事件，則甲學(xué)校獲得冠軍的概率是0.6.（2）的可能取值為0,10,20,30，則的期望值為．   

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