專題26.蝴蝶定理背景下的解析幾何與應(yīng)用1.蝴蝶定理：是二次曲線Ω的一條弦，是的中點，過作Ω的兩條弦和，其中位于的同一側(cè)，直線和分別交于點，則有.2.斜率形式結(jié)論1:分別為橢圓的左、右頂點，為軸上一定點，過直線交橢圓于兩點，連接，那么.證明：過作軸，交橢圓于交于由橢圓對稱性可知：：進(jìn)而據(jù)蝴蝶定理可知：，于是可得：. 結(jié)論2[1]：設(shè)拋物線的弦過定點，過點作非水平線交于兩點，若直線與軸交于定點，直線的斜率存在且非零，則3坎迪定理如圖，過圓的弦上任意一點引任意兩條弦和，連接交于和，則.坎迪定理的推廣設(shè)是二次曲線的任意一條弦，為上任意一點，過作任意兩條弦和，連接、交直線于和.（1）若位于兩側(cè)，則；（2）若位于同一側(cè)，，則.二．典例分析例1.已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點.解析：依上述蝴蝶定理的內(nèi)容：由于過作軸，交與點，交橢圓于.顯然為橢圓弦的中點，由蝴蝶定理：，，例2．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，點，是圓上任意一點，線段的垂直平分線與半徑相交于點，設(shè)點的軌跡為曲線。（1）求曲線的方程；（2）若，設(shè)過點的直線與曲線分別交于點，其中，求證：直線必過軸上的一定點。(其坐標(biāo)與無關(guān))解析：（1）曲線的方程為：。（2）點的坐標(biāo)為直線方程為：，即，直線方程為：，即, 分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時考慮到，解得：.當(dāng)時，直線方程為：令，解得：. 此時必過點；當(dāng)時，直線方程為：，與軸交點為.綜上所述，直線必過軸上的一定點.注：依題，我們可以得到                       例3．已知橢圓的離心率為，半焦距為，且，經(jīng)過橢圓的左焦點，斜率為的直線與橢圓交于，兩點，為坐標(biāo)原點．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）設(shè)，延長，分別與橢圓交于，兩點，直線的斜率為，求證：為定值．解析：（1）由題意，得解得，∴，故橢圓的方程為．（2）設(shè)，，由已知，直線的方程為，即．由消去并整理，得．則，∵，∴，∴．∴，同理．，∵，，∴，∴為定值．注：可以看到，橢圓中的蝴蝶構(gòu)型在證明過程中會出現(xiàn)非對稱韋達(dá)結(jié)構(gòu).例4.設(shè)橢圓的左、右頂點為, 過右焦點作非水平直線與橢圓交于兩點, 記直線的斜率分別為, 試證:  為定值, 并求此定值(用的函數(shù)表示).證明：設(shè)，代入橢圓方程得，設(shè) , 則，. 兩式相除得,     .由題意知,     .  從而 .                    .                因為，所以 .四．逆向思考：斜率之商為定值，是否恒過定點？前面我們圍繞拋物線與橢圓中的“蝴蝶定理”，著力在證明斜率之商為定值！那么倘若，已知斜率之積為定值，又會出現(xiàn)什么樣的情形呢？此時我們主要注意，在二次曲線中，斜率乘積為定值的模型是很重要的一類，而斜率之商在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為斜率之積，于是我們可以看到，在一些問題中，斜率之商為定值是可以得到一類定點問題！練習(xí).（2022甲卷） 設(shè)拋物線的焦點為F，點，過F的直線交C于M，N兩點．當(dāng)直線MD垂直于x軸時，．（1）求C的方程；（2）設(shè)直線與C的另一個交點分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時，求直線AB的方程．解析：（1）拋物線的準(zhǔn)線為，當(dāng)與x軸垂直時，點M的橫坐標(biāo)為p，此時，所以，所以拋物線C的方程為.（2）設(shè)，直線，由可得，， ，，，代入拋物線方程可得，，所以，同理可得，所以又因為直線MN、AB的傾斜角分別為，所以，若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以當(dāng)最大時，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線. 

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