專題4.重要的指對組合型函數(shù)及其應(yīng)用本節(jié)我們介紹幾個重要的函數(shù)及其圖象和性質(zhì)，這些函數(shù)或是由熟悉的指對函數(shù)組合而成.對于第一類由指對函數(shù)組合而成的六個重要函數(shù)，它們都具有良好的函數(shù)性質(zhì)和圖像，是高考考察的重點對象，本節(jié)將系統(tǒng)梳理其重要的性質(zhì)，并通過例題來展示其命題手法. 一．基本原理                                                                                                  上述六個指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)組合出的新函數(shù)及其圖象是非常重要的.需要注意的是，對于函數(shù)與在處的極限值，需要由洛必達法則來計算，此處計算一個以展示其原理. ，故其圖象在處趨近于.除此之外，還需注意函數(shù)與函數(shù)的圖象在正無窮遠的特征，其它們圖象都是上去了之后就不再下穿軸.最后，要注意到與函數(shù)之間的基本關(guān)系，后者實際上是前者向上平移一個單位得到，在實際應(yīng)用中，后者出現(xiàn)的頻率也相當(dāng)之高.二．典例分析1.考察函數(shù)基本性質(zhì).例1．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有且僅有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是(    )A． B． C． D．解析：因為，所以，當(dāng)，；當(dāng)，，所以在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，，故的大致圖象如圖所示：關(guān)于的方程等價于，即或，由圖知，方程有且僅有一解，則有兩解，所以，解得，故選:C.例2．已知函數(shù)關(guān)于的不等式只有一個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是_____解析：由，令，解得，令，解得，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，故的最大值是，時，時，且，故在時，，在時，，①時，由不等式得或，而時無整數(shù)解，的解集為，整數(shù)解有無數(shù)多個，不合題意；②時，由不等式得解集為，整數(shù)解有無數(shù)多個，不合題意；③時，由不等式，得或，的解集為無整數(shù)解，只需的解集整數(shù)解只有一個， 且在上遞增，在遞減，而，這一正整數(shù)只能為3，，，綜上所述，的取值范圍是，故答案為.2.朗博不等式.朗博不等式是近年來隨著函數(shù)同構(gòu)出現(xiàn)的一個熱門的不等式，其原理如下：下面主要注意的是，那么根據(jù)指數(shù)函數(shù)的基本不等式可得：，等號成立當(dāng)且僅當(dāng).例3．若，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．解法1：因為，所以，設(shè)，則且原不等式可化為，只需．設(shè)，則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．所以，所以．故選：B．解法2：由不等式，可得.例4.已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)），.（1）若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時，對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解析1.（2）當(dāng)時，，原命題等價于對一切恒成立對一切恒成立.令   ，令，，則在上單增，又，，使即①當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在遞減，在遞增，由①知函數(shù)在單調(diào)遞增即，實數(shù)的取值范圍為.解析2.由不等式，可得.注意：朗博不等式命制的導(dǎo)數(shù)題目用通法解決時會出現(xiàn)同構(gòu)型隱零點情形，即：與這樣的基本關(guān)系，讀者在此處需特別注意.3.凸凹反轉(zhuǎn)凸凹反轉(zhuǎn)是證明不等式的一種技巧，欲證明，若可將不等式左端拆成，且的話，就可證明原不等式成立. 通常情況，我們一般選取為上凸型函數(shù)，為下凹型函數(shù)來完成證明.于是，這就需要我們熟悉高中階段常見的六個具有這樣特點的函數(shù).關(guān)于上述六個函數(shù)的性質(zhì)和圖像的應(yīng)用在之前已經(jīng)講過，本節(jié)主要的目標(biāo)就是來展示凸凹反轉(zhuǎn)技巧的基本應(yīng)用手法和命題技術(shù).例如在上面六個函數(shù)中，我們可以選取凸函數(shù)，求導(dǎo)可得：，故可得在上減，上增，于是.再考慮凹函數(shù)，則，故在處取得最大值，即. 這樣可得，即。例5.設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線為．（1）求；（2）證明：．解析：（2），從而等價于．設(shè)函數(shù)，則，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，．故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而在上的最小值為．設(shè)函數(shù)，則．所以當(dāng)時，；當(dāng)時，．故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而在上的最大值為.由于，所以當(dāng)時，，即．例6．設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的極值；（2）當(dāng)時，證明：在上恒成立．解析：（2）當(dāng)時，，下面證，即證，設(shè)，則，在上，，是減函數(shù)；在上，，是增函數(shù)．所以.設(shè)，則，在上，，是增函數(shù)；在上，，是減函數(shù)，所以.所以，即，所以，即，即在上恒成立．注：凸凹反轉(zhuǎn)技巧性較強，是一種命題的好方法，但對于應(yīng)試的考生而言，技巧性過強而難以掌握，同時，它的使用范圍也比較局限.4.指對同構(gòu)解決指對混合不等式時，常規(guī)的方法計算復(fù)雜，則將不等式變形為的結(jié)構(gòu)，即為外層函數(shù)，其單調(diào)性易于研究.常見變形方式：①；②；③；④；⑤.答題思路；1.直接變形：（1）積型：（同左）；（同右）； （取對數(shù)）.說明：取對數(shù)是最快捷的，而且同構(gòu)出的函數(shù)，其單調(diào)性一看便知.（2）商型：（同左）；（同右）；（取對數(shù)）.（3）和差型：（同左）；（同右）.2.先湊再變形： 若式子無法直接進行變形同構(gòu)，往往需要湊常數(shù)、湊參數(shù)或湊變量，如兩邊同乘以，同加上等，再用上述方式變形.常見的有：①；②；③④⑤例7.（2022全國甲卷）已知函數(shù)．（1）若,求的取值范圍；（2）證明：若有兩個零點，，則．解析：（1），令，則，于是.于是等價于在上恒成立，故.（2）由（1）知要使得有兩個零點，則假設(shè).要證明即證明，又由于在單增，即證明.下面構(gòu)造函數(shù)由于，又函數(shù)在單減，.  時在單調(diào)遞增，而 得證．例8.已知函數(shù)．（為常數(shù)）若，若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解析：由題意得：；即：因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，構(gòu)造容易得：，所以只需要滿足.例9. 若，則（     ）A.     B.    C.             D. 解析： A選項：，設(shè) ，設(shè)，則有恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以，從而存在，使得，由單調(diào)性可判斷出： ，所以在不單調(diào)，不等式不會恒成立B選項：，設(shè)可知單調(diào)遞增.所以應(yīng)該，B錯誤C選項：，構(gòu)造函數(shù)，，則在恒成立。所以在單調(diào)遞減，所以成立.D選項：，同樣構(gòu)造，由C選項分析可知D錯誤. 例10．已知函數(shù)和有相同的最大值.（1）求a；（2）證明：存在直線y=b，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列.解析：（2）由（1）知，由于時，，時，，因此只有才可能滿足題意，記，且，由（1）得在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，所以存在，使得，設(shè)，則，設(shè)，則，時，，遞減，時，，遞增，所以，所以，是增函數(shù)，時，，，又，所以存在，使得，即此時與有兩個交點，其中一個交點在內(nèi)，另一個交點在內(nèi)，同理與也有兩個交點，其中一個交點在內(nèi)，另一個交點在內(nèi)，若與和共有三個不同的交點，則其中一個交點為兩條曲線和的公共點，記其橫坐標(biāo)為，令，則，記與的三個交點的橫坐標(biāo)從左到右依次為，且滿足，且，即，又，且，且在和上分別單調(diào)，所以，即，所以為的等比中項，所以從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列.         

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