專題35.新高考視角下的全概率與貝葉斯公式一．基本原理1．全概率公式在全概率的實(shí)際問題中我們經(jīng)常會碰到一些較為復(fù)雜的概率計算，這時，我們可以用 “化整為零”的思想將它們分解為一些較為容易的情況分別進(jìn)行考慮一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，則對任意的事件，有.我們稱上面的公式為全概率公式，全概率公式是概率論中最基本的公式之一．2.貝葉斯公式設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，則對任意事件，，有 ，在貝葉斯公式中，和分別稱為先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率．二．典例分析例1.（2022長沙新高考適應(yīng)性考試）為了調(diào)動大家積極學(xué)習(xí)黨的二十大精神，某市舉辦了黨史知識的競賽．初賽采用“兩輪制”方式進(jìn)行，要求每個單位派出兩個小組，且每個小組都要參加兩輪比賽，兩輪比賽都通過的小組才具備參與決賽的資格．某單位派出甲、乙兩個小組參賽，在初賽中，若甲小組通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，乙小組通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，且各個小組所有輪次比賽的結(jié)果互不影響.（1）若該單位獲得決賽資格的小組個數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望；（2）已知甲、乙兩個小組都獲得了決賽資格，決賽以搶答題形式進(jìn)行．假設(shè)這兩組在決賽中對每個問題回答正確的概率恰好是各自獲得決賽資格的概率．若最后一道題被該單位的某小組搶到，且甲、乙兩個小組搶到該題的可能性分別是45%，55%，該題如果被答對，計算恰好是甲小組答對的概率．解析：（1）設(shè)甲乙通過兩輪制的初賽分別為事件則，由題意可得，的取值有，，所以（2）設(shè)表示事件“該單位的某小組對最后一道題回答正確”，表示事件“甲小組搶到最后一道題”，表示事件“乙小組搶到最后一道題”，則有：，則該題如果被答對，恰好是甲小組答對即為點(diǎn)評：本題第二問即考察了全概率公式與貝葉斯公式，后者雖然不做高考要求，但是可以看到，它實(shí)際就是條件概率的應(yīng)用，完全可以現(xiàn)場依據(jù)具體情況得出.再舉一道貝葉斯公式的例子例2．某人從甲地到乙地，乘火車、輪船、飛機(jī)的概率分別為0.2，0.4，0.4，乘火車遲到的概率為0.4，乘輪船遲到的概率為0.3，乘飛機(jī)遲到的概率為0.5，則這個人遲到的概率是______；如果這個人遲到了，他乘船遲到的概率是______．解析：設(shè)事件A表示“乘火車”，事件B表示“乘輪船”，事件C表示“乘飛機(jī)”，事件D表示“遲到”，則，，，，，，，由全概率公式得：；如果這個人遲到了，由貝葉斯公式得到他乘船遲到的概率為：. 故答案為：0.4；0.3三．全概率公式與隨機(jī)游走雖然貝葉斯公式不做要求，但是全概率公式已經(jīng)是新高考考查內(nèi)容了，利用全概率公式，我們可以推導(dǎo)經(jīng)典的一維隨機(jī)游走模型，即：設(shè)數(shù)軸上一個點(diǎn)，它的位置只能位于整點(diǎn)處，在時刻時，位于點(diǎn)，下一個時刻，它將以概率或者（）向左或者向右平移一個單位. 若記狀態(tài)表示：在時刻該點(diǎn)位于位置，那么由全概率公式可得：另一方面，由于，代入上式可得：.進(jìn)一步，我們假設(shè)在與處各有一個吸收壁，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)吸收壁時被吸收，不再游走.于是，.隨機(jī)游走模型是一個典型的馬爾科夫過程.進(jìn)一步，若點(diǎn)在某個位置后有三種情況：向左平移一個單位，其概率為，原地不動，其概率為，向右平移一個單位，其概率為，那么根據(jù)全概率公式可得：例3．為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗(yàn)．對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X．（1）求的分布列；（2）若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時都賦予4分，表示“甲藥的累計得分為i時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設(shè)，．（i）證明：為等比數(shù)列；（ii）求，并根據(jù)的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性．解析：（1）由題意可知所有可能的取值為：，，；；則的分布列如下：（2），，，（i）即整理可得：  是以為首項，為公比的等比數(shù)列（ii）由（i）知：，，……，作和可得：表示最終認(rèn)為甲藥更有效的.由計算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時，認(rèn)為甲藥更有效的概率為，此時得出錯誤結(jié)論的概率非常小，說明這種實(shí)驗(yàn)方案合理.注：1.雖然此時學(xué)生未學(xué)過全概率公式，但命題人也直接把給出，并沒有讓考生推導(dǎo)這個遞推關(guān)系，實(shí)際上，由前面的基本原理，我們可以看到，這就是一維隨機(jī)游走模型.例4．足球是一項大眾喜愛的運(yùn)動.2022卡塔爾世界杯揭幕戰(zhàn)將在2022年11月21日打響，決賽定于12月18日晚進(jìn)行，全程為期28天.校足球隊中的甲、乙、丙、丁四名球員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能的將球傳給另外三個人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記開始傳球的人為第1次觸球者，第次觸球者是甲的概率記為，即．（1）求（直接寫出結(jié)果即可）；（2）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并判斷第19次與第20次觸球者是甲的概率的大?。?/span>解析：（1）由題意得：第二次觸球者為乙，丙，丁中的一個，第二次觸球者傳給包括甲的三人中的一人，故傳給甲的概率為，故．（2）第次觸球者是甲的概率記為，則當(dāng)時，第次觸球者是甲的概率為，第次觸球者不是甲的概率為，則，從而，又，是以為首項，公比為的等比數(shù)列． 則，∴，，，故第19次觸球者是甲的概率大  

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