專題7.帕德逼近及應用（備戰(zhàn)2024高考數學-大一輪36個核心專題）-教案下載-教習網

專題7.帕德逼近我們通常遇到的極值點或極值點偏移問題多以二元為主，其實已經很復雜了，但近來我遇到了幾道三元的極值點問題，特別是最近的金華十校聯(lián)考壓軸題.此處想簡要的總結一下三極值點問題中的一點處理技巧.一．基本原理1.1帕德逼近給定兩個正整數，函數在處的階帕德逼近定義為：且滿足：；. 實際上，由定義可知，若令，即的階帕德逼近便是在處的泰勒逼近.這便是兩個展開之間的基本關系，換句話說，帕德逼近是比泰勒逼近使用范圍更廣的一種逼近.1.2 一些重要的帕德不等式1.3 兩個重要的三變量命題函數先介紹兩個函數：，.這兩個函數的零點要注意，首先，一定是一個零點，其次，當滿足一定條件時，還會再有兩個零點出現，并且，這兩個函數有一個很重要的特點，若，則有，這就意味著剩下的兩個零點會有隱含關系：，這個關系在解決相關多極值點問題時至關重要！要注意特殊的零點，比如上面兩個函數中的特殊點，換句話說，有的多元極值點問題就是個紙老虎，會有個別極值點（零點是可求）.注意一些可能的極值點偏移情形：如果上述可得：，當時，會有兩個零點且（下面例1會證明）.二．典例分析例1.已知函數（1）若有三個零點，求的取值范圍；（2）設的三個零點分別為，求證：.（3）設的三個零點分別為，求證：.解析：（1）若有三個零點，則.（2）依題.同時，需注意于是，由可得：，同除，且注意到，可得：.（3）依題.同時，需注意于是，由可得：，同除，且注意到，可得：.我們把上面函數包裝一下，讓它做導函數，這樣可以命制一點看起來難度更大的題目：例4.設函數.（1）當時，證明：；（2）已知恰好有個極值點.（ⅰ）求實數的取值范圍；（ⅱ）證明：.解析：（ⅰ）由于故（ⅱ）證明：此時有，設，則只需證明，求導得，所以在上單調遞增，注意得到，所以，所以只需證明，實際上，上式等價于成立，所以原不等式得證.例3.已知函數，其中．（1）求的極值；（2）設函數有三個不同的極值點．（i）求實數a的取值范圍；（ii）證明：．解析：（1）由題可得， ∴在單調遞增，∵，∴時，時，∴在單調遞減，在單調遞增，∴，無極大值；（2）（ⅰ），由題可知有三個不同的正實根，令，則，令，有三個不同的正實根、、，，∴有兩個不同的正實根，∴∴，設的兩個不同的正實根為m、n，且，此時在和單調遞增，單調遞減，又∵，∵，且，∴有三個不同的正實根，滿足題意，∴a的取值范圍是；（ⅱ）令、，由（ⅰ）知，且、為的正實根，，令，則，∴在單調遞減，在單調遞增，令，則∵，∴，令，，∴在單調遞增，∴，∴在單調遞減，∵，∴，∵，∴，∵在單調遞增，∴，∴.例4.（金華十校）已知函數，記.（1）當時，求函數的最小值；（2）若函數有三個零點，且.（ⅰ）求的取值范圍；（ⅱ）證明：.解析：注意到，故只需證明，剩下的就是例1第三問.