專題36.全國卷中的創(chuàng)新題與命題背景匯編1.二進(jìn)制問題一．重要結(jié)論1.定義：設(shè)整數(shù)，則每個正整數(shù)可唯一表示為，其中滿足，，則稱為正整數(shù)的進(jìn)制表示中的數(shù)碼. 特別地，當(dāng)時就可得到正整數(shù)的二進(jìn)制表示.2.二進(jìn)制的運算性質(zhì).（1）若，則稱為正整數(shù)的進(jìn)制表示中的數(shù)碼和，顯然.證明：由于，則，顯然可得.（2）二進(jìn)制的加法運算：“逢二進(jìn)一”. 待會通過例題予以分析.（3），其中正整數(shù)的二進(jìn)制展開式中最高次數(shù)小于.證明：由于，則，另一方面，令，則.例如：寫出的二進(jìn)制表示.解析：由于，故.注：可以看到，一個正整數(shù)的二進(jìn)制表示其實就是以為底的冪級數(shù)展開的系數(shù).二．典例分析.例.（2021新高考2卷）設(shè)正整數(shù)，其中，記，則（   ）A.                    B.C.             D.解析：由上述性質(zhì)（1），A正確.由于，則，故，則B錯誤.同理可證，C正確.最后，由于，故，D正確.2.分支過程與滅絕概率一．概率母函數(shù)[1]1.設(shè)是非負(fù)整數(shù)值的離散型隨機(jī)變量，其概率分布列為，則定義冪級數(shù)，稱為隨機(jī)變量的概率母函數(shù).2.主要性質(zhì)[1]：（1）隨機(jī)變量的概率分布由它的母函數(shù)唯一確定.即：（2）.二．分支過程[1]設(shè)最初有個物種，每隔一單位時間，一個物種可以分裂成個物種，設(shè)其對應(yīng)的概率為.假設(shè)這些物種分裂是相互獨立且具有相同的分布，令表示在時刻存在的第個物種在下一時刻（第時刻）分裂成的物種個數(shù)，表示時刻中總物種的個數(shù)，則下圖說明具體的分裂過程：三．分支過程的母函數(shù)[1]分支過程任一代的任意一個個體繁衍概率母函數(shù)均為：.四．滅絕概率：分支過程的滅絕概率是方程的最小正根.注：由四可知，關(guān)于該物種分裂的滅絕概率研究等價于去研究方程的最小正根.五．典例分析例（2021新高考2卷）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，．（1）已知，求；（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個最小正實根，求證：當(dāng)時，，當(dāng)時，；（3）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實際含義．解析：（1）.（2）設(shè)，因為，故，若，則，故.，因為，，故有兩個不同零點，且，且時，；時，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，若，因為在為增函數(shù)且，而當(dāng)時，因為在上為減函數(shù)，故，故為的一個最小正實根，若，因為且在上為減函數(shù)，故1為的一個最小正實根，綜上，若，則.若，則，故.此時，，故有兩個不同零點，且，且時，；時，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，而，故，又，故在存在一個零點，且.所以為的一個最小正實根，此時，故當(dāng)時，.（3）意義：每一個該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過1，則若干代必然滅絕，若繁殖后代的平均數(shù)超過1，則若干代后被滅絕的概率小于1.注1.此題實際就是分支過程的經(jīng)典應(yīng)用.注2.在最多分裂三個的情況下，，若使得，明顯讓越大，就越大，物種的滅絕概率就會小于1，持續(xù)生存下去，這可能就是生二胎，生三胎的一個最直觀的解釋！ 3.數(shù)陣問題一．重要結(jié)論性質(zhì)1. 顯然，第一行一個數(shù)，第二行兩個數(shù)，以此類推，第行有個數(shù)，這樣的話，前行一共有個數(shù).性質(zhì)2.記表示第行的前個數(shù)之和，則.性質(zhì)3.記表示前行所有數(shù)之和，則.性質(zhì)4.三角數(shù)陣的前項和.設(shè)存在整數(shù)，使得：，進(jìn)一步，記，則三角數(shù)陣的前項和.二．典例分析例.幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件，為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動，這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列，其中第一項是，接下來兩項是，再下來三項是，以此類推，求滿足如下條件的最小整數(shù)，且該數(shù)列的前項和為的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是（        ）解析：由題意得，數(shù)列如下：，則該數(shù)列的前項和為：，要使，有，此時，所以是第組等比數(shù)列的部分和，設(shè)，所以，則，此時，所以對應(yīng)滿足條件的最小整數(shù)，故選A.4．全概率公式與隨機(jī)游走1.轉(zhuǎn)移概率：對于有限狀態(tài)集合，定義：為從狀態(tài)到狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率.2.馬爾可夫鏈：若，即未來狀態(tài)只受當(dāng)前狀態(tài)的影響，與之前的無關(guān).3.完備事件組：如果樣本空間中一組事件組符合下列兩個條件：（1）；（2）.則稱是的一個完備事件組，也稱是的一個分割.4.全概率公式： 設(shè)是一個完備事件組，則有二．典例分析.例.為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X．（1）求的分布列；（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，表示“甲藥的累計得分為i時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設(shè)，．（i）證明：為等比數(shù)列；（ii）求，并根據(jù)的值解釋這種試驗方案的合理性．解析：（1）由題意可知所有可能的取值為：，，；；則的分布列如下：（2），，，（i）即整理可得：  是以為首項，為公比的等比數(shù)列（ii）由（i）知：，，……，作和可得：表示最終認(rèn)為甲藥更有效的.由計算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時，認(rèn)為甲藥更有效的概率為，此時得出錯誤結(jié)論的概率非常小，說明這種實驗方案合理.5.卡特蘭數(shù)卡塔蘭數(shù)：例1. 已知，并且滿足，，求有序數(shù)組的個數(shù).解：依題，中共有個，個，先不考慮記為（*）式，則共有種，接下來考慮排除法，若不符合（*）式，則一定存在一個的自然數(shù)，使得：，現(xiàn)將全部改變符號，即有：，對應(yīng)后則有個，個，反之，對任一個個，個組成的有序數(shù)組，其必然存在一個最小的自然數(shù)，滿足.作對應(yīng)，顯然，與互為逆映射，從而不滿足（*）式的個數(shù)，就是由個，個組成的有序數(shù)組的個數(shù)，從而.點評：卡塔蘭數(shù)在組合數(shù)學(xué)中常出現(xiàn)在各種計數(shù)問題中，其前幾項為，其滿足 或.例2.定義“規(guī)范01數(shù)列”如下：共有項，其中項為，項為，且對任意，中0的個數(shù)不少于1的個數(shù). 若，則則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有（  ）A.18個     B.16個     C.14個    D.12個解析：顯然，此題考查卡特蘭數(shù).6.高斯取整函數(shù)表示實數(shù)的整數(shù)部分，即是不大于實數(shù)的最大整數(shù). ，常稱為的“小數(shù)部分”或“尾數(shù)部分”.2.高斯函數(shù)圖像及小數(shù)部分圖像.取整函數(shù)的圖象.                          小數(shù)函數(shù)：的圖象 性質(zhì)： ①定義域：；                            性質(zhì)：①定義域：；   ②值域：；                                 ②值域：；  ③圖象：臺階型線段.                              ③周期性：.例2.為等差數(shù)列的前項和，且記，其中表示不超過的最大整數(shù)，如．（1）求；（2）求數(shù)列的前1 000項和．解：（1）設(shè)的公差為，據(jù)已知有，解得．所以數(shù)列的通項公式為．，，．（2）因為所以數(shù)列的前項和為． 

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