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知識點1　對數的概念1.一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次冪等于N,即ab=N,那么數b稱為以_____　　　為底　　　的對數,記作lgaN=b,其中a叫作對數的底數,N叫作真數.?名師點睛“l(fā)g”同+、-、×等符號一樣,表示一種運算,即已知一個底數和它的冪求指數的運算,這種運算叫對數運算.
過關自診1.[人教B版教材例題]求下列各式的值:
2.[人教A版教材例題]把下列指數式化為對數式,對數式化為指數式:
(5)10-2=0.01.(6)e2.303=10.
知識點2　對數的基本性質1.負數和零沒有對數.2.對于任意的a>0,且a≠1,都有l(wèi)ga1=0,lgaa=1,lga =-1.3.對數恒等式 =N.名師點睛1.lga1=0,lgaa=1(a>0,且a≠1)可簡述為“1的對數等于0,底的對數等于1”.2.對數恒等式的特點:(1)指數中含有對數形式;(2)同底,即冪底數和對數的底數相同;(3)其值為對數的真數.
過關自診1.[人教B版教材習題]用對數的形式表示下列各式中的x:(1)10x=25;(2)2x=12;(3)5x=6;(4)4x= .
解 (1)x=lg 25.(2)x=lg212.(3)x=lg56.(4)x=lg4 .
2.[人教B版教材例題]已知lg4a=lg25b= ,求lg(ab)的值.
探究點一　對數式與指數式的互化
【例1】 將下列指數式與對數式互化:(1) =-3;　(2)43=64;(3)e-1= ;　(4)10-3=0.001.
(2)lg464=3.
(4)lg 0.001=-3.
規(guī)律方法　1.lgaN=b(a>0,且a≠1)與ab=N(a>0,且a≠1)表示a,b,N三者之間的同一種關系.
2.將指數式化為對數式,只需將冪作為真數,指數作為對數,底數不變;而將對數式化為指數式,只需將對數式的真數作為冪,對數作為指數,底數不變.
變式訓練1將下列指數式與對數式互化:(1)2-2= ;(2)102=100;(3)ea=16;(5)lgxy=z(x>0,且x≠1,y>0).
(2)lg10100=2,或lg 100=2.(3)lge16=a,或ln 16=a.
(5)xz=y(x>0,且x≠1,y>0).
探究點二　利用對數式與指數式的關系求值
【例2】 求下列各式中x的值:(1)4x=5·3x;　(2)lg7(x+2)=2;(3)ln e2=x;　(4)lgx27= ;(5)lg 0.01=x.
(2)∵lg7(x+2)=2,∴x+2=72=49.∴x=47.(3)∵ln e2=x,∴ex=e2.∴x=2.
(5)∵lg 0.01=x,∴10x=0.01=10-2.∴x=-2.
規(guī)律方法　指數式ax=N(a>0,且a≠1)與對數式x=lgaN(a>0,且a≠1)表示了三個量a,x,N之間的同一種關系,因而已知其中兩個時,可以通過對數式與指數式的相互轉化求出第三個.
變式訓練2求下列各式中的x值:(1)lg2x= ;(2)lg216=x;(3)lgx27=3.
(2)∵lg216=x,∴2x=16.∴2x=24.∴x=4.(3)∵lgx27=3,∴x3=27,即x3=33.∴x=3.
探究點三　利用對數的基本性質與對數恒等式求值
【例3】 求下列各式中x的值:(1)ln(lg2x)=0;　(2)lg2(lg x)=1; (3) =9.
解 (1)∵ln(lg2x)=0,∴l(xiāng)g2x=1.∴x=21=2.(2)∵lg2(lg x)=1,∴l(xiāng)g x=2.∴x=102=100.
變式訓練3求下列各式中x的值:(1)ln(lg x)=1;(2)lg2(lg5x)=0;
解 (1)∵ln(lg x)=1,∴l(xiāng)g x=e.∴x=10e.(2)∵lg2(lg5x)=0,∴l(xiāng)g5x=1.∴x=5.
1.知識清單:(1)對數的概念;(2)兩種特殊對數:自然對數、常用對數;(3)指數式與對數式的互化;(4)對數的性質及對數恒等式.2.方法歸納:轉化化歸.3.常見誤區(qū):易忽視對數式中底數與真數的范圍.
1.將lg5b=2化為指數式是(　　)A.5b=2B.b5=2C.52=bD.b2=5
2.已知ln x=2,則x等于(　　)A.±2B.e2C.2eD.2e
解析 由ln x=2,得e2=x,即x=e2.
3.(多選題)下列選項中,可以作為對數中的真數的是(　　)A.0B.-5C.πD.7
解析 根據對數的定義可知0和負數沒有對數,所以選項A,B沒有對數;π>0,選項C有對數;7>0,選項D有對數.
4.已知a=lg23,則2a=　　　.?
解析 由a=lg23,化對數式為指數式可得2a=3.

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1 對數的概念

版本： 北師大版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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