一、選擇題（共20小題；）
1. 有 位男生， 位女生和 位老師站在一起照相，要求老師必須站中間，與老師相鄰的不能同時(shí)為男生或女生，則這樣的排法種數(shù)是
A. B. C. D.

2.
A. B. C. D.

3. 高三某班下午有 節(jié)課，現(xiàn)從 名教師中安排 人各上一節(jié)課，如果甲、乙兩名教師不上第一節(jié)課，則不同的安排方案種數(shù)為
A. B. C. D.

4. 名同學(xué)合影，站成前排 人后排 人，現(xiàn)攝影師要從后排 人中抽 人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是
A. B. C. D.

5. 將 名實(shí)習(xí)教師分配到高二年級(jí)的 個(gè)班實(shí)習(xí)，若每班至少有 名實(shí)習(xí)教師，則不同的分配方案的種數(shù)為
A. B. C. D.

6. 某同學(xué)有同樣的畫(huà)冊(cè) 本，同樣的集郵冊(cè) 本，分別贈(zèng)送給 位朋友，每位朋友 本，則不同的贈(zèng)送方法共有
A. 種B. 種C. 種D. 種

7. 用 ，，， 十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為
A. B. C. D.

8. 有 名同學(xué)合影，站成前排 人后排 人，現(xiàn)攝影師要從后排 人中抽 人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是
A. B. C. D.

9. 某班有 名女生和 名男生，從中選出 人組成一個(gè)垃圾分類宣傳小組，要求女生和男生均不少于 人的選法共有
A. B.
C. D.

10. 從 ，，，， 這五個(gè)數(shù)字中任取 個(gè)組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，當(dāng)三個(gè)數(shù)字有 和 時(shí)，則 需排在 的前面（不一定相鄰），這樣的三位數(shù)有
A. 個(gè)B. 個(gè)C. 個(gè)D. 個(gè)

11. 我國(guó)古代在珠算發(fā)明之前多是用算籌為工具來(lái)記數(shù)、列式和計(jì)算的．算籌實(shí)際上是一根根相同長(zhǎng)度的小木棍，如圖，算籌表示數(shù) 的方法有兩種，即“縱式”和“橫式”，規(guī)定個(gè)位數(shù)用縱式，十位數(shù)用橫式，百位數(shù)用縱式，千位數(shù)用橫式，萬(wàn)位數(shù)用縱式 依此類推，交替使用縱橫兩式．例如： 可以表示為“”．如果用算籌表示一個(gè)不含“”的兩位數(shù)，現(xiàn)有 根小木棍，能表示多少個(gè)不同的兩位數(shù)
A. B. C. D.

12. 把 本不同的書(shū)借給甲、乙、丙 人，每人 本，不同的借書(shū)方法有
A. 種B. 種C. 種D. 種

13. 名男運(yùn)動(dòng)員和 名女運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球混合雙打比賽，則不同的對(duì)陣方法數(shù)為
A. B. C. D.

14. 萬(wàn)歷十二年，中國(guó)明代音樂(lè)理論家和數(shù)學(xué)家朱載堉在其著作《律學(xué)新說(shuō)》中，首次用珠算開(kāi)方的辦法計(jì)算出了十二個(gè)半音音階的半音比例，這十二個(gè)半音音階稱為十二平均律．十二平均律包括六個(gè)陽(yáng)律（黃鐘、太族、姑洗、蕤賓、夷則、無(wú)射）和六個(gè)陰律（大呂、夾鐘、仲呂、林鐘、南呂、應(yīng)鐘）．現(xiàn)從這十二平均律中取出 個(gè)陽(yáng)律和 個(gè)陰律，排成一個(gè)序列，組成一種旋律，要求序列中的兩個(gè)陽(yáng)律相鄰，兩個(gè)陰律不相鄰，則可組成不同的旋律
A. 種B. 種C. 種D. 種

15. 計(jì)算 的值是
A. B. C. D.

16. 若 ，則 的值為
A. B. C. D.

17. 從裝有 個(gè)紅球 個(gè)白球的袋中任取 個(gè)球，則所取 個(gè)球中至少有 個(gè)白球的概率是
A. B. C. D.

18. 將標(biāo)號(hào)為 ，，，， 的五個(gè)小球放入三個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少放一個(gè)小球，則不同的放法種數(shù)為
A. B. C. D.

19. 從 人中選 人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個(gè)城市游覽，要求每個(gè)城市有一人游覽，每人只游覽一個(gè)城市，且這 人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有
A. 種B. 種C. 種D. 種

20. 甲、乙、丙 人站到共有 級(jí)的臺(tái)階上，若每級(jí)臺(tái)階最多站 人，同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法總數(shù)是
A. B. C. D.

二、填空題（共5小題；）
21. 已知 ，則 ．

22. 將 個(gè)相同的紅球和 個(gè)相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四個(gè)盒子里，其中甲、乙盒子均最多可放入 個(gè)球，丙、丁盒子均最多可放入 個(gè)球，且不同顏色的球不能放入同一個(gè)盒子里，共有 種不同的放法．

23. 回文數(shù)是指從左到右與從右到左都一樣的正整數(shù)，如 ，，， 等，則在所有四位數(shù)中，回文數(shù)的個(gè)數(shù)是 ．

24. 人排成前后兩排，前排 人后排 人，甲、乙在后排，且不相鄰的排法有幾種 ．

25. 年初，湖北成為全國(guó)新冠疫情最嚴(yán)重的省份，面臨醫(yī)務(wù)人員不足和醫(yī)療物資緊缺等諸多困難，全國(guó)人民心系湖北，志愿者紛紛馳援若將 名醫(yī)生志愿者分配到兩家醫(yī)院（每人去一家醫(yī)院，每家醫(yī)院至少去 人），則共有 種分配方案．

三、解答題（共5小題；）
26. 本不同的書(shū)，按下列要求各有多少種不同的選法：
（1）分給甲、乙、丙三人，每人兩本；
（2）分為三份，每份兩本；
（3）分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本；
（4）分給甲、乙、丙三人，一人一本，一人兩本，一人三本；
（5）分給甲、乙、丙三人，每人至少一本．

27. 有 名男生， 名女生．
（1）從中選出 名代表，有多少種選法?
（2）從中選出 名代表，男生 名，女生 名且某女生必須在內(nèi)有多少種選法?
（3）從中選出 名代表，男生不少于 名，有多少種選法?
（4）分成三個(gè)小組，每組依次有 ，， 人有多少種分組方法?

28. 如果二次函數(shù) 的系數(shù) ，， 是集合 中 個(gè)不同的數(shù)，那么可確定坐標(biāo)原點(diǎn)在拋物線內(nèi)部的拋物線多少條?

29. 在 中國(guó)北京世界園藝博覽會(huì)期間，某工廠生產(chǎn)A，B，C三種紀(jì)念品，每一種紀(jì)念品均有精品型和普通型兩種，某一天產(chǎn)量如下表：（單位：個(gè)）
現(xiàn)采用分層抽樣的方法在這一天生產(chǎn)的紀(jì)念品中抽取 個(gè)，其中A種紀(jì)念品有 個(gè)．
（1）求 的值；
（2）從B種精品型紀(jì)念品中抽取 個(gè)，其某種指標(biāo)的數(shù)據(jù)分別如下：，，，，，把這 個(gè)數(shù)據(jù)看作一個(gè)總體，其均值為 ，方差為 ，求 的值；
（3）用分層抽樣的方法在C種紀(jì)念品中抽取一個(gè)容量為 的樣木，從樣本中任取 個(gè)紀(jì)念品，求至少有 個(gè)精品型紀(jì)念品的概率．

30. 某科研團(tuán)隊(duì)硏發(fā)了一款快速檢測(cè)某種疾病的試劑盒．為了解該試劑盒檢測(cè)的準(zhǔn)確性，質(zhì)檢部門(mén)從某地區(qū)（人數(shù)眾多）隨機(jī)選取了 位患者和 位非患者，用該試劑盒分別對(duì)他們進(jìn)行檢測(cè)，結(jié)果如下：
（1）從該地區(qū)患者中隨機(jī)選取一人，對(duì)其檢測(cè)一次，估計(jì)此患者檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性的概率；
（2）從該地區(qū)患者中隨機(jī)選取 人，各檢測(cè)一次，假設(shè)每位患者的檢測(cè)結(jié)果相互獨(dú)立，以 表示檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性的患者人數(shù)，利用（Ⅰ）中所得概率，求 的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）假設(shè)該地區(qū)有 萬(wàn)人，患病率為 ．從該地區(qū)隨機(jī)選取一人，用該試劑盒對(duì)其檢測(cè)一次．若檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，能否判斷此人患該疾病的概率超過(guò) ?并說(shuō)明理由
答案
1. D【解析】第一步，老師站中間，分別選一個(gè)男生與一個(gè)女生站在老師兩邊，共有 種排法；
第二步，剩余的學(xué)生全排列，共有 種排法，
所以根據(jù)分步計(jì)數(shù)乘法原理可得，符合題意的排法共有 ．
2. D
3. C
4. C【解析】第一步從后排 人中選 人有 種方法，
第二步 人前排排列，先排列選出的 人有 種方法，
再排列其余 人只有 種方法，
因此所有的方法總數(shù)的種數(shù)是 ．
5. C
【解析】有兩種情況：
一組 人，另兩組都是 人，有 種，
將 組分成 班，共有 種；
一組 人，另兩組都是 人，有 種，
將 組分成 班，共有 種．
6. C
7. B【解析】由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，用 ，，， 十個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)（可有重復(fù)數(shù)字）的個(gè)數(shù)為 ，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為 ，則組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為 ．
8. C
9. D【解析】從中選出 人組成一個(gè)垃圾分類宣傳小組，要求女生和男生均不少于 人，
當(dāng)選出的 人為 女 男時(shí)，共有不同選法為 種，
當(dāng)選出的 人為 女 男時(shí)，共有不同選法為 種，
即從中選出 人組成一個(gè)垃圾分類宣傳小組，要求女生和男生均不少于 人的選法共有 種．
10. D
【解析】①當(dāng)這個(gè)三位數(shù)中，數(shù)字 和 都有時(shí)，需從剩余 個(gè)數(shù)中再選一個(gè)數(shù)，方法有 種，
再把這 個(gè)數(shù)進(jìn)行排列，方法有 種，故含有數(shù)字 和 的三位數(shù)共有 個(gè)．
其中滿足 排在 的前面的三位數(shù)占總數(shù)的一半，故滿足條件的三位數(shù)共有 個(gè)．
②當(dāng)這個(gè)三位數(shù)中， 和 只有一個(gè)時(shí)，這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為 ．
③當(dāng)這個(gè)三位數(shù)中， 和 都沒(méi)有時(shí)，這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為 ．
綜上可得，滿足條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為 ．
11. B
12. B
13. C
14. B
15. B
【解析】依題意，

16. D
17. D
18. A【解析】先將 個(gè)小球分為 ，， 和 ，， 兩類，然后再進(jìn)行分配可得結(jié)果．
①若 個(gè)小球分為 ，， 三部分后再放在 個(gè)不同的盒子內(nèi)，
則不同的方法為 種；
②若 個(gè)小球分為 ，， 三部分后再放在 個(gè)不同的盒子內(nèi)，
不同的的方法為 種．
所以由分類加法計(jì)數(shù)原理可得不同的分法有 種．
19. B【解析】因?yàn)榧滓矣邢拗茥l件，
所以按照是否含有甲、乙來(lái)分類，有以下四種情況：
①若甲、乙都不選，則有 種；
②若選甲而不選乙，則有 種；
③若選乙而不選甲，則有 種；
④若甲、乙都選，則有 種．
所以共有不同的選擇方案總數(shù)為 種．
20. C
【解析】因?yàn)榧住⒁?、? 人站到共有 級(jí)的臺(tái)階上，且每級(jí)臺(tái)階最多站 人，
所以可分為兩類：第一類，甲、乙、丙各自站在一級(jí)臺(tái)階上：共有 種站法；
第二類，有 人站在同一級(jí)臺(tái)階上，剩余 人獨(dú)自站在一級(jí)臺(tái)階上，共有 種站法．
所以不同的站法總數(shù)是 ．
21.
【解析】由 ，得
，即
，
解得：．
22.
【解析】：；
：；
：；
：．
故共有： 種．
23.
24.
【解析】根據(jù)題意，分 步進(jìn)行分析：
①，在除甲乙之外的 人中任選 人，與甲乙一起排在后排，
由于甲乙不能相鄰，則有 種情況；
②，將剩下的三人全排列，安排在前排，有 種情況，
則有 種排法．
25.
【解析】由題先將 名醫(yī)生分成 組，有 種，
再分配的兩家醫(yī)院有 種．
26. （1） 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到：（種）．
（2） 分給甲、乙、丙三人，每人兩本有 種方法，這個(gè)過(guò)程可以分兩步完成：第一步分為三份，每份兩本，設(shè)有 種方法；第二步再將這三份分給甲、乙、丙三名同學(xué)有 種方法．根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得：，
所以 ．
因此分為三份，每份兩本一共有 種方法．
（3） 這是“不均勻分組”問(wèn)題，一共有 （種）方法．
（4） 在（）的基礎(chǔ)上在進(jìn)行全排列，
所以一共有 （種）方法．
（5） 可以分為三類情況：①“，， 型”即（）中的分配情況，有 （種）方法；
②“，， 型”即（）中的分配情況，有 （種）方法；
③“，， 型”，有 （種）方法．
所以一共有 （種）方法．
27. （1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
28. 由圖形特征分析，
當(dāng) 時(shí)，開(kāi)口向上，坐標(biāo)原點(diǎn)在內(nèi)部等價(jià)于 ；
當(dāng) 時(shí)，開(kāi)口向下，原點(diǎn)在內(nèi)部等價(jià)于 ，
所以對(duì)于拋物線 來(lái)講，原點(diǎn)在其內(nèi)部等價(jià)于 ，
則確定拋物線時(shí)，可先定一正一負(fù)的 和 ，再確定 ，
故滿足題設(shè)的拋物線共有 （條）．
29. （1） 由題意可知，該工廠一天所生產(chǎn)的紀(jì)念品數(shù)為 ．
現(xiàn)采用分層抽樣的方法在這一天生產(chǎn)的紀(jì)念品中抽取 個(gè)，其中A種紀(jì)念品有 個(gè)，
則 ，
解得 ．
（2） 由題意可得 ，得 ．
由于總體的方差為 ，
則 ，可得 ，
所以，

（3） 設(shè)所抽取的樣本中有 個(gè)精品型紀(jì)念品，則 ，解得 ，
所以，容量為 的樣本中，有 個(gè)精品型紀(jì)念品， 個(gè)普通型紀(jì)念品．
因此，至少有 個(gè)精品型紀(jì)念品的概率為 ．
30. （1） 由題意知， 位患者中有 位用該試劑盒檢測(cè)一次，結(jié)果為陽(yáng)性．
所以從該地區(qū)患者中隨機(jī)選取一位，用該試劑盒檢測(cè)一次，結(jié)果為陽(yáng)性的概率佔(zhàn)計(jì)為 ．
（2） 由題意可知 ，其中 ，．
的所有可能的取值為 ，，，．
，
，
，
．
所以 的分布列為
故 的數(shù)學(xué)期望 ．
（3） 此人患該疾病的概率未超過(guò) ，理由如下：
由題意得，如果該地區(qū)所有人用該試劑盒檢測(cè)一次，那么結(jié)果為陽(yáng)性的人數(shù)為 ，其中患者人數(shù)為 ．
若某人檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，那么他患該疾病的概率為 ，
所以此人患該疾病的概率未超過(guò) ．

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