一、選擇題（共20小題；）
1. 已知 ， 分別為橢圓 的左、右焦點(diǎn)，傾斜角為 的直線 過點(diǎn) ，且與橢圓交于 ， 兩點(diǎn)，則 的周長(zhǎng)為
A. B. C. D.

2. 若雙曲線 的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn) ，則該雙曲線的離心率為
A. B. C. D.

3. 圓 上的點(diǎn)到直線 的距離最大值是
A. B. C. D.

4. 從圓 外一點(diǎn) 向這個(gè)圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為
A. B. C. D.

5. “”是“方程 表示雙曲線”的
A. 充分但不必要條件B. 必要但不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件

6. 設(shè)雙曲線 的左、右焦點(diǎn)分別為 ，，以 為圓心， 為半徑的圓與雙曲線在第一、二象限內(nèi)依次交于 ， 兩點(diǎn)．若 ，則該雙曲線的離心率是
A. B. C. D.

7. 雙曲線方程為 ，其中 ，雙曲線的漸近線與圓 相切，則雙曲線的離心率為
A. B. C. D.

8. 直線 截圓 所得劣弧所對(duì)的圓心角是
A. B. C. D.

9. 若雙曲線 的一條漸近線與圓 相切，則該雙曲線得離心率為
A. B. C. D.

10. 是方程 表示雙曲線的
A. 充分不必要條件B. 充要條件
C. 必要不充分條件D. 既不充分也不必要條件

11. 點(diǎn) 與圓 上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)軌跡方程是
A. B.
C. D.

12. 直線 與圓 相交于 ， 兩點(diǎn)，若 ，則 的取值范圍是
A. B.
C. D.

13. 在平面直角坐標(biāo)系中，記 為點(diǎn) 到直線 的距離．當(dāng) ， 變化時(shí)， 的最大值為
A. B. C. D.

14. 已知 ，直線 ， 為 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) 作 的切線 ，切點(diǎn)為 ，則 的最小值為
A. B. C. D.

15. 已知 ， 分別是雙曲線 的左、右焦點(diǎn)，， 為雙曲線的兩條漸近線．設(shè)過點(diǎn) 且平行于 的直線交 于點(diǎn) ．若 ，則該雙曲線的離心率為
A. B. C. D.

16. 已知橢圓 的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為 ，，若橢圓上存在一點(diǎn) 使 ，則橢圓離心率的取值范圍是
A. B. C. D.

17. 點(diǎn) 與圓 上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是
A. B.
C. D.

18. 已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)曲線 ：，曲線 ：，若點(diǎn) 不在曲線 上，則下列說法正確的是
A. 曲線 與 無公共點(diǎn)
B. 曲線 與 至少有一個(gè)公共點(diǎn)
C. 曲線 與 至多有一個(gè)公共點(diǎn)
D. 曲線 與 的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)無法確定

19. 在平面直角坐標(biāo)系中，， 分別是 軸和 軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以 為直徑的圓 與直線 相切，則圓 面積的最小值為
A. B. C. D.

20. 拋物線 的準(zhǔn)線與 軸交于點(diǎn) ，若過點(diǎn) 的直線 與拋物線有公共點(diǎn)，則直線 的斜率的取值范圍是
A. B. C. D.

二、填空題（共5小題；）
21. 若雙曲線 的右焦點(diǎn)與拋物線 的焦點(diǎn)重合，則 ．

22. 已知 是雙曲線 的左焦點(diǎn)，， 是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則 的最小值為 ．

23. 已知 ， 是橢圓 的焦點(diǎn)，則在 上滿足 的點(diǎn) 的個(gè)數(shù)為 ．

24. 若實(shí)數(shù) 、 滿足 ，則 的最大值為 ．

25. 圓 在點(diǎn) 處的切線方程為 ．

三、解答題（共5小題；）
26. 已知點(diǎn) ， 在橢圓 ： 上，其中 為橢圓的離心率，橢圓的右頂點(diǎn)為 ．
（1）求橢圓 的方程；
（2）直線 過橢圓 的左焦點(diǎn) 交橢圓 于 ， 兩點(diǎn)，直線 ， 分別與直線 交于 ， 兩點(diǎn)，求證：．

27. 已知焦點(diǎn)在 軸上的拋物線上一點(diǎn) 到焦點(diǎn)的距離為 ，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

28. 直線 過曲線 ： 的焦點(diǎn) ，并與曲線 交于 ， 兩點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）曲線 分別在點(diǎn) ， 處的切線（與 只有一個(gè)公共點(diǎn)，且 在其一側(cè)的直線）交于點(diǎn) ，求點(diǎn) 的軌跡．

29. 如圖，動(dòng)圓 過定點(diǎn) ，且與 軸相切于點(diǎn) ，點(diǎn) 關(guān)于圓心 的對(duì)稱點(diǎn)為 ，動(dòng)點(diǎn) 的軌跡為 ．
（1）求軌跡 的方程；
（2）過點(diǎn) 作直線 與 相交于 ， 兩點(diǎn)，若 ，求 的面積．

30. 在平面直角坐標(biāo)系 中， 為直線 上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) 滿足 ，且原點(diǎn) 在以 為直徑的圓上．記動(dòng)點(diǎn) 的軌跡為曲線 ．
（1）求曲線 的方程；
（2）過點(diǎn) 的直線 與曲線 交于 ， 兩點(diǎn)，點(diǎn) （異于 ，）在 上，直線 ， 分別與 軸交于點(diǎn) ，，且 ，求 面積的最小值．
答案
1. D【解析】依題作圖如下，
因?yàn)?，
所以 ，
由定義可知，，，
所以

即 的周長(zhǎng)為 ．
2. B【解析】若雙曲線 的一條漸近線：，漸近線經(jīng)過點(diǎn) ，可得 ，即 ，可得 ，
所以 ，，
所以雙曲線的離心率為 ．
3. B【解析】圓心為 ，，．
4. B【解析】提示：設(shè)切線與點(diǎn) 和圓心連線的夾角為 ，則兩切線夾角為 ．易知 ，由二倍角定理知 ，從而 ．
5. C
【解析】若“”，則 ， 均不為 ，方程 ，可化為 ，
若“”，， 異號(hào)，方程 中，兩個(gè)分母異號(hào)，則其表示雙曲線，
故“”是"方程 表示雙曲線”的 充分條件．
反之，若 表示雙曲線，則其方程可化為 ，此時(shí) ， 異號(hào)，則必有 ，
故“”是“方程 表示雙曲線”的 必要條件．
綜合可得：“”是"方程 表示雙曲線”的 充要條件．
6. C【解析】依題知 ，，
由雙曲線的定義知 ，即 ，所以 ．
7. A
8. D【解析】圓 的圓心到直線 的距離 ，圓的半徑 ，
所以弦長(zhǎng)與兩半徑圍成的三角形是等腰三角形，底角為 ，
所以頂角為 ，即劣弧所對(duì)的圓心角是 ．
9. D【解析】根據(jù)圓的方程知，圓心為 ，半徑為 ；
根據(jù)雙曲線方程得，漸近線方程為 ；
據(jù)題意知，圓心到漸近線的距離為 ，則：；
所以 ；
所以 ；
解得 ．
10. A
【解析】當(dāng) 時(shí)，，，此時(shí)方程 表示雙曲線；
反之，若方程 表示雙曲線，則有 ，即 或 ．
故 是方程 表示雙曲線的充分不必要條件．
11. A【解析】設(shè)圓上任一點(diǎn) ， 中點(diǎn)為 ，則 代入圓方程即可．
12. A【解析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式，重點(diǎn)考查數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．
圓心的坐標(biāo)為 ，且圓與 軸相切．當(dāng) 時(shí)，由點(diǎn)到直線的距離公式，解得 或 ，結(jié)合圖形可知 的取值范圍為 ．
13. C
14. D【解析】圓 方程可化為 ，則圓心 ，半徑 ，
因?yàn)? 為圓 的切線且 為切點(diǎn)，
所以 ，
所以根據(jù)勾股定理知 ，
所以 最小時(shí)， 最小．
因?yàn)?，
所以 ，
所以 最小值為 ．
15. B
【解析】直線 的方程為 ，聯(lián)立直線 與直線 得 ，又因?yàn)? ，所以 得 ，所以雙曲線的離心率為 ．
16. B【解析】不妨設(shè) ，
則 ，，，
所以 ，，
則 ，
又 ，所以 ，
因?yàn)?，所以 ，
所以當(dāng) 時(shí)， 取得最大值，
所以當(dāng) 在短軸上時(shí)， 取得最大值，
因?yàn)闄E圓上存在一點(diǎn) 使 ，
所以 （ 為短軸頂點(diǎn)），設(shè) ，則 ，
又因?yàn)?，所以離心率 ，
又因?yàn)?，所以 的取值范圍為 ．
17. A【解析】設(shè)圓上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，
則 ，連線中點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，
則 代入 中，得 ．
18. A【解析】假設(shè)曲線 與 有公共點(diǎn) ，則 和 同時(shí)成立，
所以 ，
所以點(diǎn) 在曲線 上，這與已知條件點(diǎn) 不在曲線 上矛盾．
所以假設(shè)不成立，
所以曲線 與 無公共點(diǎn)．
19. A【解析】設(shè)直線 ，
因?yàn)?，其中 為點(diǎn) 到直線 的距離，
所以圓心 的軌跡為以 為焦點(diǎn)， 為準(zhǔn)線的拋物線．
圓 半徑最小值為 ，其中 為點(diǎn) 到直線 的距離，圓 的面積的最小值為 ．
20. C
【解析】由題意，得 ．設(shè) 的方程為 ，代入 ，得 ，所以當(dāng) 時(shí)，直線 與拋物線恒有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng) 時(shí)，，即 ，所以 ，且 ，綜上，．
21.
【解析】拋物線 焦點(diǎn)為 所以 ，
22.
【解析】注意到 點(diǎn)在雙曲線的兩支之間，且雙曲線右焦點(diǎn)為 ，于是結(jié)合 ，可得 ，
當(dāng)且僅當(dāng) 三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立．
23.
24.
【解析】設(shè) ，則 ，由題設(shè)可知當(dāng)直線 與圓相切時(shí)，， ，故 的最大值為 ．
25.
【解析】先由半徑與切線的垂直關(guān)系求得切線斜率為 ，則過 切線方程為 ．
26. （1） 依題意得：
解得 ，，所以橢圓 的方程為 ．
（2） 由（Ⅰ）得 ，如圖．
設(shè) ，，，，
把直線 ： 代入橢圓方程，得 ，
所以 ，，
因?yàn)?，， 三點(diǎn)共線，得 ，
所以
同理，由 ，， 三點(diǎn)共線，得
因?yàn)?
所以把①②代入③得

所以 ．
27. 依題意，設(shè)拋物線方程為 ，
因?yàn)辄c(diǎn) 到焦點(diǎn)的距離為 ，所以由拋物線定義可得 到準(zhǔn)線的距離為 ，即
所以 ，故拋物線方程為 ．
28. （1） 曲線 ： 的焦點(diǎn) 為 ，
由題意可得直線 的斜率存在，設(shè)直線 的方程為 ，
由 消 可得 ，
因?yàn)?，，
所以 ．
（2） 由（）可得 ，，
由 ，可得 ，
所以切線方程分別為 ，，
且 ，，可得
解得 ，，
則 的軌跡方程為直線 ．
29. （1） 解法一：連接 ，過點(diǎn) 作 于點(diǎn) ，
則 ．
因?yàn)?，
所以點(diǎn) 到直線 的距離等于點(diǎn) 到點(diǎn) 的距離，
所以 的軌跡是以 為焦點(diǎn)， 為準(zhǔn)線的拋物線，
所以曲線 的方程為 ．
解法二：設(shè)動(dòng)點(diǎn) ，則 ，
由題意，得 ，
化簡(jiǎn)并整理，得 ，
所以軌跡 的方程為 ．
（2） 設(shè)直線 交曲線 于點(diǎn) ，，
聯(lián)立 得 ，故 ，
由 ，得 ，故 ，
解得 ， 或 ，，
所以 ．
30. （1） 由題意，不妨設(shè) ，則 ，，，
因?yàn)? 在以 為直徑的圓上，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以曲線 的方程為 ．
（2） 設(shè) ，，，，，
依題意，可設(shè) （其中 ），
由方程組 消去 并整理，得 ，
則 ，，
同理可設(shè) ，，
可得 ，，
所以 ，，
又因?yàn)?，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以

所以

所以當(dāng) 時(shí)， 面積取得最小值，其最小值為 ．

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