一、選擇題（共20小題；）
1. 實數 ，， 是圖象連續(xù)不斷的函數 定義域中的三個數，且滿足 ，，，則函數 在 上的零點個數為
A. B. 奇數C. 偶數D. 至少是

2. 若 在區(qū)間 上的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線，則下列說法正確的是
A. 若 ，則不存在實數 ，使得
B. 若 ，則存在且只存在一個實數 ，使得
C. 若 ，則不存在實數 ，使得
D. 若 ，則有可能存在實數 ，使得

3. 已知函數 有唯一零點，則
A. B. C. D.

4. 對于函數 ，若 ，，則函數 在 內
A. 一定有零點B. 一定沒有零點
C. 可能有兩個零點D. 至多有一個零點

5. 二次函數 的部分對應值如下表：

不求 、 、 的值，可以判斷方程 的兩根所在的區(qū)間是
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和

6. 若函數 在 上連續(xù)不斷，且同時滿足 ，．則
A. 在 上有零點B. 在 上有零點
C. 在 上無零點D. 在 上無零點

7. 在區(qū)間 上連續(xù)不斷且單調，且 ，則方程 在區(qū)間 上
A. 至少有一個根B. 至多有一個根
C. 無實根D. 必有唯一的實根

8. 函數 的零點所在的區(qū)間是
A. B. C. D.

9. 若函數 與函數 的零點分別為 ，，則 所在區(qū)間為
A. B. C. D.

10. 函數 的零點所在的區(qū)間是
A. B. C. D.

11. 已知函數 ，若 是函數 的零點，且 ，則 的值
A. 恒為正B. 等于 C. 恒為負D. 不大于

12. 若函數 有且只有一個零點，則 的取值范圍是
A. B.
C. D.

13. 設函數 與 的圖象交點為 ，則 所在的區(qū)間是
A. B. C. D.

14. 已知 是函數 的一個零點．若 ，，則
A. ，B. ，
C. ，D. ，

15. 設函數 的圖象與 軸的交點為 ，則 所在的區(qū)間為
A. B. C. D.

16. 函數 的零點所在的大致區(qū)間為
A. B. C. D.

17. 函數 的一個零點所在的區(qū)間是
A. B. C. D.

18. 方程 的解的個數為
A. B. C. D.

19. 若函數 在區(qū)間 上存在零點，則常數 的取值范圍為
A. B. C. D.

20. 在下列區(qū)間中，方程 的解所在的區(qū)間為
A. B. C. D.

二、填空題（共5小題；）
21. 若函數 的一個正數零點附近的函數值用二分法逐次計算，參考數據如圖表，那么方程 的一個近似根（精確到 ）為 ．


22. 根據表格中的數據，可以判定方程 的一個根所在的區(qū)間為 ．

23. 若關于 的不等式 至少有一個負數解，則實數 的取值范圍是 ．

24. 若關于 的不等式 在 上有解．則實數 的取值范圍是 ．

25. 函數 的零點所在的區(qū)間為 ．（填序號）
① ；② ；③ ；④ ．

三、解答題（共5小題；）
26. 圖（）（）（）分別為函數 在三個不同范圍的圖象．能否僅根據其中一個圖象，得出函數 在某個區(qū)間只有一個零點的判斷?為什么?

27. 已知函數 的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有如下對應值表：
函數 在哪幾個區(qū)間內一定有零點?為什么?

28. 與 分別是實系數一元二次方程 和 的一個根，且 ，，．
（1）求證：方程 有且僅有一根介于 與 之間．

29. 已知函數 ，求證：方程 在 內至少有兩個實數解．

30. 已知函數 ．
（1）當 時，求 的單調區(qū)間；
（2）是否存在實數 ，使 的極大值為 ?若存在，求出 的值，若不存在，請說明理由．
答案
1. D【解析】因為函數 為連續(xù)函數，且 ，所以在 內，函數 至少存在 個零點，同理由 得在 內，函數 至少存在 個零點，所以在 內函數 的零點個數至少是 ．
2. D【解析】由零點存在性定理可知選項A不正確；
對于選項B可通過反例“ 在區(qū)間 上滿足 ，但其存在三個零點：，，”推翻；
選項C可通過反例“ 在區(qū)間 上滿足 ，但其存在兩個零點：，”推翻，故選D．
3. C【解析】因為 ，
所以函數 有唯一零點等價于方程 有唯一解，
等價于函數 的圖象與 的圖象只有一個交點．
①當 時，，此時有兩個零點，矛盾；
②當 時，由于 在 上遞增，在 上遞減，且 在 上遞增，在 上遞減，
所以函數 的圖象的最高點為 ， 的圖象的最高點為 ，
由于 ，此時函數 的圖象與 的圖象有兩個交點，矛盾；
③當 時，由于 在 上遞增，在 上遞減，且 在 上遞減，在 上遞增，
所以函數 的圖象的最高點為 ， 的圖象的最低點為 ，
由題可知點 與點 重合時滿足條件，即 ，即 ，符合條件；
綜上所述，．
4. C【解析】由二次函數圖象可得正確答案為C．
5. A
【解析】因為 ，
6. B【解析】由已知，易得 ，因此 在 上一定有零點，但在其他區(qū)間上可能有零點，也可能沒有零點．
7. D【解析】因為 在 上單調，且 ，所以 ① 當 在 上單調遞增，則 ，② 當 在 上單調遞減，則 ，由 ①② 知 在區(qū)間 上必有 使 且 是唯一的．
8. B【解析】易知函數 在定義域上連續(xù)，且 ，，，，
根據函數零點存在性定理，可知零點所在區(qū)間為 ．
9. A【解析】在同一平面直角坐標系中作出函數 ，， 的圖象，如圖所示．
可以發(fā)現，，．
因為 ，，
所以 ，即 ．
因而 ．
故選A．
10. B
【解析】因為 ，
，則 ，
所以函數 的零點所在區(qū)間是 ，
當 ，且 時，，
，
，
，
ACD中函數在區(qū)間端點的函數值均同號，
根據零點存在性定理，B為正確答案．
11. A
12. B【解析】當 時，因為 ，所以有一個零點，
所以要使函數 有且只有一個零點，
則當 時，函數 沒有零點即可．
當 時，，所以 ，
所以 ，所以 或 ，即 或 ．
13. B【解析】構造函數 ，則 即為函數 的零點．
因為 ，，所以
且 在 上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，
所以零點所在的區(qū)間為 ．
14. B【解析】設 ，
由于函數 在 上單調遞增，
函數 在 上單調遞增，
故函數 在 上單調遞增，
所以函數 在 上只有唯一的零點 ，
且在 上 ，在 上 ，
又因為 ，，
所以 ，．
15. C
【解析】因為函數 為單調增函數且其圖象為連續(xù)的曲線，且 ，，所以 ．
16. B【解析】，，
，所以在 有零點．
17. B【解析】因為 在 上為增函數，且 ，，
所以 的零點所在區(qū)間為 ．
18. C
19. C【解析】因為函數 在區(qū)間 上單調遞增，又在區(qū)間 上存在零點，
所以函數 在區(qū)間 上存在唯一零點．
所以
即
解得 ．
所以常數 的取值為 ．
20. B
【解析】因為 為增函數， 為增函數，
所以 為增函數，
設 ，
，
，
所以 ，
所以零點所在區(qū)間為 ．
21.
22.
23.
24.
【解析】不等式 在 上有解．
令 在 上有解．
則 即可，解得：．
25. ③
【解析】因為 ，，所以 ．又因為 是單調增函數， 也是單調增函數，所以 是單調增函數，所以 的零點在區(qū)間 內．
26. 不能．同一個函數的圖象在三個不同范圍看到的情況都不一樣，只能從圖（）觀察到它與 軸有 個交點，從圖（）觀察到它與 軸有 個交點，從圖（）觀察到它與 軸有 個交點，所以僅憑觀察函數圖象只能初步判斷它在某個區(qū)間是否有零點，至于是否真的有零點，以及有幾個零點，要依據函數零點存在定理和在某個區(qū)間的單調性判斷．
27. ，（或 ，）；
，；，（或 ，）．
28. 令 ．因為 ， 分別是方程 和 的一個根，
所以 ，，
故 ，，
于是 ，
，
因為 ，，，
所以 ，
故方程 有且僅有一根介于 與 之間．
29. 設函數 ，作出函數 的圖象（略），它分別在 和 內與 軸有交點．因為 ，，則 ，函數 在 內至少有一個零點；又因為 ，，則 ，函數 在 內至少有一個零點．所以，方程 在 內至少有兩個實數解．
30. （1） 當 時，，
，
當 時，解得 或 ，
當 ，解得 ，
所以函數的單調遞增區(qū)間為 ，；單調遞減區(qū)間為 ．
（2） 存在．令

得 或 ．
當 時， 恒成立，函數無極值，故舍去．
當 時，，
當 變化時，， 的變化情況如表所示：
由表可知，，解得 ，滿足題意．
綜上，存在實數 ，使 的極大值為 ．

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