一、選擇題（共20小題；）
1. 過點 且與橢圓 有相同焦點的橢圓的標準方程是
A. B. C. D.

2. 已知橢圓的方程為 （）．如果此橢圓的焦點在 軸上，那么它的焦距為
A. B. C. D.

3. 橢圓以 軸和 軸為對稱軸，經(jīng)過點 ，長軸長是短軸長的 倍，則橢圓的方程為
A. B.
C. 或 D. 或

4. 已知橢圓 的中心為 ，一個焦點為 ，若以 為圓心， 為半徑的圓與橢圓恒有公共點，則橢圓的離心率的取值范圍是
A. B. C. D.

5. 橢圓 的焦距為 ，則 等于
A. B. C. 或 D.

6. 直線 經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到 的距離為其短軸長的 ，則該橢圓的離心率為
A. B. C. D.

7. 設 是橢圓 的離心率，且 ，則實數(shù) 的取值范圍是
A. B.
C. D.

8. 已知橢圓 的左焦點為 ，右頂點為 ，點 在橢圓上，且 與 軸垂直，直線 交 軸于點 ．若 ，則橢圓的離心率是
A. B. C. D.

9. 如圖，已知 ， 分別是橢圓的左、右焦點，現(xiàn)以 為圓心作一個圓恰好經(jīng)過橢圓的中心并且交橢圓于點 ，．若過點 的直線 是圓 的切線，則橢圓的離心率為
A. B. C. D.

10. 已知 ， 是橢圓的兩個焦點，滿足 的點 總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是
A. B. C. D.

11. 已知直線 與橢圓 交于 ， 兩點，其中右焦點 的坐標為 ，且 與 垂直，則橢圓 的離心率的取值范圍為
A. B. C. D.

12. 已知橢圓 的左、右頂點分別為 ，，且以線段 為直徑的圓與直線 相切，則橢圓 的離心率為
A. B. C. D.

13. 已知橢圓 的右焦點為 ，短軸的一個端點為 ，直線 交橢圓 于 ， 兩點．若 ，點 到直線 的距離不小于 ，則橢圓 的離心率的取值范圍為
A. B. C. D.

14. 焦點在 軸上的橢圓 的離心率為 ，則 等于
A. B. C. D.

15. 橢圓 的兩頂點為 ，，且左焦點為 ， 是以角 為直角的直角三角形，則橢圓的離心率 為
A. B. C. D.

16. 與橢圓 有相同焦點，且短軸長為 的橢圓的標準方程為
A. B. C. D.

17. 我們把焦點相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“相關曲線”．已知 ， 是一對相關曲線的焦點， 是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，當 時，這一對相關曲線中橢圓的離心率為
A. B. C. D.

18. 已知 ，曲線 的方程為 ，曲線 的方程為 ， 與 的離心率之積為 ，則 的漸近線方程為
A. B. C. D.

19. 若雙曲線 與直線 無交點，則離心率 的取值范圍是
A. B. C. D.

20. 若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是
A. B. C. D.

二、填空題（共5小題；）
21. 直線 過橢圓 的左焦點 和一個頂點 ，則橢圓的方程為 ．

22. 焦距是 ，離心率等于 的橢圓的標準方程為 ．

23. 已知橢圓 ： 的兩個焦點分別為 和 ，短軸的兩個端點分別為 和 ，點 在橢圓 上，且滿足 ．當 變化時，給出下列三個命題：
① 點 的軌跡關于 軸對稱；
② 存在 使得橢圓 上滿足條件的點 僅有兩個；
③ 的最小值為 ．
其中，所有正確命題的序號是 ．

24. 已知橢圓 上的一點 到兩焦點的距離的乘積為 ，當 取最大值時，點 的坐標是 ．

25. 以下關于圓錐曲線的命題中：①雙曲線 與橢圓 有相同的焦點；②設 ， 是兩個定點， 為非零常數(shù)，若 ，則動點 的軌跡為雙曲線的一支；③設點 ， 分別是定圓 上一個定點和動點， 為坐標原點，若 ，則動點 的軌跡為圓；其中真命題是 ．（寫出所有真命題的序號）

三、解答題（共5小題；）
26. 在下面的坐標系中畫出長軸長和短軸長分別為 厘米、 厘米的橢圓的草圖．若要把一個邊長分別為 米和 米的矩形木板鋸成橢圓形，使它的長軸長和短軸長分別為 米、 米，請用簡便的方法在木板上畫出這個橢圓的草圖．

27. 已知橢圓方程 ．
（1）求實數(shù) 的取值范圍；
（2）當 時，若橢圓的左右焦點分別為 ，，直線 過橢圓的左焦點 并且與橢圓 交于 ， 兩點，求 的周長．

28. 已知橢圓的長軸長是短軸長的 倍，且過點 ，并且以坐標軸為對稱軸，求橢圓的標準方程．

29. 已知橢圓的中心在原點，兩焦點 ， 在 軸上，且過點 ．若 ，求橢圓的標準方程．

30. 如圖，在平面直角坐標系 中，橢圓 （）的左焦點為 ，右頂點為 ，上頂點為 ．
（1）已知橢圓的離心率為 ，線段 中點的橫坐標為 ，求橢圓的標準方程．
（2）已知 外接圓的圓心在直線 上，求橢圓的離心率 的值．
答案
1. A
2. A
3. C【解析】由于橢圓長軸長是短軸長的 倍，即有 ，又橢圓經(jīng)過點 ，若焦點在 軸上，則 ，，橢圓方程為 ；若焦點在 軸上，則 ，，橢圓方程為 ．
4. A【解析】由于以 為圓心，以 為半徑的圓內(nèi)切于橢圓，所以要使以 為圓心，以 為半徑的圓與橢圓恒有公共點，需滿足 ，則 ，所以 ，所以 ．
5. C
【解析】當焦點在 軸上時，，
，所以 ．
當焦點在 軸上時，，，所以 ．
所以 ．
6. B【解析】如圖，
為橢圓中心到 的距離，則 ，即 ，所以 ．
7. D【解析】當橢圓焦點在 軸上，即 時，，，
所以 ，
所以 ，解得 ；
當橢圓焦點在 軸上，即 時，，，
所以 ，解得 ．
故實數(shù) 的取值范圍是 ．
故選D．
8. D【解析】不妨設點 在第二象限，如圖所示，
由 ，得 ，即 ，
所以橢圓的離心率 ，
故選D．
9. A【解析】因為過點 的直線 是圓 的切線，，，
所以 ．
由橢圓定義可得 ，
可得橢圓離心率 ．
10. C
【解析】因為 ，
所以 ，
所以點 在以 為直徑的圓上，
又點 在橢圓的內(nèi)部，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
又橢圓離心率 ，
所以 ．
11. C【解析】由 與 垂直，運用直角三角形斜邊的中線即為斜邊的一半，
可得 ，由 ，即 ，
可得 ，即 ．
又橢圓離心率 且 ，
所以得 ．
12. A
13. A【解析】如圖所示，設 為橢圓 的左焦點，連接 ，，
則四邊形 是平行四邊形，
所以 ，
所以 ，不妨取 ，
因為點 到直線 的距離不小于 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
又 ，所以橢圓 的離心率的取值范圍是 ．
14. C
15. B
【解析】由題可知 為直角三角形，其中 ，，，由勾股定理，得 ，即 ，整理得 ，兩邊同除以 得 ，
所以 ．
因為 ，
所以 ．
16. B【解析】橢圓 可化為標準方程 ，
可知焦點在 軸上，焦點坐標為 ，
故可設所求橢圓方程為 ，
則 ．又 ，即 ，
所以 ，
故所求橢圓的標準方程為 ．
17. A【解析】不妨設橢圓：，
雙曲線：．
，，，，．
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，即 ，
解得 或 （舍去），
所以 ，
故選A．
18. B【解析】，橢圓 的方程為 ， 的離心率為：，
雙曲線 的方程為 ， 的離心率為：，
因為 與 的離心率之積為 ，
所以 ，
所以 ，即有 ，
的漸近線方程為：，即 ．
19. B【解析】雙曲線的漸近線方程為 ，
因為直線 與雙曲線無交點，
所以有 ，即 ，
所以 ，即 ，即 ，
所以 ，
所以 ．
20. D
【解析】橢圓的長軸長為 ，短軸長為 ，焦距為 ，
由題，三者成等差數(shù)列，則 ，即 ，
平方得：，
橢圓內(nèi) ，代入化簡得：，同除 得，
，，則 ，
，，橢圓 ，故 ．
21.
【解析】直線 與 軸的交點為 ，即為橢圓的左焦點，故 ．
直線 與 軸的交點為 ，即為橢圓的上頂點，故 ．
所以 ，
所以橢圓的方程為 ．
22. 或
【解析】由題意知 解得
又 ，
所以 ，
當焦點在 軸上時，橢圓的標準方程為 ，
當焦點在 軸上時，橢圓的標準方程為 ．
23. ①③
24. 或
【解析】記橢圓的兩個焦點分別為 ，，
由題意知 ，，．
則 ，
當且僅當 ，等號成立，
即點 位于橢圓的短軸的頂點處時， 取得最大值 ．
所以點 的坐標為 或 ．
25. ①③
【解析】①在雙曲線中，，在橢圓中，，且焦點均在 軸上，所以①正確；
②由雙曲線的定義知，只有當 時，動點 的軌跡才為雙曲線的一支，即②錯誤；
③若 ，則點 為弦 的中點，由垂徑定理可知，，所以動點 的軌跡是圓，即③正確；
所以真命題為①③．
26. 略．
27. （1） 得 且 ．
（2） 當 時橢圓方程為 ，所以 ，即 ，則 周長
28. （方法 ）
若橢圓的焦點在 軸上，設方程為 ．
由題意得
解得
所以橢圓的標準方程為 ．
若焦點在 軸上，設方程為 ．
由題意得
解得
所以橢圓的標準方程為 ．
綜上所述，橢圓的標準方程為 或 ．
（方法 ）
設橢圓的方程為 ，
則由題意知 或
解得 或
所以橢圓的標準方程為 或 ．
29. 設所求橢圓的標準方程為 ．
設焦點 ，．
因為 ，
所以 ，
而 ，，
所以 ，
所以 ，即 ．
所以 ，，
所以 ．
所以 ，
所以 ．
所以所求橢圓的標準方程為 ．
30. （1） 因為橢圓 （）的離心率為 ，
所以 ，則 ．
因為線段 中點的橫坐標為 ，
所以 ．
所以 ，則 ，．
所以橢圓的標準方程為 ．
（2） 因為 ，，
所以線段 的中垂線方程為：．
又因為 外接圓的圓心 在直線 上，
所以 ．
因為 ，，
所以線段 的中垂線方程為：．
由 在線段 的中垂線上，得 ，
整理得，，
即 ．
因為 ，
所以 ．
所以橢圓的離心率 ．

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