一、選擇題（共20小題；）
1. 已知點(diǎn) 在拋物線 上，則點(diǎn) 到點(diǎn) 的距離與點(diǎn) 到拋物線焦點(diǎn)的距離之和取得最小值時，點(diǎn) 的坐標(biāo)為
A. B. C. D.

2. 經(jīng)過拋物線 的焦點(diǎn)，且方向向量為 的直線 的方程是
A. B. C. D.

3. 在拋物線 上，橫坐標(biāo)為 的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為 ，則 的值為
A. B. C. D.

4. 拋物線 上一點(diǎn) 的縱坐標(biāo)為 ，則點(diǎn) 與拋物線焦點(diǎn)的距離為
A. B. C. D.

5. 以拋物線 的頂點(diǎn)為圓心的圓交 于 ， 兩點(diǎn)，交 的準(zhǔn)線于 ， 兩點(diǎn)．已知 ，，則 的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為
A. B. C. D.

6. 拋物線 的焦點(diǎn)坐標(biāo)是
A. B. C. D.

7. 已知點(diǎn) 在拋物線 上，那么點(diǎn) 到點(diǎn) 的距離與點(diǎn) 到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時，點(diǎn) 的坐標(biāo)為
A. B. C. D.

8. 拋物線 的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為
A. B. C. D.

9. 是拋物線 上一點(diǎn)， 是拋物線的焦點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng) 時，，則拋物線的準(zhǔn)線方程是
A. B. C. D.

10. 已知點(diǎn) 在拋物線 上，那么點(diǎn) 到點(diǎn) 的距離與點(diǎn) 到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時，點(diǎn) 的坐標(biāo)為
A. B. C. D.

11. 已知點(diǎn) ，拋物線 ： 的焦點(diǎn)為 ，射線 與拋物線 相交于點(diǎn) ，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn) ，則
A. B. C. D.

12. 已知雙曲線 的漸近線與拋物線 的準(zhǔn)線圍成一個等邊三角形，則雙曲線 的離心率是
A. B. C. D.

13. 將兩個頂點(diǎn)在拋物線 上，另一個頂點(diǎn)是此拋物線焦點(diǎn)的正三角形個數(shù)記為 ，則
A. B. C. D.

14. 已知拋物線 的焦點(diǎn)與雙曲線 的焦點(diǎn) 重合， 的漸近線恰為矩形 的邊 ， 所在直線（ 為坐標(biāo)原點(diǎn)），則 的方程是
A. B. C. D.

15. 已知雙曲線 與拋物線 的一個交點(diǎn)為 ， 為拋物線的焦點(diǎn)，若 ，則雙曲線的漸近線方程為
A. B. C. D.

16. 已知拋物線 上一點(diǎn) 到焦點(diǎn) 的距離為 ，那么點(diǎn) 到 軸的距離是
A. B. C. D.

17. 已知正六邊形 的邊長是 ，一條拋物線恰好經(jīng)過該六邊形相鄰的四個頂點(diǎn)，則拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是
A. B. C. D.

18. 已知圓 與拋物線 的準(zhǔn)線相切，則 的值等于
A. B. C. D.

19. 設(shè) 為拋物線 的焦點(diǎn)，過 且傾斜角為 的直線交 于 兩點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，則 的面積為
A. B. C. D.

20. 是拋物線 上任意一點(diǎn)，則當(dāng) 和直線 上的點(diǎn)距離最小時， 與該拋物線的準(zhǔn)線距離是
A. B. C. D.

二、填空題（共5小題；）
21. 若拋物線 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ，則 ；準(zhǔn)線方程為 ．

22. 已知拋物線 焦點(diǎn) 恰好是雙曲線 的右焦點(diǎn)，且雙曲線過點(diǎn) ，則該雙曲線的漸近線方程為 ．

23. 已知拋物線 的焦點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以拋物線與兩坐標(biāo)軸的三個交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為 ．

24. 一輛卡車高 米，寬 米，欲通過拋物線形隧道，拱口寬恰好是拋物線的通徑長，若拱口寬為 米，則能使卡車通過的 的最小整數(shù)值是 ．

25. 已知 是拋物線 上的一個動點(diǎn)， 是橢圓 上的一個動點(diǎn)， 是一定點(diǎn)，若 軸，且 ，則 的周長 的取值范圍是 ．

三、解答題（共5小題；）
26. 若拋物線 上距點(diǎn) 最近的點(diǎn)恰好是原點(diǎn)，求實數(shù) 的取值范圍．

27. 一座拋物線拱橋在某時刻水面的寬度為 米，拱頂距離水面 米．
（1）建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系 ，試求拱橋所在拋物線的方程．
（2）若一竹排上有一個 米寬、 米高的大木箱，問此木排能否安全通過此橋?

28. 設(shè)拋物線 的焦點(diǎn)在 軸正半軸上，且拋物線上一點(diǎn) 到焦點(diǎn)的距離為 ，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

29. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系 中，點(diǎn) ， 在拋物線 上．
（1）求 ， 的值；
（2）過點(diǎn) 作 垂直于 軸， 為垂足，直線 與拋物線的另一交點(diǎn)為 ，點(diǎn) 在直線 上，若 ，， 的斜率分別為 ，，，且 ，求點(diǎn) 的坐標(biāo)．

30. 已知拋物線 上點(diǎn) 到焦點(diǎn) 的距離為 ．
（1）求拋物線方程．
（2）點(diǎn) 為準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)， 為拋物線上過焦點(diǎn)的任意一條弦，設(shè)直線 ，， 的斜率為 ，，，問是否存在實數(shù) ，使得 恒成立，若存在，請求出 的值；若不存在，請說明理由．
答案
1. A【解析】如圖所示，點(diǎn) 在拋物線的內(nèi)部，
由拋物線的定義，拋物線上的點(diǎn) 到 的距離等于點(diǎn) 到準(zhǔn)線 的距離．
過 作直線 的垂線 交拋物線于點(diǎn) ，則點(diǎn) 即為取最小值時的所求點(diǎn)．
當(dāng) 時，由 得 ．
所以滿足條件的點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ．
2. B
3. C
4. D
5. B
【解析】不妨設(shè) ：，，則 ，由題意可知 ，得 ，解得 （舍負(fù)）．
6. D
7. A【解析】
如圖，因為點(diǎn) 在拋物線的內(nèi)部，由拋物線的定義， 等于點(diǎn) 到準(zhǔn)線 的距離．過 作 的垂線 交拋物線于點(diǎn) ，則點(diǎn) 為取最小值時的所求點(diǎn)．當(dāng) 時，由 得 ．所以點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ．
8. D【解析】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ，準(zhǔn)線方程為 ，
所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 ．
9. A【解析】過 向準(zhǔn)線作垂線，設(shè)垂足為 ，準(zhǔn)線與 軸的交點(diǎn)為 ．
因為 ，
所以 為等邊三角形，，
從而 ，因此拋物線的準(zhǔn)線方程為 ．
10. A
【解析】因為 ，
所以 ，焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ，
過 作準(zhǔn)線的垂線于 ，由 ，
依題意可知當(dāng) ， 和 三點(diǎn)共線且點(diǎn) 在中間的時候，距離之和最小，如圖，
故 的縱坐標(biāo)為 ，然后代入拋物線方程求得 ．
11. C
12. A
13. C【解析】如圖所示，
根據(jù)拋物線的對稱性，正三角形的兩個頂點(diǎn)一定關(guān)于 軸對稱，過焦點(diǎn)作兩條直線傾斜角分別為 和 ，它們和拋物線的交點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)可形成兩個正三角形．
14. D
15. C
【解析】因為點(diǎn) 在拋物線 上，，
所以 滿足 ，得 ，
因此 ，得 ，
所以點(diǎn) 在雙曲線 上，
可得 ，解之得 ，
所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，
得 ，，漸近線方程為 ，即 ．
16. C【解析】拋物線 ，則準(zhǔn)線方程為 ，
因為 到其焦點(diǎn)的距離為 ，則到其準(zhǔn)線的距離也為 ，
所以 點(diǎn)到 軸的距離為 ．
17. B【解析】如圖可知 ，，代入拋物線方程 求出 ，，然后令 即可．
18. D【解析】拋物線的準(zhǔn)線為 ，將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程 ，圓心到直線的距離為 ，得 ．
19. D
20. B
21. ，
22.
23.
【解析】拋物線 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ，它是坐標(biāo)原點(diǎn)，則得 ，從而 ．拋物線 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為 ，以這三點(diǎn)圍成的三角形的面積為 ．
24.
【解析】由題意可設(shè)拋物線方程為 ，當(dāng) 時，；當(dāng) 時，．由題意知 ，即 ．解得 的最小整數(shù)值為 ．
25.
【解析】由 得 ．
∵ 軸，且 ，∴ ，．
又 是拋物線的焦點(diǎn)，∴ ，，
又 ，∴ ．
∴周長 ，而 ，∴ ．
26. 設(shè) 為拋物線 上的動點(diǎn)，則
因為 在拋物線 上，所以 ，代入上式，得
因為當(dāng) 在原點(diǎn)，即當(dāng) 時， 有最小值，所以 ．
又 ，故實數(shù) 的取值范圍 ．
27. （1） 設(shè)拋物線方程 ．
由題意可知，拋物線過點(diǎn) ，
代人拋物線方程，得 ，
解得 ．
所以拋物線方程為 ．
（2） 把 代人，求得 ，
而 ，
所以木排能安全通過此橋．
28. 由題意，設(shè)拋物線為 ，
因為點(diǎn) 在拋物線上，
所以 ，即
因為點(diǎn) 到焦點(diǎn)的距離為 ，所以
由 得，，解得 或 ，
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，或 ．
29. （1） 將點(diǎn) 代入 ，得 ．
將點(diǎn) 代入 ，得 ．
因為 ，
所以 ．
（2） 由題意知，點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，直線 的方程為 ．
聯(lián)立
解得 ，
所以 ，，代入 ，得 ，故直線 的方程為 ，聯(lián)立
解得 ．
30. （1） 拋物線 的焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線方程為 ，
由拋物線定義可知 ，解得 ，
所以拋物線方程為 ．
（2） 拋物線 的焦點(diǎn) 為 ，準(zhǔn)線為 ，
設(shè)直線 ，
由 消去 ，整理得：，
設(shè) ，，，
則有
易知 ，
而

所以存在實數(shù) ，使得 恒成立．

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