【高考預(yù)測】概率預(yù)測+題型預(yù)測+考向預(yù)測
【應(yīng)試秘籍】總結(jié)?？键c及應(yīng)對的策略
【誤區(qū)點撥】點撥常見的易錯點
易錯點：對兩個計數(shù)原理理解混亂
【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）
【題型一】排列數(shù)與組合數(shù)（押題型）
【題型二】 人坐座位模型1：相鄰捆綁與不相鄰插空
【題型三】 人坐座位模型2：染色（平面、空間）
【題型四】 分配問題：球不同，盒不同
【題型五】 分配問題：球同，盒不同
【題型六】 書架插書模型
【題型七】 代替元法：最短路徑
【題型八】 代替元法： 空車位停車等
【題型九】 環(huán)排問題：直排策略
【題型十】 數(shù)列思想：上樓梯等
排列組合和二項式定理是高考熱點知識點，有了多選題型后常和概率結(jié)合起來考察，所以需要考生對于排列組合的基礎(chǔ)題型有所了解，以及一些特殊的方法，這塊有很多固定的題型，當(dāng)然在掌握題型的基礎(chǔ)上還需要明白其原理，能夠冷靜分析，合理運(yùn)用好排列組合的解題思維。
根據(jù)高考回歸課本的趨勢，排列數(shù)與組合數(shù)的運(yùn)算以及術(shù)與式的歸納理解要求要相繼變高，而這塊內(nèi)容也是因為傳統(tǒng)的固定題型容易被學(xué)生忽略的知識點，需要重視起來。
易錯點：對兩個計數(shù)原理理解混亂
兩個計數(shù)原理
(1)每類方法都能獨立完成這件事，它是獨立的、一次的，且每次得到的是最后結(jié)果，只需一種方法就可完成這件事.
(2)各類方法之間是互斥的、并列的、獨立的.
(1)每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨立完成這件事，只有各個步驟都完成了才能完成這件事.
(2)各步之間是相互依存的，并且既不能重復(fù)也不能遺漏.
易錯提醒：1.完成一件事可以有n類不同方案，各類方案相互獨立，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法……在第n類方案中有mn種不同的方法.那么，完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法.
2.完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法.那么，完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法.
例 設(shè)從東、西、南、北四面通往山頂?shù)穆贩謩e有2，3，3，4條，現(xiàn)要從一面上山，從剩余三面中的任意一面下山，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．從東面上山有20種走法B．從西面上山有27種走法
C．從南面上山有30種走法D．從北面上山有32種走法
破解：若從東面上山，則上山走法有2種，下山走法有10種，由分步計數(shù)原理可得共有20種走法；
若從西面上山，則上山走法有3種，下山走法有9種，由分步計數(shù)原理可得共有27種走法；
若從南面上山，則上山走法有3種，下山走法有9種，由分步計數(shù)原理可得共有27種走法；
若從北面上山，則上山走法有4種，下山走法有8種，由分步計數(shù)原理可得共有32種走法；
故選：ABD
變式1：近年來，重慶以獨特的地形地貌、城市景觀和豐富的美食吸引著各地游客，成為“網(wǎng)紅城市”．遠(yuǎn)道而來的小明計劃用2天的時間游覽以下五個景點：解放碑、洪崖洞、重慶大劇院、“輕軌穿樓”打卡點、磁器口，另外還要安排一次自由購物，因此共計6項內(nèi)容．現(xiàn)將每天分成上午、下午、晚上3個時間段，每個時段完成1項內(nèi)容，其中大劇院與洪崖洞的時段必須安排在同一天且相鄰，洪崖洞必須安排在晚上，“輕軌穿樓”必須安排在白天，其余項目沒有限制，那么共有 種方案.
變式2：從 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 這 SKIPIF 1 < 0 個數(shù)字中取出 SKIPIF 1 < 0 個數(shù)字，試問：
(1)有多少個沒有重復(fù)數(shù)字的排列 SKIPIF 1 < 0
(2)能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù) SKIPIF 1 < 0
【題型一】排列數(shù)與組合數(shù)（押題型）
1.排列、組合的定義
2.排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)
正確理解組合數(shù)的性質(zhì)
(1) SKIPIF 1 < 0 ：從n個不同元素中取出m個元素的方法數(shù)等于取出剩余n－m個元素的方法數(shù).
(2) SKIPIF 1 < 0 ：從n＋1個不同元素中取出m個元素可分以下兩種情況：①不含特殊元素A有 SKIPIF 1 < 0 種方法；②含特殊元素A有 SKIPIF 1 < 0 種方法.

【例1】組合數(shù) SKIPIF 1 < 0 恒等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【例2】規(guī)定 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，m是正整數(shù)，且 SKIPIF 1 < 0 ，這是組合數(shù) SKIPIF 1 < 0 （n，m是正整數(shù)，且 SKIPIF 1 < 0 ）的一種推廣．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值．
(2)組合數(shù)的兩個性質(zhì)：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 是否都能推廣到 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，m是正整數(shù)）的情形？若能推廣，則寫出推廣的形式并給出證明；若不能，則說明理由；
(3)已知組合數(shù) SKIPIF 1 < 0 是正整數(shù)，證明：當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，m是正整數(shù)時， SKIPIF 1 < 0 ．
【例3】（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）設(shè)m，n SKIPIF 1 < 0 N*，n≥m，求證：
（m+1） SKIPIF 1 < 0 +（m+2） SKIPIF 1 < 0 +（m+3） SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 +n SKIPIF 1 < 0 +（n+1） SKIPIF 1 < 0 =（m+1） SKIPIF 1 < 0 .

【變式1】（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）（多選）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為正整數(shù)且 SKIPIF 1 < 0 ，則（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【變式2】（2024·山東濟(jì)南·一模）（多選）下列等式中正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【變式3】（2024·安徽合肥·一模）“ SKIPIF 1 < 0 數(shù)”在量子代數(shù)研究中發(fā)揮了重要作用.設(shè) SKIPIF 1 < 0 是非零實數(shù)，對任意 SKIPIF 1 < 0 ，定義“ SKIPIF 1 < 0 數(shù)” SKIPIF 1 < 0 利用“ SKIPIF 1 < 0 數(shù)”可定義“ SKIPIF 1 < 0 階乘” SKIPIF 1 < 0 和“ SKIPIF 1 < 0 組合數(shù)”，即對任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(1)計算： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)證明：對于任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(3)證明：對于任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【題型二】 人坐座位模型1：相鄰捆綁與不相鄰插空
人坐座位模型：
特征：1.一人一位；2、有順序；3、座位可能空；4、人是否都來坐，來的是誰；5、必要時，座位拆遷，剩余座位隨人排列。
主要典型題：1.捆綁法;2.插空法；3.染色。
出現(xiàn)兩個實踐重疊，必要時候，可以使用容斥原理來等價處理：
容斥原理 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【例1】高二年級舉行一次演講賽共有10位同學(xué)參賽，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班有3位同學(xué)恰好被排在一起（指演講序號相連），而二班的2位同學(xué)沒有被排在一起的概率為：（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【例2】某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案共有
A．504種B．960種C．1008種D．1108種
【例3】在某班進(jìn)行的歌唱比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能連著出場，且女生甲不能排在第一個，那么出場順序的排法種數(shù)為
A．30B．36C．60D．72
【變式1】（2023·陜西安康·模擬預(yù)測）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，指的是這樣一個數(shù)列：1，1，2，3，5，8，…，這個數(shù)列從第3項開始，每一項都等于前兩項之和，小李以前6項數(shù)字的某種排列作為他的銀行卡密碼，如果數(shù)字1與2不相鄰，則小李可以設(shè)置的不同的密碼個數(shù)為（ ）
A．144B．120C．108D．96
【變式2】現(xiàn)有7位同學(xué)（分別編號為 SKIPIF 1 < 0 ）排成一排拍照，若其中 SKIPIF 1 < 0 三人互不相鄰， SKIPIF 1 < 0 兩人也不相鄰，而 SKIPIF 1 < 0 兩人必須相鄰，則不同的排法總數(shù)為 ．（用數(shù)字作答）
【變式3】 “迎冬奧，跨新年，向未來”，水球中學(xué)將開展自由式滑雪接力賽．自由式滑雪接力賽設(shè)有空中技巧、雪上技巧和雪上芭蕾三個項目，參賽選手每人展示其中一個項目．現(xiàn)安排兩名男生和兩名女生組隊參賽，若要求相鄰出場選手展示不同項目，女生中至少一人展示雪上芭蕾項目，且三個項目均有所展示，則共有 種出場順序與項目展示方案．（用數(shù)字作答）
【題型三】 人坐座位模型2：染色（平面、空間）
染色問題：
1.用了幾種顏色
2.盡量先從公共相鄰區(qū)域開始。
空間幾何體，可以“拍扁”，轉(zhuǎn)化為平面圖形
【例1】如圖，圖案共分9個區(qū)域，有6中不同顏色的涂料可供涂色，每個區(qū)域只能涂一種顏色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相鄰區(qū)域的顏色不相同，則涂色方法有
A．360種B．720種C．780種D．840種
【例2】某五面體木塊的直觀圖如圖所示，現(xiàn)準(zhǔn)備給其5個面涂色，每個面涂一種顏色，且相鄰兩個面所涂顏色不能相同.若有6種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（ ）
A．1080種B．720種C．660種D．600種
【例3】如圖，用5種不同的顏色給圖中的 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 6個不同的點涂色，要求每個點涂1種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有 種.
【變式1】如圖，用四種不同顏色給圖中的A,B,C,D,E,F六個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色，則不同的涂色方法用
A．288種B．264種C．240種D．168種
【變式2】如圖，一圓形信號燈分成 SKIPIF 1 < 0 四塊燈帶區(qū)域，現(xiàn)有3種不同的顏色供燈帶使用，要求在每塊燈帶里選擇1種顏色，且相鄰的2塊燈帶選擇不同的顏色，則不同的信號總數(shù)為（ ）
A．18B．24C．30D．42
【變式3】如圖，圓被其內(nèi)接三角形分為4塊，現(xiàn)有5種顏色準(zhǔn)備用來涂這4塊，要求每塊涂一種顏色，且相鄰兩塊的顏色不同，則不同的涂色方法有

A．360種B．320種C．108種D．96種
【題型四】 分配問題：球不同，盒不同
球不同，盒不同（主要的）
方法技巧：盒子可空，指數(shù)冪形式，盒的球次冪，盒子不可空“先分組再排列”分類討論
注意平均分組時需要除以組數(shù)的全排列。
【例1】（2024高三下·全國·專題練習(xí)）8張不同的郵票，按下列要求各有多少種不同的分法？（用式子表示）
(1)平均分成四份；
(2)平均分給甲、乙、丙、丁四人；
(3)分成三份，一份4張，一份2張，一份2張；
(4)分給甲、乙、丙三人，甲4張，乙2張，丙2張；
(5)分給三人，一人4張，一人2張，一人2張；
(6)分成三份，一份1張，一份2張，一份5張；
(7)分給甲、乙、丙三人，甲得1張，乙得2張，丙得5張；
(8)分給甲、乙、丙三人，一人1張，一人2張，一人5張．
【例2】如圖中有一個信號源和五個接收器.接收器與信號源在同一個串聯(lián)線路中時，就能接收到信號，否則就不能接收到信號.若將圖中左端的六個接線點隨機(jī)地平均分成三組，將右端的六個接線點也隨機(jī)地平均分成三組，再把所有六組中每組的兩個接線點用導(dǎo)線連接，則這五個接收器能同時接收到信號的概率是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【例3】（23-24高三上·云南昆明·開學(xué)考試）現(xiàn)將6本不同的書籍分發(fā)給甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知書籍 SKIPIF 1 < 0 分發(fā)給了甲，則不同的分發(fā)方式種數(shù)是 .（用數(shù)字作答）
【變式1】（2023·山東煙臺·三模）教育部為發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國部分大學(xué)培養(yǎng)教育專業(yè)公費師范生，畢業(yè)后分配到相應(yīng)的地區(qū)任教．現(xiàn)將5名男大學(xué)生，4名女大學(xué)生平均分配到甲、乙、丙3所學(xué)校去任教，則（ ）
A．甲學(xué)校沒有女大學(xué)生的概率為 SKIPIF 1 < 0
B．甲學(xué)校至少有兩名女大學(xué)生的概率為 SKIPIF 1 < 0
C．每所學(xué)校都有男大學(xué)生的概率為 SKIPIF 1 < 0
D．乙學(xué)校分配2名女大學(xué)生，1名男大學(xué)生且丙學(xué)校有女大學(xué)生的概率為 SKIPIF 1 < 0
【變式2】某校有5名大學(xué)生打算前往觀看冰球，速滑，花滑三場比賽，每場比賽至少有1名學(xué)生且至多2名學(xué)生前往，則甲同學(xué)不去觀看冰球比賽的方案種數(shù)有（ ）
A．48B．54C．60D．72
【變式3】已知有5個不同的小球，現(xiàn)將這5個球全部放入到標(biāo)有編號1、2、3、4、5的五個盒子中，若裝有小球的盒子的編號之和恰為11，則不同的放球方法種數(shù)為（ ）
A．150B．240C．390D．1440
【題型五】 分配問題：球同，盒不同
球相同，盒子不同
方法技巧：盒子不可空用擋板法，盒子可空用接球法。
【例1】1.10塊相同的巧克力，每天至少吃一塊，5天吃完，有 種方法；若10塊相同的巧克力，每天至少吃一塊，直到吃完為止又有 種方法．（用數(shù)字作答）
【例2】（2024高三下·江蘇·專題練習(xí)）某校將8個足球賽志愿者名額分配到高一年級的四個班級，每班至少一個名額，則不同的分配方法共有 種（用數(shù)字作答）.
【例3】按照下列要求，分別求有多少種不同的方法？
（1）5個不同的小球放入3個不同的盒子；
（2）5個不同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子至少一個小球；
（3）5個相同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子至少一個小球；
（4）5個不同的小球放入3個不同的盒子，恰有1個空盒．
【變式1】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）將3個相同的紅球和3個相同的黑球裝入三個不同的袋中，每袋均裝2個球，則不同的裝法種數(shù)為（ ）
A．7B．8C．9D．10
【變式2】（23-24高二上·遼寧沈陽·期末）將20個無任何區(qū)別的小球放入編號為1，2，3的三個盒子中，要求每個盒子內(nèi)的小球個數(shù)不小于它的編號數(shù)，則不同的放法有（ ）
A．90種B．120種C．160種D．190種
【變式3】（2023高三上·全國·專題練習(xí)）（要求每個盒子可空）將8個相同的小球分別放入4個不同的盒子中，每個盒子可空，有多少種不同的放法？
【題型六】 書架插書模型
書架上原有書的順序不變；（2）新書要一本一本插；
定序問題可使用倍縮法。
【例1】有12名同學(xué)合影，站成了前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)是（ ）
A．168B．260C．840D．560
【例2】書架上某一層有5本不同的書，新買了3本不同的書插進(jìn)去，要保持原來5本書的順序不變，則不同的插法種數(shù)為（ ）.
A．60B．120C．336D．504
【例3】（21-22高二下·重慶渝中·階段練習(xí)）一張節(jié)目單上原有8個節(jié)目，現(xiàn)臨時再插入A，B，C三個新節(jié)目，如果保持原來8個節(jié)目的相對順序不變，節(jié)目B要排在另外兩個新節(jié)目之間（也可以不相鄰），則有 種不同的插入方法．（用數(shù)字作答）
【變式1】（2023·陜西寶雞·模擬預(yù)測）2022年10月22日，中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會勝利閉幕.某班舉行了以“禮贊二十大?奮進(jìn)新征程”為主題的聯(lián)歡晩會，原定的 SKIPIF 1 < 0 個學(xué)生節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又臨時增加了兩個教師節(jié)目，如果將這兩個教師節(jié)目插入到原節(jié)目單中，那么不同的插法的種數(shù)為（ ）
A．42B．30C．20D．12
【變式2】某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目．如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為（ ）
A．6B．12C．15D．30
【變式3】（2023春·江蘇鹽城·高二?？茧A段練習(xí)）書架上已有《詩經(jīng)》、《西游記》、《菜根譚》、《吶喊》、《文化苦旅》五本書，現(xiàn)欲將《圍城》、《駱駝祥子》、《四世同堂》三本書放回到書架上，要求不打亂原有五本書的順序，且《駱駝祥子》和《四世同堂》必須相鄰，則不同的放法共有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 種B． SKIPIF 1 < 0 種C． SKIPIF 1 < 0 種D． SKIPIF 1 < 0 種
【題型七】 代替元法：最短路徑
左右上下移動的最短距離，可以把移動方向看做字母，比如，向右是字母A，向上是字母B，則移動幾步就是幾個A，與B相同元素排列
代替元法：標(biāo)記元素為數(shù)字或字母，重新組合，特別適用于“相同元素”
【例1】格點是指平面直角坐標(biāo)系中橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點.一格點沿坐標(biāo)線到原點的最短路程為該點到原點的“格點距離”（如： SKIPIF 1 < 0 ，則點 SKIPIF 1 < 0 到原點的格點距離為 SKIPIF 1 < 0 ）.格點距離為定值的點的軌跡稱為“格點圓”，該定值稱為格點圓的半徑，而每一條最短路程稱為一條半徑.當(dāng)格點半徑為6時，格點圓的半徑有 條（用數(shù)字作答）.
（多選）【例2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）2021年高考結(jié)束后小明與小華兩位同學(xué)計劃去老年公寓參加志愿者活動．小明在如圖的街道E處，小華在如圖的街道F處，老年公寓位于如圖的G處，則下列說法正確的是（ ）
A．小華到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為4條
B．小明到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為35條
C．小明到老年公寓在選擇的最短路徑中，與到F處和小華會合一起到老年公寓的概率為 SKIPIF 1 < 0
D．小明與小華到老年公寓在選擇的最短路徑中，兩人并約定在老年公寓門口匯合，事件A：小明經(jīng)過F；事件B：從F到老年公寓兩人的路徑?jīng)]有重疊部分（路口除外），則 SKIPIF 1 < 0
【例3】如圖所示是某個區(qū)域的街道示意圖（每個小矩形的邊表示街道），那么從 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的最短線路有（ ）條
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【變式1】有一道路網(wǎng)如圖所示，通過這一路網(wǎng)從A點出發(fā)不經(jīng)過C、D點到達(dá)B點的最短路徑有___________種.
【變式2】某城市縱向有6條道路，橫向有5條道路，構(gòu)成如圖所示的矩形道路網(wǎng)（圖中黑線表示道路），則從西南角A地到東北角B地的最短路線共有 條．
【變式3】由于用具簡單，趣味性強(qiáng)，象棋成為流行極為廣泛的棋藝活動．某棋局的一部分如圖所示，若不考慮這部分以外棋子的影響，且“馬”和“炮”不動，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，從“兵”吃掉“馬”的最短路線中隨機(jī)選擇一條路線，則能順帶吃掉“炮”的可能路線有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 條B． SKIPIF 1 < 0 條C． SKIPIF 1 < 0 條D． SKIPIF 1 < 0 條
【題型八】 代替元法： 空車位停車等
這類題大多可以用字母元來代替轉(zhuǎn)化為簡單的問題從而解決問題。
【例1】某單位有8個連在一起的車位，現(xiàn)有4輛不同型號的車需要停放，如果要求剩余的4個車位中恰好有3個連在一起，則不同的停放方法的種數(shù)為（ ）
A．240B．360C．480D．720
【例2】馬路上有編號為1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盞路燈，為節(jié)約用電，可以把其
中的三盞路燈關(guān)掉，但不能同時關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的路燈，滿足條件的關(guān)燈辦法有 種
【例3】現(xiàn)有一排10個位置的空停車場，甲、乙、丙三輛不同的車去停放，要求每輛車左右兩邊都有空車位且甲車在乙、丙兩車之間的停放方式共有_________種.
【變式1】（2020·浙江·模擬預(yù)測）現(xiàn)有一排10個位置的空停車場，甲、乙、丙三輛不同的車去停放，要求每輛車左右兩邊都有空車位且甲車在乙、丙兩車之間的停放方式共有 種.
【變式2】（2023·江西新余·二模）據(jù)中國汽車工業(yè)協(xié)會統(tǒng)計顯示，2022年我國新能源汽車持續(xù)爆發(fā)式增長，購買電動汽車的家庭越來越多.某學(xué)校為方便駕駛電動汽車的教職工提供充電便利，在停車場開展充電樁安裝試點.如下圖，試點區(qū)域共有十個車位，安裝了三個充電樁，每個充電樁只能給其南北兩側(cè)車位中的一輛電動汽車充電.現(xiàn)有3輛燃油車和2輛電動汽車同時隨機(jī)停入試點區(qū)域（停車前所有車位都空置），請問2輛電動汽車能同時充上電的概率為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【變式3】甲、乙、丙、丁、戊五位媽媽相約各帶一個小孩去觀看花卉展，她們選擇共享電動車出行，每輛電動車只能載兩人，其中孩子們表示都不坐自己媽媽的車，甲的小孩一定要坐戊媽媽的車，則她們坐車不同的搭配方式有
A． SKIPIF 1 < 0 種B． SKIPIF 1 < 0 種C． SKIPIF 1 < 0 種D． SKIPIF 1 < 0 種
【題型九】 環(huán)排問題：直排策略
環(huán)排問題即為手拉手圍一圈的模型，此類問題以一人為中心考慮，比如三人手拉手圍一圈，以其中一人為中心將其一分為二，即變成中間兩人全排列問題，再合起來即為一圈。
【例1】已知甲、乙、丙三位同學(xué)圍成一個圓時，其中一個排列“甲乙丙”與該排列旋轉(zhuǎn)一個或幾個位置后得到的排列“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一個排列．現(xiàn)有 SKIPIF 1 < 0 位同學(xué)，若站成一排，且甲同學(xué)在乙同學(xué)左邊的站法共有 SKIPIF 1 < 0 種，那么這 SKIPIF 1 < 0 位同學(xué)圍成一個圓時，不同的站法總數(shù)為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【例2】（23-24高三下·山東菏澤·開學(xué)考試）一對夫妻帶著3個小孩和一個老人，手拉著手圍成一圈跳舞，3個小孩均不相鄰的站法種數(shù)是（ ）
A．6B．12C．18D．36
【變式1】（23-24高三下·江西·開學(xué)考試）“圓排列”亦稱“循環(huán)排列”“環(huán)排列”，最早出現(xiàn)在中國《易經(jīng)》的四象八卦組合.當(dāng)A，B，C三位同學(xué)圍成一個圓時，其中一個排列“ABC”與該排列旋轉(zhuǎn)一個或幾個位置得到的排列“BCA”或“CAB”是同一個排列，現(xiàn)有六位同學(xué)圍成一個圓做游戲，其排列總數(shù)為 .（用數(shù)字作答）
【變式2】現(xiàn)有m位同學(xué)，若站成一排，且甲同學(xué)在乙同學(xué)左邊的站法共有60種，那么這m位同學(xué)圍成一個圓時，不同的站法種數(shù)為 （用數(shù)字作答）．
【題型十】 數(shù)列思想：上樓梯等
1.斐波那契數(shù)列數(shù)列構(gòu)造求解
2.可以把臺階轉(zhuǎn)化為數(shù)字化型，一次一階，記為數(shù)字1，一步兩階記為數(shù)字2，以此類推，這樣上臺階轉(zhuǎn)化為數(shù)字1,2，。。排列，注意重復(fù)元素的排列
【例1】欲登上第10級樓梯，如果規(guī)定每步只能跨上一級或兩級，則不同的走法共有
A．34種B．55種
C．89種D．144種
【例2】斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列.因數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…..，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下被遞推的方法定義： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .這種遞推方法適合研究生活中很多問題.比如：一六八中學(xué)食堂一樓到二樓有15個臺階，某同學(xué)一步可以跨一個或者兩個臺階，則他到二樓就餐有（ ）種上樓方法.
A．377B．610C．987D．1597
【例3】設(shè)整數(shù)數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則這樣的數(shù)列的個數(shù)為___________.
【變式1】（2023·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）某教學(xué)樓從二樓到三樓的樓梯共10級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級，某同學(xué)從二樓到三樓準(zhǔn)備用7步走完，則第二步走兩級臺階的概率為（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【變式2】（23-24高三上·河南南陽·期末）某樓梯共有 SKIPIF 1 < 0 個臺階，小明在上樓梯的時候每步可以上 SKIPIF 1 < 0 個或者 SKIPIF 1 < 0 個臺階，則小明不同的上樓方法共有 種．（用數(shù)字作答）概率預(yù)測
☆☆☆☆☆
題型預(yù)測
選擇題、填空題☆☆☆☆☆
考向預(yù)測
排列組合題型考察
完成一件事的策略
完成這件事共有的方法
分類加法
計數(shù)原理
有兩類不同方案?，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法
N＝m＋n種不同的方法
分步乘法
計數(shù)原理
需要兩個步驟?，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法
N＝m×n種不同的方法
排列的
定義
從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素
按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列
組合的
定義
合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合
排列數(shù)
組合數(shù)
定
義
從n個不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)個元素的所有不同排列的個數(shù)
從n個不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)個元素的所有不同組合的個數(shù)
公
式
SKIPIF 1 < 0 ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
＝ SKIPIF 1 < 0
性
質(zhì)
SKIPIF 1 < 0 ＝n！，0?。?
SKIPIF 1 < 0 ＝1， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0

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